第23章 旋转 基础检测卷-九年级上册数学单元大小卷

第二十三章 基础检测卷 考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.以下生活现象中，属于旋转变换的是( ) A.钟表的指针和钟摆的运动 B.电梯的升降 C.火车沿平直轨道行驶 D.地下水水位线逐年下降 2.“我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如图所示，其中属于中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，点𝐴(−3,6)与点𝐵(3, −6) 的位置关系为( ) A.关于原点中心对称 B.关于𝑦 轴对称 C.关于𝑥 轴对称 D.以上都不对 4.如图，在11 × 6 的正方形网格纸中，△𝐴𝐵𝐶 的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中 心，将△𝐴𝐵𝐶旋转180∘ 后得到△𝐴′𝐵′𝐶′ ，则旋转中心是( ) A.点𝑃 B.点𝐶′ C.点𝑂 D.点𝑅 5.如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于点𝑂 中心对称，则下列结论不一定成立的是( ) A.𝐴𝐵//𝐷𝐸 B.𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 C.𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 D.𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 29/66 6.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐵 = 30∘ ，𝐴𝐵 = 4，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴 顺时针旋转 得到△𝐴𝐵′𝐶′，当点𝐶′落在边𝐴𝐵上时，线段𝐶𝐶′ 的长为( ) A.2π 3 B.1 C.√3 D.2 7.如图，由图（1）到图（2）再到图（3）的变化过程中，不可能经过的图形变换是( ) A.平移 B.旋转 C.中心对称 D.轴对称 8.如图，点𝐴的坐标是(−4,6)，将线段𝑂𝐴 绕点𝑂顺时针旋转90∘ ，点𝐴 的对应点的坐标是( ) A.(4,6) B.(6,4) C.(−6, −4) D.(−4, −6) 9.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵 = 6，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵按逆时针方向旋转30∘ 后得到△𝐴′𝐵𝐶′，连接 𝐴𝐴′ ，则阴影部分的面积为( ) A.6 B.6√3 C.9√3 D.9 30/66 10.如图，边长为8𝑎的等边三角形𝐴𝐵𝐶 中，𝑀是高𝐶𝐻所在直线上的一个动点，连接𝑀𝐵，将线 段𝐵𝑀绕点𝐵 逆时针旋转60∘ 得到𝐵𝑁，连接𝐻𝑁，则在点𝑀运动过程中，线段𝐻𝑁 长度的最小 值是( ) A.1 3 𝑎 B.𝑎 C.2𝑎 D.4𝑎 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.将如图所示的图案绕其中心至少旋转____度后能与原图案完全重合. 12.已知点𝐴(𝑎, 1)与点𝐵(−4, 𝑏)关于原点对称，则𝑎 − 𝑏 的值为___. 13.在如图所示的4 × 4 正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一 个中心对称图形，这样的涂法有___种. 31/66 14.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，点𝐸为边𝐷𝐶 上 一点，△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴顺时针旋转90∘ 得到△𝐴𝐵𝐹，连接𝐸𝐹，则△𝐴𝐸𝐹 为__________ 三角形. 15.