第22章 二次函数 素养检测卷-九年级上册数学单元大小卷

第二十二章基础检测卷 考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3分） 1.下列各式中，𝑦是𝑥 的二次函数的是( ) A.𝑦 = 1 𝑥2 B.𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑥 + 1 C.𝑦 = 2𝑥2 − 1 D.𝑦 = √𝑥2 − 1 【解析】C 2.二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 1(𝑎 ≠ 0) 的图象经过点(1,1)，则代数式𝑎 + 𝑏 − 2 的值为( ) A.−3 B.0 C.2 D.5 【解析】∵ 二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 1(𝑎 ≠ 0)的图象经过点(1,1) ， ∴ 𝑎 + 𝑏 − 1 = 1，∴ 𝑎 + 𝑏 − 2 = 0 ，故选 B. 3.如图，抛物线对称轴为直线𝑥 = 1 ，与𝑥轴的一个交点为𝐴(−1,0) ，则另一个交点的坐标是( ) A.(3,0) B.(−3,0) C.(1,0) D.(2,0) 【解析】由抛物线的对称性可得与𝑥轴另一个交点的坐标为(3,0) ，故选 A. 4.以下是四位同学以接力的方式将二次函数𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 3 化为顶点式的过程，每位同学 只负责其中的一步，其中出错的步骤有( ) 解：𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = −2(𝑥2 + 2𝑥) − 3① = −2(𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) − 3② = −2(𝑥 + 1)2 − 1 − 3③ = −2(𝑥 + 1)2 − 4④ . A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 35/115 【解析】𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = −2(𝑥2 − 2𝑥) − 3 ， −2(𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) − 3 = −2(𝑥 + 1)2 + 2 − 3 , 故①③错误.故选 B. 5.如图，点𝐴(2.18, −0.51) ，𝐵(2.68,0.54)在二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的图象上，则 方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 的一个解的近似值可能是( ) A.2.18 B.2.68 C.−0.51 D.2.45 【解析】由图象得𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 的一个解介于 2.18 和 2.68 之间，故选 D. 6.将抛物线𝑦 = −𝑥2 + (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎(𝑎 > 1) 向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】将抛物线𝑦 = −𝑥2 + (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎(𝑎 > 1) 向上平移 2 个单位可得抛物线𝑦 = −𝑥2 + (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 + 2 = −(𝑥 − 𝑎+1 2 )2 + 1 4 (𝑎 + 3)2， ∴ 所得抛物线顶点坐标为( 𝑎+1 2 ， 1 4 (𝑎 + 3)2).∵ 𝑎 > 1，∴ 𝑎+1 2 > 0， 1 4 (𝑎 + 3)2 > 0， ∴ 所得抛物线顶点一定在第一象限，故选 A. 7.已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的图象如图所示，给出以下结论：①𝑎+ 𝑏 + 𝑐 < 0；②𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 ；③𝑏 > 0 ，其中正确结论的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 36/115 【解析】由图象可知，当𝑥 = 1时，𝑦 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 0，故①正确； 抛物线与𝑥 轴有两个交点，则𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0，故②正确； 抛物线开口向下，则𝑎 < 0，对称轴在𝑦 轴的左侧，则− 𝑏 2𝑎 < 0，所以𝑏 < 0 ，故③错误. 