第23章 旋转 素养检测卷-九年级上册数学单元大小卷

第二十三章素养检测卷 考查内容：旋转（时间：90min满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分】 1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图 片分别代表“芒种x“白露*立夏“大雪”，其中是中心对称图形的是( A B C 【解析】A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意：D中的图形是中心 对称图形，故D符合题意故选D 2.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C当AB' 落在AC上时，∠BAC'的度数为() A C' B A.65 B.70° C.80 D.85 【解析】由旋转的性质可得出∠B'AC'=∠BAC.:∠BAC+∠B+LC=180°， ∠BAC=180°-80°-65°=35， ·∠BAC=∠BAC=35°，÷∠BAC=∠BAC+∠B'AC=70°，故选B 3.如果点A(a,b)在第三象限，则点B(-a+1,3b-5)关于原点的对称点在() A第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D第一象限 【解析】点B(-a+1,3b-5)关于原点的对称点是(a-1,5-3b).:点A(a,b)在第三象限即a <0,b<0,a-1<0,5-3b>0,(a-1,5-3b)是第二象限的点.故选C 4电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉如图是一款五叶电风 扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是() 59/115 A.60° B.72° C.75 D.108° 【解析】由题意得360°÷5=72°，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是72 ，故选B 5.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C',此时点B恰在边AC上，若AB=2, AC'=5,则B'C的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 根据旋转性质判定线段关 将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C', 系 AB=AB'=2,AC=AC'=5 计算所求线段长度 BC=AC-AB=5-2=3,故选B 6如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG,点C在AE上，CD与EF相交于H, 若∠B=a,∠CHE=B,则B=() A45°-ia B.180°-3a C.90°-2a D90°-2a G 60/115 【解析】：将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG,∠B=a, ∠CHE=B,BC=BA,∠ACD=∠ACB,∠E=∠B=C, .LACD =LACB=ZBAC =18--90-a 2 B=LCHB=LAGD-∠B=90-0-《=90-a,故选D 7.在平面内，由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图，在平面上取定一点0称 为极点，从点O出发引一条射线Ox称为极轴，再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针 方向为正.线段OP的长度称为点P的极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动 到0P的角度来确定，即P(3,60)或P(3,-300)或P(3,420)等，则点P关于点0成中心对称 的点Q的极坐标表示不正确的是( 60 01234 A.Q(3,240) B.Q(3,-450) C.Q(3,600) D.Q(3,-120) 【解析】点P关于点0成中心对称的点Q的极坐标可以为(3,240°)或(3,600)或(3，-120)，不 可以是(3，-450).故选B 8.如图左边的阴影三角形以A,B,C,D,E中任一点为旋转中心，在旋转角为k·90°(k为正 整数)的情况下，正好通过次旋转得到右边的阴影三角形，则对于n的描述正确的是() C D B E A.n=1,2可以，n=3不可以 B.n=1,3可以，n=2不可以 C.n=1,2,3都可以 D.n=2,3可以，n=1不可以 【解析】将左边的阴影三角形绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影三角形，此时n=1.将左 边的阴影三角形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的三角形绕点C旋转180°可得右边的阴影 三角形，此时=2.将左边的阴影三角形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的三角形绕点E顺 61/115 时针旋转90°，最后将得到的三角形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影三角形，此时=3 故选C 9.