如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐵 旋转得到矩形𝐺𝐵𝐸𝐹，点𝐸在𝐴𝐷上，延长𝐷𝐴交𝐺𝐹于点𝐻 .若∠𝐸𝐵𝐶 = 36∘ ，则∠𝐴𝐵𝐻 的度数为____. 16.如图，在平面直角坐标系中，点𝐵在第一象限，𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 = 1，∠𝑂𝐴𝐵 = 120∘ ，将△𝐴𝑂𝐵绕 点𝑂旋转，使点𝐵落在𝑥轴上，则此时点𝐴 的坐标为____________________. 32/66 三、解答题（共 6小题） 17.（8分）如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐷 并延长到点𝐸，使𝐷𝐸 = 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸 . （1）图中哪两个图形成中心对称？ （2）若△𝐴𝐷𝐶的面积为 4，求△𝐴𝐵𝐸 的面积. 18.（10分）如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(2,4) ，𝐵(1,1)，𝐶(4,3) . （1）请画出△𝐴𝐵𝐶关于原点对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出𝐴1 的坐标； （2）请画出△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵逆时针旋转90∘ 后的△𝐴2𝐵2𝐶2，并写出𝐴2 的坐标. 33/66 19.（10分）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部 分. （1）如图（1），直线𝑚经过平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线的交点𝑂，分别交边𝐴𝐷 ，𝐵𝐶于点𝐸，𝐹， 则𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐵_____ 𝑆四边形𝐷𝐸𝐹𝐶（填“> ”“< ”或“= ” ）； （2）如图（2），两个正方形如图所示摆放，𝑂 为小正方形对角线的交点，求作过点𝑂 的直线 将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图（3）所示摆放，求作直线将整个图形分成面积 相等的两部分（用三种方法分割）. 20.（12分）如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴 逆时针旋转得到△𝐴𝐷𝐸，点𝐷在边𝐵𝐶上，∠𝐵 = 75∘ . （1）求∠𝐶𝐷𝐸 的大小； （2）若∠𝐶 = 45∘ ，𝐴𝐶与𝐷𝐸交于点𝐹，试探究线段𝐸𝐹与𝐶𝐷 的数量关系， 并说明理由. 34/66 21.（12分）如图，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中的△𝐴𝐵𝑃绕点𝐵顺时针旋转到△𝐶𝐵𝑃′的位置，且𝐵𝑃 = 2， 𝐴𝑃 = 1 . （1）求𝑃𝑃′ 的长； （2）连接𝐶𝑃，若𝐶𝑃 = 3，求∠𝐴𝑃𝐵 的度数. 22.（14分）如图（1），在Rt△𝐴𝐵𝐶与Rt△𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 90∘ ，∠𝐴 = 30∘ ，∠𝐷 = 45∘ ，把△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶 顺时针方向旋转𝛼(0∘ < 𝛼 ≤ 180∘)得到△𝐴′𝐶𝐵′ . （1）在旋转过程中，当𝐵′𝐶 ⊥ 𝐵𝐷时，求𝛼 的度数. 35/66 （2）如图（2），在旋转过程中，若边𝐴′𝐵′与边𝐵𝐶相交于点𝐸，与边𝐵𝐷 相交于点𝐹，连接𝐴′𝐷， 设∠𝐷𝐴′𝐵′ = 𝑥，∠𝐵𝐶𝐵′ = 𝑦，∠𝐴′𝐷𝐵 = 𝑧，试探究𝑥 + 𝑦 + 𝑧 的度数是否发生变化.若不变，请求 出这个度数；若变化，请说明理由. （3）在旋转过程中，当𝐴′𝐵′与△𝐵𝐶𝐷的一边垂直时，求出𝛼 的度数. 36/66 第二十三章 基础检测卷 考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3分） 1.