故选 B. 8.某茶杯的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面𝐴𝐵𝐶呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计）， 点𝐴、点𝐶位于杯口处，且𝐴𝐶 = 10 cm ，点𝐵是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最 大深度（点𝐵到𝐴𝐶 的距离）为4 cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2 cm（点 𝐵到𝐸𝐹 的距离），则𝐸𝐹 的长度为( ) A.5√2 cm B.2√5 cm C.√5 cm D.5√2 2 cm 【解析】以点𝐵为原点，水平、竖直方向线为𝑥轴、𝑦 轴建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0).将𝐶(5,4)代入，得4 = 25𝑎，解得𝑎 = 4 25 ， ∴ 𝑦 = 4 25 𝑥2.将𝑦 = 2代入𝑦 = 4 25 𝑥2，得2 = 4 25 𝑥2，解得𝑥 = ± 5√2 2 ， ∴ 𝐸(− 5√2 2 ，2) ，𝐹( 5√2 2 ，2)，∴ 𝐸𝐹 = 5√2 cm .故选 A. 9.已知函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 1在𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 1 上的最大值是 1，最小值是− 5 4 ，则𝑚 的取值范围是( ) A.𝑚 ≥ −2 B.0 ≤ 𝑚 ≤ 1 2 C.−2 ≤ 𝑚 ≤ − 1 2 D.𝑚 ≤ − 1 2 【解析】∵ 函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 1的图象的对称轴为直线𝑥 = − 1 2 ， ∴ 当𝑥 = − 1 2 时，𝑦 有最小值，此时𝑦 = 1 4 − 1 2 − 1 = − 5 4 . ∵ 函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 1在𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 1 上的最小值是− 5 4 ， ∴ 𝑚 ≤ − 1 2 .∵ 当𝑦 = 1时，𝑥2 + 𝑥 − 1 = 1，解得𝑥1 = −2，𝑥2 = 1 , ∴ −2 ≤ 𝑚 ≤ − 1 2 . 37/115 10.如图，已知抛物线𝐿 的解析式为𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥，将点𝑀(0, 𝑛)向右平移 5 个单位长度得到点𝑁 ， 若线段𝑀𝑁与𝐿只有一个公共点，那么𝑛 的取值范围是( ) A.𝑛 = −4 B.𝑛 = −4或0 < 𝑛 < 5 C.0 ≤ 𝑛 < 5 D.𝑛 = −4或0 < 𝑛 ≤ 5 【解析】因为点𝑀坐标为(0, 𝑛)，且点𝑁由点𝑀 向右平移 5 个单位长度得到， 所以点𝑁的坐标为(5, 𝑛).当𝑛 > 0时， 将𝑥 = 5代入抛物线的解析式，得𝑦 = 52 − 4 × 5 = 5 ， 所以线段𝑀𝑁与𝐿只有一个公共点时，𝑛 ≤ 5，故此时𝑛的取值范围是0 < 𝑛 ≤ 5 . 当𝑛 ≤ 0时，令𝑦 = 0，则𝑥2 − 4𝑥 = 0，解得𝑥 = 0或 4， 即抛物线与𝑥 轴的交点坐标为(0,0)和(4,0)，则此时只有线段𝑀𝑁经过抛物线的顶点时， 线段𝑀𝑁与𝐿 只有一个公共点.因为抛物线的顶点坐标为(2, −4)， 所以此时𝑛 = −4.综上所述，𝑛 的取值范围是𝑛 = −4或0 < 𝑛 ≤ 5 .故选 D. 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.请写出一个图象开口向下，且经过点(0,1) 的二次函数的解析式:_______________________ ____. 【解析】∵ 二次函数的图象开口向下，且经过点(0,1)， ∴ 该二次函数的解析式可以是𝑦 = −𝑥2 + 1，故答案为𝑦 = −𝑥2 + 1 （答案不唯一）. 12.如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是①𝑦 = 𝑎𝑥2，②𝑦 = 𝑏𝑥2，③𝑦 = 𝑐𝑥2，④𝑦 = 𝑑 𝑥2，则𝑎 ，𝑏，𝑐，𝑑的大小关系是______________.（用“> ”连接） 38/115 【解析】根据开口大小可知|𝑎| > |𝑏|，|𝑑| > |𝑐|. 又因为𝑎 > 0 ，𝑏 > 0，𝑐 < 0,𝑑 < 0，所以𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 𝑑 . 13.如图，已知抛物线经过(−2,−3)和(3, −3) 两点，如果点(1, 𝑦1)与(2, 𝑦2)在此抛物线上，那么 𝑦1___𝑦2.