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E,AF交CD于点F,连 接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为() B E A.2 B.3 C.1 Di 2 【解析】把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,AF=AG,DF=BG, ∠DAF=∠BAG,∠ADF=∠ABG=∠ABE=90°，÷∠ABG+∠ABE=180°， G,B,E三点共线∠DAB=90°，∠EAF=45°，∠DAF+∠EAB=45°， ∠BAG+∠EAB=45°，·∠EAF=∠EAG.在△EAG和△EAF中， AG=AF, ∠EAG=∠EAF,△EAG≌△EAF(SAS),÷GE=FE.设BE=X,'CD=6, AE=AE, DF=3,.BG=CF=3,GE=BG+BE=3+x,CE=6-x EF=3+x.∠C=90°，六(6-x)2+32=(3+x)2,解得x=2,÷BE的长为2.故选A 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6.将△ABC绕点B旋转得△A'BC',连接AA, 分别取AA',BC'的中点E,F,连接EF,则EF的取值范围是() E A.1≤EF≤9 B生sEF≤号 CI<EF<3 D.1<EF<9 62/115 E 【解析】如图C B ,取A'B的中点G,连接EG,FG.∠C=90°， AC=8,BC=6,÷AB=VAC2+BC2=V64+36=10.由 旋转的性质可知A'C=AC=8,AB=AB=10, BC=BC=6.又点E,F,G分别是AA,BC,A'B的中点， EG是△A'AB的中位线，FG是Rt△BCA的中位线，EG=5,FG=4.当点E,F, G不共线时，EG-FG<EF<EG+FG,即1<EF<9:当点G在线段EF上时， EF=EG+FG=5+4=9:,当点F在线段EG上时，EF=EG-FG=5-4=1综 上所述，1≤EF≤9，故选A 二、填空题（共6小题，每小愿4分） 11.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE=5,AG=2,则 S△DEC=- D 【解析】△ABC与△DEC关于点C成中心对称，BC=CE=5, SADEC=SAABC,SMBc=BC x AG=×5×2=5,SADEC=5故答案为5 12.如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABC的位置，使CC /AB，则旋转角的度数为 B A B 【解析】 63/115 判断旋转角 △ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C的位置，∠CAC为旋转角 CC'/AB,∴LACC=LCAB=64°.由旋转得AC=AC, 计算旋转角 ∠ACC=∠ACC=64, ÷∠CAC=180-∠ACC-∠ACC=180-2×64=52°，故答案为52 13.若与点P(m+2,3-m)关于原点对称的点Q在第四象限，则m的取值范围是 【解析】：与点P(m+2,3-m)关于原点对称的点Q在第四象限，·点P在第二象 m+2<0,解得m<-2,故答案为m<-2. 限，3-m>0, 14.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=1,AB=2,∠BAC=90°，则AE 的长是 【解析】△DEC与△ABC关于点C成中心对称，÷△ABC≌△DEC,A,C,D三点共 线，·DE=AB=2,DC=AC=1,∠D=∠BAC=90°，÷AD=2.在 Rt△ADE中，∠D=90°，÷AE=VAD2+DE2=2V2,故答案为2V2. 15.如图，OA1OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在0B上，∠ECD=45°，将△CDE绕点C 逆时针旋转75°得到△CMN,点E的对应点N恰好落在OA上，则%的值为 DB 【解析】由旋转知∠ECN=75°.又：∠ECD=45°， ∠NC0=180°-75°-45°=60°.A010B,∠A0B=90°， ÷∠ONC=30°设OC=a,则CN=2a.:△CMN是由等腰直角三角形CDE旋转得 到的，△CMN也是等腰直角三角形，·设CM=MN=x,则由勾股定理得 x2+x2=(2a)2,解得x=v2a(负值已舍去)，即CD=CM=V2a, 64/115 “器=品=号故答案为号 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4,点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺 时针旋转得线段PQ,点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点时，PB 的长为 【解析】∠C=90°，∠B=30°，AC=4,AB=8,BC=4v3.PQ的垂直平 分线MW经过△ABC一边中点，可分为以下三种情况：①当MN经过AB的中点D时， 交BC于点G,如图(1)，则BD=,AB=4.:PB绕点P顺时针旋转得线段PQ, PQ=PB,÷∠PQB=∠B=30°∠DPQ是△PQB的外角， ∠DPQ=∠B+∠PQB=60°连接DQ,MN垂直平分PQ,∴PD=QD, △PQD是等边三角形，PD=QP,PD=PB,PB=BD=2.