以下生活现象中，属于旋转变换的是( ) A.钟表的指针和钟摆的运动 B.电梯的升降 C.火车沿平直轨道行驶 D.地下水水位线逐年下降 【解析】A 选项，钟表的指针和钟摆的运动属于旋转变换，故本选项正确；B 选项，电梯的升 降属于平移现象，故本选项错误；C 选项，火车沿平直轨道行驶属于平移现象，故本选项错误； D 选项，地下水水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误.故选 A. 2.“我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如图所示，其中属于中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解析】C 3.在平面直角坐标系中，点𝐴(−3,6)与点𝐵(3, −6) 的位置关系为( ) A.关于原点中心对称 B.关于𝑦 轴对称 C.关于𝑥 轴对称 D.以上都不对 【解析】∵ 点𝐴(−3,6)与点𝐵(3, −6)的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴ 点𝐴(−3,6)与点𝐵(3, −6) 关于原点中心对称.故选 A. 4.如图，在11 × 6 的正方形网格纸中，△𝐴𝐵𝐶 的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中 心，将△𝐴𝐵𝐶旋转180∘ 后得到△𝐴′𝐵′𝐶′ ，则旋转中心是( ) A.点𝑃 B.点𝐶′ C.点𝑂 D.点𝑅 【解析】如图所示，连接𝐴𝐴′，𝐵𝐵′，则𝐴𝐴′，𝐵𝐵′，𝐶𝐶′ 的交点为点𝑂，∴ 旋转中心是点𝑂 .故 选 C. 46/115 5.如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于点𝑂 中心对称，则下列结论不一定成立的是( ) A.𝐴𝐵//𝐷𝐸 B.𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 C.𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 D.𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 【解析】∵ △𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于点𝑂中心对称，∴ 𝐴𝐵//𝐷𝐸 ，𝑂𝐵 = 𝑂𝐸，𝐵𝐶 = 𝐸𝐹，但𝐴𝐷与𝐵𝐸 不一定相等.故选 B. 6.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐵 = 30∘ ，𝐴𝐵 = 4，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴 顺时针旋转 得到△𝐴𝐵′𝐶′，当点𝐶′落在边𝐴𝐵上时，线段𝐶𝐶′ 的长为( ) A.2π 3 B.1 C.√3 D.2 【解析】∵ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐵 = 30∘ ，𝐴𝐵 = 4，∴ 𝐴𝐶 = 2，∠𝐶𝐴𝐶′ = 60∘. ∵ 将 △𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转得到△𝐴𝐵′𝐶′，∴ 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶 = 2，∴ △𝐶𝐴𝐶′ 为等边三角形， ∴ 𝐶𝐶′ = 𝐴𝐶 = 2 ，故选 D. 7.如图，由图（1）到图（2）再到图（3）的变化过程中，不可能经过的图形变换是( ) 47/115 A.平移 B.旋转 C.中心对称 D.轴对称 【解析】由题中图（1）到图（2）再到图（3）的变化过程中，经过的图形变换可能是旋转、 中心对称、轴对称，不可能是平移.故选 A. 8.如图，点𝐴的坐标是(−4,6)，将线段𝑂𝐴 绕点𝑂顺时针旋转90∘ ，点𝐴 的对应点的坐标是( ) A.