（填“> ”“< ”或“= ”） 【解析】∵ 抛物线经过(−2,−3)和(3, −3)两点， ∴ 抛物线的对称轴为直线𝑥 = −2+3 2 = 1 2 . ∵ 抛物线的开口向下，点(1, 𝑦1)与(2, 𝑦2)在此抛物线上，∴ 𝑦1 > 𝑦2 .故答案为> . 14.若抛物线𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 𝑐（𝑐是常数）与𝑥 轴没有交点，则𝑐 的取值范围是______. 【解析】∵ 抛物线𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 𝑐与𝑥轴没有交点，∴ 𝑥2 − 𝑥 + 𝑐 = 0 没有实数根， ∴ Δ = (−1)2 − 4 × 1 × 𝑐 = 1 − 4𝑐 < 0，∴ 𝑐 > 1 4 .故答案为𝑐 > 1 4 . 15.一种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间𝑡(s) 的关系式是ℎ = − 3 4 𝑡2 + 12𝑡 − 21 .若这种礼炮在 升空后到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为___s . 【解析】ℎ = − 3 4 𝑡2 + 12𝑡 − 21 = − 3 4 (𝑡 − 8)2 + 27. ∵ − 3 4 < 0， ∴ 这个二次函数图象开口向下,∴ 当𝑡 = 8 时，达到最高点.故答案为 8. 16.新定义：我们把抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐（其中𝑎𝑏 ≠ 0）与抛物线𝑦 = 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑐 称为“关 39/115 联抛物线”.例如：抛物线𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3的“关联抛物线”为抛物线𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 + 3 .已知抛物 线𝐶1：𝑦 = 6𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 9𝑎 − 4(𝑎 > 0)的“关联抛物线”为𝐶2，抛物线𝐶2的顶点为𝑃 ，且抛物线 𝐶2与𝑥轴相交于𝑀，𝑁两点，点𝑃关于𝑥轴的对称点为𝑄，若四边形𝑃𝑀𝑄𝑁 是正方形，那么抛物 线𝐶1 的解析式为________________. 【解析】∵ 抛物线𝐶1：𝑦 = 6𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 9𝑎 − 4(𝑎 > 0)的“关联抛物线”为𝐶2， ∴ 𝐶2 的解析式为𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 6𝑎𝑥 + 9𝑎 − 4(𝑎 > 0)，∴ 对称轴为直线𝑥 = − 6𝑎 2𝑎 = −3， ∴ 顶点𝑃的坐标为(−3,−4). ∵ 点𝑃关于𝑥轴的对称点为𝑄，∴ 点𝑄坐标为(−3,4)， ∴ 𝑃𝑄 的中点坐标为(−3,0). ∵ 四边形𝑃𝑀𝑄𝑁是正方形，抛物线𝐶2与𝑥轴相交于𝑀，𝑁 两点， ∴ 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 = 8，𝑃𝑄与𝑀𝑁互相平分.设点𝑁在点𝑀的右边， ∴ 点𝑁 的横坐标为−3 + 4 = 1， ∴ 点𝑁的坐标为(1,0)，∴ 𝑎 + 6𝑎 + 9𝑎 − 4 = 0，解得𝑎 = 1 4 ， ∴ 抛物线𝐶1的解析式为𝑦 = 3 2 𝑥2 + 1 4 𝑥 − 7 4 . 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）在平面直角坐标系中，抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥经过点𝐴(1,3)和点𝐵(3,0) . （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； 【解】∵ 抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥经过点𝐴(1,3)和点𝐵(3,0) ， ∴ { 𝑎 + 𝑏 = 3, 9𝑎 + 3𝑏 = 0, …………（2 分） 解得{ 𝑎 = − 3 2 , 𝑏 = 9 2 , …………（3 分） ∴ 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为𝑦 = − 3 2 𝑥2 + 9 2 𝑥 .…………（4 分） （2）求出这条抛物线的对称轴和顶点坐标. 【解】𝑦 = − 3 2 𝑥2 + 9 2 𝑥 = − 3 2 (𝑥2 − 3𝑥) = − 3 2 (𝑥2 − 3𝑥 + 9 4 − 9 4 ) = − 3 2 (𝑥 − 3 2 )2 + 27 8 ……（6 分） ∴ 这条抛物线的对称轴为直线𝑥 = 3 2 ，顶点坐标为( 3 2 , 27 8 ) .…………（8 分） 18.