②当MN经过 AC的中点E时，交BC于点G,如图(2)，则EC=AC=2.由旋转可得PQ=PB, 则∠PQB=∠B=30°，MN1PQ,∠EGQ=60°，÷∠CEG=30°， ·在Rt△ECG中，CG=V3,BG=号V3连接PG,:点G在MN上，·PG=QG, ∠PQB=∠QPG=30°：∠PGB是△PQG的外角， ∠PGB=∠PQB+∠QPG=60°，÷∠GPB=90°，PG1PB.在Rt△PGB中， ∠B=30°，BG=号V5,PG=BG=V3,由勾股定理得 PB=VBG2-PG=5.③当MN经过BC的中点F时，如图(3)，则 BF=BC=2W3同理可证PF1PB.在Rt△PFB中，∠B=30°，BF=2V3, PB=3.综上，PB的长为2或5或3.故答案为2或3或5 65/115 M B 图(1) 图2) 图3) 三、解答题（共6小题） 17.(8分)如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，延长BC交AD于F,交DE于G, 若∠CAD=10°，∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数 B 【解】由旋转可知△ABC2△ADE, ∠B=LD=25°，LEAD=∠CAB ,…(2分) ∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°，∠CAD=10°， ∠CAB=(120°-10)÷2=55°， (6分) ∠FAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°=65 :∠DFB是△ABF的外角，÷∠DFB=∠B+∠FAB=25°+65°=90°(8分) 18.(12分)将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之 为一个“花瓣”，由一个花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成 的图形(“花瓣”在圆中是均匀分布的) A(二瓣图形B(三瓣图形 C(四瓣图形 66/115 D(五瓣图形 E(六瓣图形， (1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有 是中心对称 图形的有 (填字母) 【解】在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有A、B、C、D、E,是 中心对称图形的有A、C、E故答案为A、B、C、D、E,A、C、E, (4分) (2)当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是，则花瓣图形既是轴对称图形，又是中心对 称图形：若花瓣的个数是，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形 【解析】若花瓣的个数是偶数，则花弧图形既是轴对称图形，又是中心对称图形： 若花瓣的个数是奇数，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形.故答案为偶 数，奇数.…(8分) (3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么图形（填“轴对称图形”或“中心对称图形） :①九瓣图形是 ②十二瓣图形是 【解析】 ①轴对称图形， ②轴对称图形、中心对称图形… (12分) 19.(10分)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端 点除外)，连接PD,PB.将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处 (1)请补全图形，并证明PD=PB, 67/115 B 【解】补全图形如图(1) 图(1) 所示…(2分) 证明：：四边形ABCD是正方形，·CD=CB, ∠DCA=∠BCA=45°.又'CP=CP, △DCP≌△BCP(SAS),PD=PB... (4分) (2)当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由 【解】LDPQ的大小不发生变化， (5分) 理由如下：过点P作PM1AB于M,作PN1AD于N,如图 B M (2) 图(2) :四边形ABCD是正方形，∠DAC=LBAC=45°. PM 1 AB,PN 1 AD,.PM PN,ZMPN =90 …(8分) 'PD=PQ,PN=PM,÷Rt△DPN≌Rt△QPM(HL), ÷∠DPN=∠QPM.:∠QPN+∠QPM=90°，∠QPN+∠DPN=90°，即 ∠DPQ=90°，六∠DPQ的大小不发生变化...(10分) 20.(10分)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知点B(0,4),点A在x轴负半轴上，且LBAO =30°，将△AOB绕点0顺时针旋转得△COD,点A,B旋转后的对应点分别为C,D,记旋转 角为a· 68/115第二十三章 素养检测卷 考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120 分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图 片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 = 80∘ ，∠𝐶 = 65∘ ，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转得到△𝐴𝐵′𝐶′.