(4,6) B.(6,4) C.(−6, −4) D.(−4, −6) 【解析】如图，画出线段𝑂𝐴绕点𝑂顺时针旋转90∘ 后得到的线段𝑂𝐴′ ,分别过点𝐴和点𝐴′作𝑥轴 的垂线，垂足分别为𝐵，𝐶. ∵ 点𝐴 的坐标为(−4,6)，∴ 𝑂𝐵 = 4，𝐴𝐵 = 6. ∵ 将线段𝑂𝐴绕点𝑂顺 时针旋转90∘ 得到𝑂𝐴′，∴ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐴′，∠𝐴𝑂𝐴′ = 90∘ ，∴ ∠𝐴𝑂𝐵 = 90∘ − ∠𝐴′𝑂𝐶 = ∠𝑂𝐴′𝐶 ， ∴ △𝐴𝑂𝐵≌△𝑂𝐴′𝐶(AAS)，∴ 𝐴′𝐶 = 𝑂𝐵 = 4，𝑂𝐶 = 𝐴𝐵 = 6，∴ 点𝐴′的坐标为(6,4) ， 故选 B. 9.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵 = 6，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵按逆时针方向旋转30∘ 后得到△𝐴′𝐵𝐶′，连接 𝐴𝐴′ ，则阴影部分的面积为( ) 48/115 A.6 B.6√3 C.9√3 D.9 【解析】∵ 将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵按逆时针方向旋转30∘ 后得到△𝐴′𝐵𝐶′，∴ ∠𝐴′𝐵𝐴 = 30∘ ,𝑆Δ𝐴′𝐵𝐶′ = 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 ， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆△𝐴′𝐵𝐴 + 𝑆△𝐴′𝐵𝐶′ − 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 𝑆△𝐴′𝐵𝐴.如图，过𝐴′ 作𝐴′𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于𝐷. ∵ 𝐴′𝐵 = 𝐴𝐵 = 6， ∠𝐴′𝐵𝐴 = 30∘ ， ∴ 𝐴′𝐷 = 1 2 𝐴′𝐵 = 3，∴ 𝑆△𝐴′𝐵𝐴 = 1 2 × 6 × 3 = 9 ，故选 D. 10.如图，边长为8𝑎的等边三角形𝐴𝐵𝐶 中，𝑀是高𝐶𝐻所在直线上的一个动点，连接𝑀𝐵，将线 段𝐵𝑀绕点𝐵 逆时针旋转60∘ 得到𝐵𝑁，连接𝐻𝑁，则在点𝑀运动过程中，线段𝐻𝑁 长度的最小 值是( ) A.1 3 𝑎 B.𝑎 C.2𝑎 D.4𝑎 49/115 【解析】如图 ，取𝐵𝐶的中点𝐺，连接𝑀𝐺，则𝐵𝐺 = 1 2 𝐵𝐶 = 4𝑎. ∵ 线 段𝐵𝑀绕点𝐵逆时针旋转60∘ 得到𝐵𝑁 ， ∴ ∠𝑀𝐵𝑁 = ∠𝑀𝐵𝐻 + ∠𝑁𝐵𝐻 = 60∘ .又∵ △𝐴𝐵𝐶 是等边三角形， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶 = 60∘ ，即∠𝑀𝐵𝐻 + ∠𝐺𝐵𝑀 = 60∘ ， ∴ ∠𝐻𝐵𝑁 = ∠𝐺𝐵𝑀. ∵ 𝐶𝐻是等边三角形𝐴𝐵𝐶的高，∴ 𝐵𝐻 = 𝐵𝐺 = 4𝑎. 又∵ 𝐵𝑀绕点𝐵 逆时针旋转60∘ 得到𝐵𝑁，∴ 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁.在△𝑀𝐵𝐺 和 △𝑁𝐵𝐻中，{ 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁, ∠𝐺𝐵𝑀 = ∠𝐻𝐵𝑁, 𝐵𝐺 = 𝐵𝐻, ∴ △𝑀𝐵𝐺≌△𝑁𝐵𝐻(SAS)， ∴ 𝑀𝐺 = 𝑁𝐻.根据垂线段最短，知当𝑀𝐺 ⊥ 𝐶𝐻时，𝑀𝐺最短，即𝐻𝑁 最短.易知 ∠𝐵𝐶𝐻 = 1 2 × 60∘ = 30∘ ，∴ 𝐻𝑁 = 𝑀𝐺 = 𝐶𝐺 2 = 2𝑎,∴ 线段𝐻𝑁长度的最小值是2𝑎 .故 选 C. 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.将如图所示的图案绕其中心至少旋转____度后能与原图案完全重合. 【解析】图案可看作由一个基本图案每次旋转90∘ ，旋转 4 次组成的，故最小旋转 角为90∘ .故答案为 90. 12.已知点𝐴(𝑎, 1)与点𝐵(−4, 𝑏)关于原点对称，则𝑎 − 𝑏 的值为___. 