（10 分）如图，抛物线𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 3与𝑦轴交于点𝐵，与𝑥轴交于点𝐴，𝐶 . （1）求点𝐴、点𝐵、点𝐶 的坐标； 40/115 【解】当𝑥 = 0时，𝑦 = 3，∴ 𝐵(0,3) .…………（2 分） 当𝑦 = 0时，0 = −𝑥2 + 2𝑥 + 3，解得𝑥 = −1或𝑥 = 3， ∴ 𝐴(3,0) ，𝐶(−1,0) .…………（6 分） （2）若抛物线顶点为𝑀，求△𝐴𝐶𝑀 的面积. 【解】∵ 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 = −(𝑥 − 1)2 + 4 ， ∴ 𝑀(1,4) ，…………（8 分） ∴△𝐴𝐶𝑀的面积为 1 2 × (3 + 1) × 4 = 8 .…………（10 分） 19.（10 分）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，如图，在一个边长为30 cm 的正 方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒. （1）若无盖纸盒的底面积为484 cm2 ，则剪掉的小正方形的边长为多少？ 【解】设剪掉的小正方形的边长为𝑎 cm ， 则无盖纸盒的底面的边长为(30 − 2𝑎)cm ，…………（1 分） ∴ (30 − 2𝑎)2 = 484 ，…………（3 分） 解得𝑎1 = 4，𝑎2 = 26 .…………（4 分） ∵ 30 − 2𝑎 > 0，𝑎 > 0，∴ 0 < 𝑎 < 15 ， ∴ 𝑎 = 26 舍去,…………（5 分） ∴ 剪掉的小正方形的边长为4 cm .…………（6 分） （2）无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边 41/115 长；如果没有，说明理由. 【解】有.…………（7 分） 设剪掉的小正方形的边长为𝑥 cm，无盖纸盒的侧面积为𝑆 cm2 ， ∴ 𝑆 = 4(30 − 2𝑥)𝑥 = −8𝑥2 + 120𝑥 = −8(𝑥 − 15 2 )2 + 450 ，…………（8 分） ∴ 当𝑥 = 15 2 时，𝑆 有最大值，最大值为 450. 答：无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为450 cm2 ，此时剪掉的小正方形的边长为 15 2 cm . （10 分） 20.（12 分）如图，抛物线𝑦 = −𝑥2 +𝑚𝑥与直线𝑦 = −𝑥 + 𝑏 相交于点𝐴(−2,0)和点𝐵 . （1）求抛物线的解析式； 【解】将点𝐴(−2,0)代入𝑦 = −𝑥2 +𝑚𝑥得0 = −4 − 2𝑚，解得𝑚 = −2， ∴ 抛物线的解析式为𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 .…………（4 分） （2）求点𝐵的坐标，并结合图象写出不等式−𝑥2 +𝑚𝑥 < −𝑥 + 𝑏 的解集； 【解】将点𝐴的坐标代入𝑦 = −𝑥 + 𝑏得0 = 2 + 𝑏，解得𝑏 = −2， ∴ 直线的解析式为𝑦 = −𝑥 − 2 .…………（5 分） 联立{ 𝑦 = −𝑥 − 2, 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = −3 或{ 𝑥 = −2, 𝑦 = 0, ∴ 点𝐵的坐标为(1, −3) .…………（7 分） 从图象看，不等式−𝑥2 +𝑚𝑥 < −𝑥 + 𝑏的解集为𝑥 < −2或𝑥 > 1 .…………（8 分） （3）若关于𝑥的方程−𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛在−2 ≤ 𝑥 ≤ 1 的范围内只有一个实数根或有两个相等的实 数根，求出𝑛 的取值范围. 【解】由题意可知抛物线𝑦 = −𝑥2 +𝑚𝑥与直线𝑦 = 𝑛在−2 ≤ 𝑥 ≤ 1 的范围内只有一个交点， 抛物线的顶点坐标为(−1,1)，∴ 𝑛的取值范围是−3 ≤ 𝑛 < 0 或𝑛 = 1 .…………（12 分） 42/115 21.（12 分）某旅游点的一家商铺销售一批成本为每件 50 元的商品，规定销售单价不低于成本 价，又不高于 70 元/件，销售量𝑦 （件）与销售单价𝑥 （元/件）的关系可以近似看作一次函 数（如图）. （1）请直接写出𝑦关于𝑥的函数解析式：_________________（不必写出𝑥 的取值范围）. 【解析】设𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏，则{ 400 = 60𝑘 + 𝑏, 300 = 70𝑘 + 𝑏, 解得 { 𝑘 = −10, 𝑏 = 1 000. 故𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦 = −10𝑥 + 1 000 .故答案为 𝑦 = −10𝑥 + 1 000 .…………（4 分） （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润为𝑤 元，当销售单价为多少时，获得的总利润最大？ 最大总利润是多少？ 