当𝐴𝐵′ 落在𝐴𝐶上时，∠𝐵𝐴𝐶′ 的度数为( ) A.65∘ B.70∘ C.80∘ D.85∘ 3.如果点𝐴(𝑎, 𝑏)在第三象限，则点𝐵(−𝑎 + 1,3𝑏 − 5) 关于原点的对称点在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4.电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉.如图是一款五叶电风 扇，在其持续运转的过程中，叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时，旋转的角度可以是( ) A.60∘ B.72∘ C.75∘ D.108∘ 37/66 5.如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴 顺时针旋转一定的角度得到△𝐴𝐵′𝐶′，此时点𝐵′恰在边𝐴𝐶 上，若𝐴𝐵 = 2， 𝐴𝐶′ = 5，则𝐵′𝐶 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，将菱形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴 逆时针旋转得到菱形𝐴𝐸𝐹𝐺，点𝐶在𝐴𝐸上，𝐶𝐷与𝐸𝐹相交于𝐻 ， 若∠𝐵 = 𝛼 ，∠𝐶𝐻𝐸 = 𝛽 ，则𝛽 = ( ) A.45∘ − 1 2 𝛼 B.180 ∘ − 3𝛼 C.90∘ − 2𝛼 D.90∘ − 3 2 𝛼 第 6 题图 第 7 题图 7.在平面内，由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定一点𝑂 称 为极点，从点𝑂出发引一条射线𝑂𝑥 称为极轴，再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针 方向为正.线段𝑂𝑃的长度称为点𝑃 的极径，点𝑃的极坐标就可以用线段𝑂𝑃的长度以及从𝑂𝑥转动 到𝑂𝑃 的角度来确定，即𝑃(3, 60∘)或𝑃(3,−300∘)或𝑃(3, 420∘)等，则点𝑃关于点𝑂 成中心对称 的点𝑄 的极坐标表示不正确的是( ) A.𝑄(3, 240∘) B.𝑄(3,−450∘) C.𝑄(3, 600∘) D.𝑄(3,−120∘) 8.如图左边的阴影三角形以𝐴 ，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸中任一点为旋转中心，在旋转角为𝑘 ⋅ 90∘(𝑘为正 整数) 的情况下，正好通过𝑛次旋转得到右边的阴影三角形，则对于𝑛 的描述正确的是( ) A.𝑛 = 1，2 可以，𝑛 = 3不可以 B.𝑛 = 1，3 可以，𝑛 = 2 不可以 C.𝑛 = 1，2，3 都可以 D.𝑛 = 2，3 可以，𝑛 = 1 不可以 38/66 9.如图，在边长为 6 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 内作∠𝐸𝐴𝐹 = 45∘ ，𝐴𝐸交𝐵𝐶于点𝐸，𝐴𝐹交𝐶𝐷于点𝐹，连 接𝐸𝐹 ，将△𝐴𝐷𝐹绕点𝐴顺时针旋转90∘ 得到△𝐴𝐵𝐺.若𝐷𝐹 = 3，则𝐵𝐸 的长为( ) A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 10.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90∘ ，𝐴𝐶 = 8，𝐵𝐶 = 6.将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵旋转得△𝐴′𝐵𝐶′，连接𝐴𝐴′， 分别取𝐴𝐴′，𝐵𝐶′ 的中点𝐸，𝐹，连接𝐸𝐹，则𝐸𝐹 的取值范围是( ) A.1 ≤ 𝐸𝐹 ≤ 9 B.1 2 ≤ 𝐸𝐹 ≤ 9 2 C.1 2 < 𝐸𝐹 < 9 2 D.1 < 𝐸𝐹 < 9 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐶关于点𝐶成中心对称，𝐴𝐺 为△𝐴𝐵𝐶的高，若𝐶𝐸 = 5，𝐴𝐺 = 2，则 𝑆△𝐷𝐸𝐶 = ___. 12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵 = 64∘ ，将△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点𝐴旋转到△𝐴𝐵′𝐶′的位置，使𝐶𝐶′ //𝐴𝐵 ，则旋转角的度数为____. 39/66 13.若与点𝑃(𝑚 + 2,3 − 𝑚)关于原点对称的点𝑄 在第四象限，则𝑚 的取值范围是________. 14.如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶关于点𝐶 成中心对称，若𝐴𝐶 = 1，𝐴𝐵 = 2，∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘ ，则𝐴𝐸 的长是_____. 15.