【解析】∵ 点𝐴(𝑎, 1)与点𝐵(−4, 𝑏)关于原点对称，∴ 𝑎 = 4，𝑏 = −1，则𝑎 − 𝑏 的值 为4 − (−1) = 5 .故答案为 5. 13.在如图所示的4 × 4 正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一 50/115 个中心对称图形，这样的涂法有___种. 【解析】根据中心对称图形的定义，可得如图的涂法，且只有一种，故答案为 1. 14.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，点𝐸为边𝐷𝐶 上 一点，△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴顺时针旋转90∘ 得到△𝐴𝐵𝐹，连接𝐸𝐹，则△𝐴𝐸𝐹 为__________ 三角形. 【解析】∵ △𝐴𝐷𝐸绕点𝐴顺时针旋转90∘ 得到△𝐴𝐵𝐹，∴ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 ，∠𝐸𝐴𝐹 = 90∘ ，∴ △𝐴𝐸𝐹 为等腰直角三角形.故答案为等腰直角. 15.如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐵 旋转得到矩形𝐺𝐵𝐸𝐹，点𝐸在𝐴𝐷上，延长𝐷𝐴交𝐺𝐹于点𝐻 .若∠𝐸𝐵𝐶 = 36∘ ，则∠𝐴𝐵𝐻 的度数为____. 51/115 【解析】∵ 将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐵旋转得到矩形𝐺𝐵𝐸𝐹 ， ∴ 𝐴𝐵 = 𝐵𝐺，∠𝐸𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐺 = 36∘ ，∠𝐺 = ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐴𝐻 = 90∘ .又∵ 𝐵𝐻 = 𝐵𝐻，∴ Rt△𝐴𝐵𝐻≌Rt△𝐺𝐵𝐻(HL) ，∴ ∠𝐴𝐵𝐻 = ∠𝐺𝐵𝐻.又∵ ∠𝐴𝐵𝐻 + ∠𝐺𝐵𝐻 = ∠𝐴𝐵𝐺 = 36∘ ，∴ ∠𝐴𝐵𝐻 = 18∘ ，故答案为18∘ . 16.如图，在平面直角坐标系中，点𝐵在第一象限，𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 = 1，∠𝑂𝐴𝐵 = 120∘ ，将△𝐴𝑂𝐵绕 点𝑂旋转，使点𝐵落在𝑥轴上，则此时点𝐴 的坐标为_ ___________________. 【解析】∵ 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 = 1，∠𝑂𝐴𝐵 = 120∘ ，∴ ∠𝐴𝑂𝐵 = 30∘ .设点𝐴 的对应点为点𝐸，点𝐵的对应点为点𝐹.如图（1） ，当点𝐹在𝑥 轴 正半轴时，过点𝐸作𝐸𝐻 ⊥ 𝑂𝐹于𝐻 ，由旋转的性质可得 ∠𝐸𝑂𝐹 = ∠𝐴𝑂𝐵 = 30∘ ，𝑂𝐸 = 𝑂𝐴 = 1，∴ 𝐸𝐻 = 1 2 𝑂𝐸 = 1 2 ， 52/115 ∴ 𝑂𝐻 = √𝑂𝐸2 − 𝐸𝐻2 = √3 2 ，∴ 𝐸( √3 2 ， 1 2 ) . 如图（2） ， 当点𝐹在𝑥轴负半轴时，同理可得𝐸(− √3 2 ，− 1 2 ) . 综上所述，点𝐵落在𝑥轴上时，点𝐴的坐标为(− √3 2 ，− 1 2 ) 或 ( √3 2 ， 1 2 )，故答案为(− √3 2 ，− 1 2 )或( √3 2 ， 1 2 ) . 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐷 并延长到点𝐸，使𝐷𝐸 = 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸 . （1）图中哪两个图形成中心对称？ 【解】△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵 成中心对称.…………（3 分） （2）若△𝐴𝐷𝐶的面积为 4，求△𝐴𝐵𝐸 的面积. 【解】∵ △𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵成中心对称，△𝐴𝐷𝐶的面积为 4，∴ △𝐸𝐷𝐵 的面积也为 4.