【解】由题意可得 𝑤 = (𝑥 − 50)(−10𝑥 + 1 000) = −10𝑥2 + 1 500𝑥 − 50 000(50 ≤ 𝑥 ≤ 70) . …………（6 分） ∵ 函数𝑤 = −10𝑥2 + 1 500𝑥 − 50 000 的图象开口向下，对称轴是直线 𝑥 = − 1 500 −20 = 75 ，…………（8 分） ∴ 当50 ≤ 𝑥 ≤ 70时，𝑦随𝑥的增大而增大，∴ 当𝑥 = 70时，𝑤最大 = 6 000 .故当销售 单价为 70 元/件时，获得的总利润最大，最大总利润是 6 000 元.…………（9 分） （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不低于 4 000 元，则𝑥 的取值范围是____________. 【解析】当𝑤 = 4 000时，4 000 = −10𝑥2 + 1 500𝑥 − 50 000，解得𝑥1 = 60 ， 𝑥2 = 90. ∵ −10 < 0，∴ 𝑤 ≥ 4 000时，60 ≤ 𝑥 ≤ 90.又∵ 50 ≤ 𝑥 ≤ 70 ， ∴ 60 ≤ 𝑥 ≤ 70.故答案为60 ≤ 𝑥 ≤ 70 .…………（12 分） 22.（14 分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦 = 1 2 𝑥 − 2与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦 轴交于点𝐶 ，过𝐴，𝐶两点的抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)与𝑥轴的另一个交点为点𝐵(−1,0) ， 43/115 点𝑃是抛物线上位于第四象限内的动点，过点𝑃分别作𝑥轴和𝑦 轴的平行线，分别交直线𝐴𝐶于 点𝐸，𝐹 . （1）求抛物线的解析式； 【解】直线𝑦 = 1 2 𝑥 − 2与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐶， 则点𝐴，𝐶 的坐标分别为(4,0)，(0, −2) ，（1 分） 则抛物线的解析式为𝑦 = 𝑎(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) = 𝑎(𝑥2 − 3𝑥 − 4) ， ∴ −4𝑎 = −2，解得𝑎 = 1 2 ，则抛物线的解析式为𝑦 = 1 2 𝑥2 − 3 2 𝑥 − 2 .…………（3 分） （2）点𝐷是𝑥轴上的任意一点，若△𝐴𝐶𝐷是以𝐴𝐶 为腰的等腰三角形，请直接写出点𝐷 的坐标； 【解】(4 + 2√5, 0)或(4 − 2√5, 0)或(−4,0) .…………（6 分） 设点𝐷(𝑚, 0)，由点𝐴,𝐶,𝐷的坐标得𝐴𝐶2 = 20，𝐴𝐷2 = (𝑚 − 4)2，𝐶𝐷2 = 𝑚2 + 4 ， ∴ 20 = (𝑚 − 4)2或20 = 𝑚2 + 4，解得𝑚 = 4 + 2√5或4 − 2√5或 4（舍去）或−4 ， 即点𝐷的坐标为(4 + 2√5, 0)或(4 − 2√5, 0)或(−4,0) . （3）当𝐸𝐹 = 𝐴𝐶时，求点𝑃 的坐标； 【解】设点𝑃(𝑛, 1 2 𝑛2 − 3 2 𝑛 − 2)，当 1 2 𝑛2 − 3 2 𝑛 − 2 = 1 2 𝑥 − 2时，𝑥 = 𝑛2 − 3𝑛， ∴ 点𝐸(𝑛2 − 3𝑛, 1 2 𝑛2 − 3 2 𝑛 − 2) .（8 分） ∵ 𝐸,𝐶,𝐹,𝐴共线，𝐸𝐹 = 𝐴𝐶，∴ 𝑥𝐹 − 𝑥𝐸 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐶，即𝑛 − (𝑛 2 − 3𝑛) = 4 − 0 ， 解得𝑛1 = 𝑛2 = 2，则点𝑃的坐标为(2, −3) .…………（11 分） （4）在（3）的条件下，若点𝑁是𝑦轴上的一个动点，过点𝑁 作抛物线对称轴的垂线，垂足为𝑀， 44/115 连接𝑁𝐴，𝑀𝑃，则𝑁𝐴 +𝑀𝑃 的最小值为_____. 【解析】∵ 抛物线的解析式为𝑦 = 1 2 𝑥2 − 3 2 𝑥 − 2 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线𝑥 = 3 2 .如图,将线段𝑁𝐴向右平移 3 2 个单位得到𝑀𝐺, 则四边形𝑀𝑁𝐴𝐺 是平行四边形， ∴ 𝑁𝐴 = 𝑀𝐺,𝐴𝐺 = 𝑀𝑁 = 3 2 ,则𝐺( 11 2 ,0) . 作𝑃(2, −3)关于直线𝑥 = 3 2 的对称点𝑃1(1, −3) , 连接𝑀𝑃1,𝑃1𝐺,则𝑀𝑃 = 𝑀𝑃1 ， ∴ 𝑃1𝐺 = √(1 − 11 2 )2 + (−3 − 0)2 = 3√13 2 . ∵ 𝑁𝐴 +𝑀𝑃 = 𝑀𝐺 +𝑀𝑃1 ≥ 𝑃1𝐺 = 3√13 2 （当且仅当𝑀,𝑃1,𝐺 共线时等号成立）， ∴ 𝑁𝐴 +𝑀𝑃的最小值为 3√13 2 .故答案为 3√13 2 .…………（14 分） 45/115 第二十二章 基础检测卷 考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.下列各式中，𝑦是𝑥 的二次函数的是( ) A.𝑦 = 1 𝑥2 B.𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑥 + 1 C.𝑦 = 2𝑥2 − 1 D.𝑦 = √𝑥2 − 1 2.二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 1(𝑎 ≠ 0) 的图象经过点(1,1)，则代数式𝑎 + 𝑏 − 2 的值为( ) A.−3 B.0 C.2 D.5 3.如图，抛物线对称轴为直线𝑥 = 1 ，与𝑥轴的一个交点为𝐴(−1,0) ，则另一个交点的坐标是( ) A.(3,0) B.(−3,0) C.(1,0) D.(2,0) 4.以下是四位同学以接力的方式将二次函数𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 3 化为顶点式的过程，每位同学 只负责其中的一步，其中出错的步骤有( ) 解：𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = −2(𝑥2 + 2𝑥) − 3① = −2(𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) − 3② = −2(𝑥 + 1)2 − 1 − 3③ = −2(𝑥 + 1)2 − 4④ . A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 22/66 5.如图，点𝐴(2.18, −0.51) ，𝐵(2.68,0.54)在二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的图象上，则 方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 的一个解的近似值可能是( ) A.2.18 B.2.68 C.−0.51 D.2.45 6.将抛物线𝑦 = −𝑥2 + (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎(𝑎 > 1) 向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的图象如图所示，给出以下结论：①𝑎+ 𝑏 + 𝑐 < 0；②𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 ；③𝑏 > 0 ，其中正确结论的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 8.某茶杯的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面𝐴𝐵𝐶呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计）， 点𝐴、点𝐶位于杯口处，且𝐴𝐶 = 10 cm ，点𝐵是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最 大深度（点𝐵到𝐴𝐶 的距离）为4 cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2 cm（点 𝐵到𝐸𝐹 的距离），则𝐸𝐹 的长度为( ) 23/66 A.5√2 cm B.2√5 cm C.√5 cm D.5√2 2 cm 9.已知函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 1在𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 1 上的最大值是 1，最小值是− 5 4 ，则𝑚 的取值范围是( ) A.𝑚 ≥ −2 B.0 ≤ 𝑚 ≤ 1 2 C.−2 ≤ 𝑚 ≤ − 1 2 D.𝑚 ≤ − 1 2 10.如图，已知抛物线𝐿 的解析式为𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥，将点𝑀(0, 𝑛)向右平移 5 个单位长度得到点𝑁 ， 若线段𝑀𝑁与𝐿只有一个公共点，那么𝑛 的取值范围是( ) A.𝑛 = −4 B.𝑛 = −4或0 < 𝑛 < 5 C.0 ≤ 𝑛 < 5 D.𝑛 = −4或0 < 𝑛 ≤ 5 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.请写出一个图象开口向下，且经过点(0,1) 的二次函数的解析式:_______________________ ____. 12.如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是①𝑦 = 𝑎𝑥2，②𝑦 = 𝑏𝑥2，③𝑦 = 𝑐𝑥2，④𝑦 = 𝑑 𝑥2，则𝑎 ，𝑏，𝑐，𝑑的大小关系是______________.（用“> ”连接） 24/66 13.如图，已知抛物线经过(−2,−3)和(3, −3) 两点，如果点(1, 𝑦1)与(2, 𝑦2)在此抛物线上，那么 𝑦1___𝑦2.（填“> ”“< ”或“= ”） 14.若抛物线𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 𝑐（𝑐是常数）与𝑥 轴没有交点，则𝑐 的取值范围是______. 