如图，𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵 ，等腰直角三角形𝐶𝐷𝐸的腰𝐶𝐷在𝑂𝐵上，∠𝐸𝐶𝐷 = 45∘ ，将△𝐶𝐷𝐸绕点𝐶 逆时针旋转75∘ 得到△𝐶𝑀𝑁，点𝐸的对应点𝑁恰好落在𝑂𝐴上，则 𝑂𝐶 𝐶𝐷 的值为_ _. 16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90∘ ，∠𝐵 = 30∘ ，𝐴𝐶 = 4，点𝑃为𝐴𝐵上一点，将线段𝑃𝐵绕点𝑃顺 时针旋转得线段𝑃𝑄，点𝑄在射线𝐵𝐶 上，当𝑃𝑄的垂直平分线𝑀𝑁经过△𝐴𝐵𝐶一边中点时，𝑃𝐵 的长为_________. 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）如图所示，把△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴旋转至△𝐴𝐷𝐸 的位置，延长𝐵𝐶交𝐴𝐷于𝐹，交𝐷𝐸于𝐺， 若∠𝐶𝐴𝐷 = 10∘ ，∠𝐷 = 25∘ ，∠𝐸𝐴𝐵 = 120∘ ，求∠𝐷𝐹𝐵 的度数. 40/66 18.（12 分）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之 为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成 的图形（“花瓣”在圆中是均匀分布的）. （1）在 A、B、C、D、E 这 5 个图形中，是轴对称图形的有________________，是中心对称 图形的有__________.（填字母） （2）当花瓣数大于 1 时，若花瓣的个数是______，则花瓣图形既是轴对称图形，又是中心对 称图形；若花瓣的个数是______，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形. （3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么图形（填“轴对称图形”或“中心对称图形”） ：①九瓣图形是______________________； ②十二瓣图形是_________________________________________________________ _______________________________________________. 19.（10 分）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂.在线段𝐴𝑂上任取一点𝑃 （端 点除外），连接𝑃𝐷，𝑃𝐵.将线段𝐷𝑃绕点𝑃逆时针旋转，使点𝐷落在𝐵𝐴 的延长线上的点𝑄 处. （1）请补全图形，并证明𝑃𝐷 = 𝑃𝐵 . （2）当点𝑃在线段𝐴𝑂上的位置发生变化时，∠𝐷𝑃𝑄 的大小是否发生变化？请说明理由. 41/66 20.（10 分）在平面直角坐标系中，𝑂 为坐标原点，已知点𝐵(0,4)，点𝐴在𝑥轴负半轴上，且∠𝐵𝐴𝑂 = 30∘ ，将△𝐴𝑂𝐵绕点𝑂 顺时针旋转得△𝐶𝑂𝐷，点𝐴，𝐵旋转后的对应点分别为𝐶，𝐷，记旋转 角为𝛼 . （1）如图（1），𝐶𝐷恰好经过点𝐵 时. ①求此时旋转角𝛼 的度数. ②求出此时点𝐶 的坐标. （2）如图（2），若0∘ < 𝛼 < 90∘ ，设直线𝐴𝐶和直线𝐷𝐵交于点𝑃，猜测𝐴𝐶 与𝐵𝐷 的位置关系， 并说明理由. 21.（12 分）在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐴𝐵𝐶 = 30∘ ，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵顺时针旋转一定 的角度𝛼 得到△𝐷𝐵𝐸，点𝐴，𝐶 的对应点分别是𝐷，𝐸 . （1）如图（1），连接𝐴𝐷，当点𝐸恰好在𝐴𝐵上时，求∠𝐴𝐷𝐸 的大小； （2）如图（2），若𝛼 = 60∘ ，点𝐹是𝐴𝐵的中点，连接𝐶𝐸，𝐶𝐹，𝐷𝐹 ，判断四边形𝐶𝐸𝐷𝐹 的 形状，并证明你的结论. 42/66 22.（14 分）【阅读材料】 （1）如图（1），等边△𝐴𝐵𝐶内有一点𝑃，若点𝑃到顶点𝐴，𝐵，𝐶 的距离分别为 3，4，5，求∠𝐴𝑃𝐵 的度数.为了解决本题，我们可以将△𝐴𝐵𝑃绕顶点𝐴旋转到△𝐴𝐶𝑃′处，连接𝑃𝑃′ ，此时 △𝐴𝐶𝑃′≌△𝐴𝐵𝑃，这样就可以利用旋转变换，将三条线段𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶 转化到一个三角形中， 从而求出∠𝐴𝑃𝐵 = ______. （2）请你利用（1）中的思想方法，解决下面的问题.如图（2），△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐸，𝐹为𝐵𝐶 上的点且∠𝐸𝐴𝐹 = 45∘ ，求证：𝐸𝐹2 = 𝐵𝐸2 + 𝐹𝐶2 . （3）如图（3），在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，𝐴𝐶 = 1，∠𝐴𝐵𝐶 = 30∘ ，点𝑂为Rt△𝐴𝐵𝐶内 一点，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，𝐶𝑂，且∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐶𝑂𝐵 = ∠𝐵𝑂𝐴 = 120∘ ，求𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 的值. 43/66