…（6 分） ∵ 𝐷为𝐵𝐶的中点，∴ △𝐴𝐵𝐷 的面积也为 4， ∴ △𝐴𝐵𝐸 的面积为 8.…………（8 分） 53/115 18.（10 分）如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(2,4) ，𝐵(1,1)，𝐶(4,3) . （1）请画出△𝐴𝐵𝐶关于原点对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出𝐴1 的坐标； 【解】如图，△𝐴1𝐵1𝐶1 即为所求.…………（3 分） 𝐴1的坐标为(−2, −4) .…………（5 分） （2）请画出△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵逆时针旋转90∘ 后的△𝐴2𝐵2𝐶2，并写出𝐴2 的坐标. 【解】如图，△𝐴2𝐵2𝐶2 即为所求.…………（8 分） 𝐴2的坐标为(−2,2) .…………（10 分） 19.（10 分）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部 分. 54/115 （1）如图（1），直线𝑚经过平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线的交点𝑂，分别交边𝐴𝐷 ，𝐵𝐶于点𝐸，𝐹， 则𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐵_____ 𝑆四边形𝐷𝐸𝐹𝐶（填“> ”“< ”或“= ” ）； 【解】由题意可知𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐵 = 𝑆四边形𝐷𝐸𝐹𝐶.故答案为=.…………（2 分） （2）如图（2），两个正方形如图所示摆放，𝑂 为小正方形对角线的交点，求作过点𝑂 的直线 将整个图形分成面积相等的两部分； 【解】如图（1）所示.…………（4 分） （3）八个大小相同的正方形如图（3）所示摆放，求作直线将整个图形分成面积 相等的两部分（用三种方法分割）. 【解】如图（2）所示.…………（10 分） 20.（12 分）如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴 逆时针旋转得到△𝐴𝐷𝐸，点𝐷在边𝐵𝐶上，∠𝐵 = 75∘ . （1）求∠𝐶𝐷𝐸 的大小； 55/115 【解】由旋转得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸 ， ∴ ∠𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐸 = 75∘ ，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ，…………（2 分） ∴ ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐵 = 75∘ ，…………（3 分） ∴ ∠𝐶𝐷𝐸 = 180∘ − ∠𝐴𝐷𝐵 − ∠𝐴𝐷𝐸 = 30∘ .…………（5 分） （2）若∠𝐶 = 45∘ ，𝐴𝐶与𝐷𝐸交于点𝐹，试探究线段𝐸𝐹与𝐶𝐷 的数量关系， 并说明理由. 【解】𝐸𝐹 = 𝐶𝐷.理由：∵ ∠𝐵 = 75∘ ，∠𝐶 = 45∘ ，∴ ∠𝐵𝐴𝐶 = 60∘ .…………（7 分） ∵ ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐵 = 75∘ ，∴ ∠𝐵𝐴𝐷 = 30∘ ，∴ ∠𝐷𝐴𝐶 = 30∘. ∵ ∠𝐸 = ∠𝐶 = 45∘ ， ∴ ∠𝐶𝐴𝐸 = ∠𝐸𝐷𝐶 = 30∘ ，∴ ∠𝐶𝐴𝐸 = ∠𝐷𝐴𝐶 .…………（9 分） 又∵ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶，∴ △𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐹𝐸，∴ 𝐸𝐹 = 𝐶𝐷 .…………（12 分） 21.