15.一种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间𝑡(s) 的关系式是ℎ = − 3 4 𝑡2 + 12𝑡 − 21 .若这种礼炮在 升空后到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为___s . 16.新定义：我们把抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐（其中𝑎𝑏 ≠ 0）与抛物线𝑦 = 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑐 称为“关 联抛物线”.例如：抛物线𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3的“关联抛物线”为抛物线𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 + 3 .已知抛物 线𝐶1：𝑦 = 6𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 9𝑎 − 4(𝑎 > 0)的“关联抛物线”为𝐶2，抛物线𝐶2的顶点为𝑃 ，且抛物线 𝐶2与𝑥轴相交于𝑀，𝑁两点，点𝑃关于𝑥轴的对称点为𝑄，若四边形𝑃𝑀𝑄𝑁 是正方形，那么抛物 线𝐶1 的解析式为________________. 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）在平面直角坐标系中，抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥经过点𝐴(1,3)和点𝐵(3,0) . （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）求出这条抛物线的对称轴和顶点坐标. 25/66 18.（10 分）如图，抛物线𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 3与𝑦轴交于点𝐵，与𝑥轴交于点𝐴，𝐶 . （1）求点𝐴、点𝐵、点𝐶 的坐标； （2）若抛物线顶点为𝑀，求△𝐴𝐶𝑀 的面积. 19.（10 分）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，如图，在一个边长为30 cm 的正 方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒. （1）若无盖纸盒的底面积为484 cm2 ，则剪掉的小正方形的边长为多少？ （2）无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边 长；如果没有，说明理由. 26/66 20.（12 分）如图，抛物线𝑦 = −𝑥2 +𝑚𝑥与直线𝑦 = −𝑥 + 𝑏 相交于点𝐴(−2,0)和点𝐵 . （1）求抛物线的解析式； （2）求点𝐵的坐标，并结合图象写出不等式−𝑥2 +𝑚𝑥 < −𝑥 + 𝑏 的解集； （3）若关于𝑥的方程−𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛在−2 ≤ 𝑥 ≤ 1 的范围内只有一个实数根或有两个相等的实 数根，求出𝑛 的取值范围. 21.（12 分）某旅游点的一家商铺销售一批成本为每件 50 元的商品，规定销售单价不低于成本 价，又不高于 70 元/件，销售量𝑦 （件）与销售单价𝑥 （元/件）的关系可以近似看作一次函 数（如图）. （1）请直接写出𝑦关于𝑥的函数解析式：_________________（不必写出𝑥 的取值范围）. （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润为𝑤 元，当销售单价为多少时，获得的总利润最大？ 最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不低于 4 000 元，则𝑥 的取值范围是____________. 27/66 22.（14 分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦 = 1 2 𝑥 − 2与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦 轴交于点𝐶 ，过𝐴，𝐶两点的抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)与𝑥轴的另一个交点为点𝐵(−1,0) ， 点𝑃是抛物线上位于第四象限内的动点，过点𝑃分别作𝑥轴和𝑦 轴的平行线，分别交直线𝐴𝐶于 点𝐸，𝐹 . （1）求抛物线的解析式； （2）点𝐷是𝑥轴上的任意一点，若△𝐴𝐶𝐷是以𝐴𝐶 为腰的等腰三角形，请直接写出点𝐷 的坐标； （3）当𝐸𝐹 = 𝐴𝐶时，求点𝑃 的坐标； （4）在（3）的条件下，若点𝑁是𝑦轴上的一个动点，过点𝑁 作抛物线对称轴的垂线，垂足为𝑀， 连接𝑁𝐴，𝑀𝑃，则𝑁𝐴 +𝑀𝑃 的最小值为_____. 28/66