（12 分）如图，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中的 △𝐴𝐵𝑃绕点𝐵顺时针旋转到△𝐶𝐵𝑃′的位置，且𝐵𝑃 = 2，𝐴𝑃 = 1 . （1）求𝑃𝑃′ 的长； 【解】∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴ ∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘. ∵ △𝐴𝐵𝑃绕点𝐵 顺时针旋转到 △𝐶𝐵𝑃′的位置，∴ ∠𝑃𝐵𝑃′ = ∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘ ，𝑃𝐵 = 𝑃′𝐵 = 2 ，（4 分） ∴ △𝑃𝐵𝑃′为等腰直角三角形，∴ 𝑃𝑃′ = √𝑃𝐵2 + 𝑃′𝐵2 = 2√2 .（6 分） 56/115 （2）连接𝐶𝑃，若𝐶𝑃 = 3，求∠𝐴𝑃𝐵 的度数. 【解】∵ 𝑃′𝐶 = 𝐴𝑃 = 1，(2√2)2 + 12 = 32，即𝑃𝑃′2 + 𝑃′𝐶2 = 𝑃𝐶2，∴ △𝑃𝐶𝑃′ 是直角三角形， ∠𝑃𝑃′𝐶 = 90∘ .…………（9 分） 又∵ △𝐵𝑃𝑃′是等腰直角三角形，∴ ∠𝐵𝑃′𝑃 = 45∘ ，∴ ∠𝐵𝑃′𝐶 = 45∘ + 90∘ = 135∘ ，（11 分） ∴ ∠𝐴𝑃𝐵 = ∠𝐵𝑃′𝐶 = 135∘ .…………（12 分） 22.（14 分）如图（1），在Rt△𝐴𝐵𝐶与Rt△𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 90∘ ，∠𝐴 = 30∘ ，∠𝐷 = 45∘ ，把△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶 顺时针方向旋转𝛼(0∘ < 𝛼 ≤ 180∘)得到△𝐴′𝐶𝐵′ . （1）在旋转过程中，当𝐵′𝐶 ⊥ 𝐵𝐷时，求𝛼 的度数. 【解】∵ ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 90∘ ，∠𝐷 = 45∘ ，∴ ∠𝐶𝐵𝐷 = 45∘ .…………（1 分） 当𝐵′𝐶 ⊥ 𝐵𝐷时，∠𝐵𝐶𝐵′ = 90∘ − ∠𝐶𝐵𝐷 = 45∘ ，即𝛼 = 45∘ .…………（3 分） （2）如图（2），在旋转过程中，若边𝐴′𝐵′与边𝐵𝐶相交于点𝐸，与边𝐵𝐷 相交于点𝐹，连接𝐴′𝐷， 设∠𝐷𝐴′𝐵′ = 𝑥，∠𝐵𝐶𝐵′ = 𝑦，∠𝐴′𝐷𝐵 = 𝑧，试探究𝑥 + 𝑦 + 𝑧 的度数是否发生变化.若不变，请求 出这个度数；若变化，请说明理由. 【解】𝑥 + 𝑦 + 𝑧的度数不变.∵ ∠𝐸𝐹𝐵是△𝐴′𝐷𝐹 的外角， ∴ ∠𝐸𝐹𝐵 = ∠𝐴′𝐷𝐹 + ∠𝐷𝐴′𝐹 = 𝑥 + 𝑧.又∵ ∠𝐵𝐸𝐹是△𝐸𝐶𝐵′ 的外角， ∠𝐴′𝐵′𝐶 = 90∘ − 30∘ = 60∘ ,∴ ∠𝐵𝐸𝐹 = ∠𝐵𝐶𝐵′ + ∠𝐴′𝐵′𝐶 = 𝑦 + 60∘ .…………（6 分） 在△𝐵𝐸𝐹中，∠𝐵 + ∠𝐵𝐸𝐹 + ∠𝐸𝐹𝐵 = 180∘ ，即45∘ + 𝑦 + 60∘ + 𝑥 + 𝑧 = 180∘ ， ∴ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180∘ − 45∘ − 60∘ = 75∘ .…………（8 分） 57/115 （3）在旋转过程中，当𝐴′𝐵′与△𝐵𝐶𝐷的一边垂直时，求出𝛼 的度数. 【解】分类讨论：①当𝐴′𝐵′ ⊥ 𝐵𝐶 时，如图（1） ，易知∠1 = 90∘ − 60∘ = 30∘ ，即𝛼 = 30∘ .…………（10 分） ②当𝐴′𝐵′ ⊥ 𝐶𝐷时，如图（2） ，易知∠2 = 90∘ − 60∘ = 30∘ ， ∴ ∠𝐵𝐶𝐵′ = 90∘ + 30∘ = 120∘ ，即𝛼 = 120∘ .…………（12 分） ③当𝐴′𝐵′ ⊥ 𝐵𝐷时，如图（3） ,易知∠3 = 90∘ − 30∘ = 60∘ ， ∴ ∠4 = 60∘ ， ∴ ∠5 = 180∘ − 60∘ − 45∘ = 75∘ ， ∴ ∠𝐵𝐶𝐵′ = 90∘ + 75∘ = 165∘ ， 即𝛼 = 165∘ . 综上所述，𝛼 的度数为30∘ 或120∘ 或165∘ .…………（14 分） 58/115