第22章 二次函数 基础检测卷-九年级上册数学单元大小卷

第二十二章 素养检测卷 考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.抛物线𝑦 = 1 3 (𝑥 − 4)2 − 3与𝑦 轴的交点的坐标是 ( ) A.(0,3) B.(0, −3) C.(0,7 3 ) D.(0,− 7 3 ) 2.对于任意实数𝑚 ，下列函数一定是二次函数的是( ) A.𝑦 = 𝑚𝑥2 +𝑚𝑥 + 1 B.𝑦 = (𝑚 + 1)𝑥2 C.𝑦 = (𝑚 − 1)2𝑥2 + 1 D.𝑦 = (−𝑚2 − 1)𝑥2 3.二次函数𝑦 = 2(𝑥 + 1)2 + 3 的最小值是( ) A.−1 B.1 C.2 D.3 4.将抛物线𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的顶点式为( ) A.𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 3 B.𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 2 C.𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 3 D.𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 2 5.如图，某种家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量𝑦（单位：m3 ）与旋钮的旋转角度𝑥(0∘ < 𝑥 ≤ 90∘)近似满足函数关系𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) ,已知图中记录了此燃气灶烧开同一壶水时 旋钮的旋转角度𝑥 与燃气量𝑦 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧 开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为( ) A.58∘ B.37∘ C.28∘ D.18∘ 14/66 6.李明同学在探究函数𝑦 = −| − 𝑥2 + 𝑥 + 5| 的性质时，作出了如图所示的图象.当方程−| − 𝑥2 + 𝑥 + 5| = 𝑘 有两个实数根时，常数𝑘 满足的条件是( ) A.𝑘 < − 21 4 或𝑘 = 0 B.𝑘 < 0 C.𝑘 > − 21 4 D.𝑘 = 0 7.已知二次函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的图象如图所示，点𝑀，𝑁，𝑃，𝑄在𝑥轴上，若满足以下条件： ①函数图象与𝑥 轴负半轴相交；②当𝑥 < 0，𝑦随𝑥的增大而减小，则坐标系的原点𝑂 可能是( ) A.点𝑀 B.点𝑁 C.点𝑃 D.点𝑄 8.二维码是由大小相同的黑、白两色的小正方形组成的一个大正方形，现有25 × 25 格式的二 维码如图（1），其中有 3 个角上是7 × 7的黑白相间的 A 型正方形，中间右下有一个5 × 5 的 黑白相间的 B 型正方形，除这 4 个正方形外，其他均为 C 型正方形（有白色和黑色两种）， 若 C 型正方形中白色块数𝑦与黑色块数𝑥正好满足如图（2）所示的函数图象，则该25 × 25 格 式的二维码共有多少块黑色的 C 型正方形( ) A.153 B.218 C.100 D.216 15/66 9.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若点𝑃 的横坐标和纵坐标相等，则称点𝑃为完美点.已知二次函数 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的图象上有且只有一个完美点( 3 2 , 3 2 )，且当0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚时，函数𝑦 = 𝑎 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 − 3 4 (𝑎 ≠ 0) 的最小值为−3，最大值为 1，则𝑚 的取值范围是( ) A.−1 ≤ 𝑚 ≤ 0 B.2 ≤ 𝑚 < 7 2 C.2 ≤ 𝑚 ≤ 4 D.9 4 < 𝑚 ≤ 7 2 10.如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴，𝐶 在抛物线𝑦 = −𝑥2 + 4上，点𝐷在𝑦轴上.若𝐴，𝐶 两点的横 坐标分别为𝑚，𝑛(𝑚 > 𝑛 > 0) ，下列结论正确的是( ) A.𝑚 + 𝑛 = 1 B.𝑚 − 𝑛 = 1 C.𝑚𝑛 = 1 D.𝑚 𝑛 = 1 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.点𝐴( 1 2 ,𝑏)是抛物线𝑦 = 𝑥2上的一点，则𝑏 = ________. 12.如图是二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的图象，则不等式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 3 的解集是_________ ____. 16/66 13.某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共𝑦万元，如果月平均增长 率为𝑥，则这三个月的总营业额𝑦 与月平均增长率𝑥 之间的函数关系式为__________________ _____.（化为一般式） 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦 = −𝑥2 经过平移得到抛物线𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 ，则两段 抛物线及其对称轴所围成的阴影部分的面积为___. 14 题图 15 题图 15.已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为直线𝑥 = 1，以下 4 个 结论：①𝑎𝑏𝑐 < 0；②(𝑎 + 𝑐)2 < 𝑏2 ；③𝑎+ 𝑏 < 𝑚(𝑎𝑚 + 𝑏)，其中𝑚 ≠ 1；④4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0 .其中正确的结论有_________.（填序号） 16.已知二次函数𝑦 = 𝑥2 的图象如图，点𝐴0为坐标原点，点𝐴1，𝐴2，𝐴3，⋯ 在𝑦 轴的正半轴 上，点𝐵1，𝐵2，𝐵3，⋯ 在二次函数𝑦 = 𝑥 2 位于第一象限的图象上，△𝐴0𝐵1𝐴1，△𝐴1𝐵2𝐴2，△ 𝐴2𝐵3𝐴3，⋯ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△𝐴9𝐵10𝐴10 的斜边长为____. 17/66 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）已知抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚2 − 2𝑚 + 3 （𝑚 为常数）. （1）求抛物线的顶点坐标（用含𝑚 的式子表示）； （2）若𝐴(𝑚 + 2, 𝑦1)，𝐵(𝑚 − 1, 𝑦2)两点在此抛物线上，比较𝑦1与𝑦2 的大小. 18.（10 分）已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0)与一次函数𝑦 = 𝑘𝑥 − 2(𝑘 ≠ 0)的图象交于𝐴，𝐵 两点， 如图所示，其中𝐴(−1,−1) . （1）求𝑎和𝑘 的值. （2）求点𝐵 坐标. （3）求△𝑂𝐴𝐵 的面积. 19.（10 分）某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程， 变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润𝑆（万元）与销售时 间𝑡 （月）之间的函数关系（即前𝑡个月的利润总和𝑆与𝑡 之间的函数关系），根据图象提供的 信息，解答下列问题： （1）此软件上市第几个月后开始盈利? （2）求累积利润𝑆（万元）与销售时间𝑡 （月）之间的函数解析式. （3）前几个月公司的累积利润为 2.5 万元? 18/66 20.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴与原点重合，顶点𝐵在𝑥轴的正半 轴上，点𝐷在𝑦 轴的正半轴上，抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 12(𝑎 < 0)经过点𝐵(6,0) . （1）求𝑎 的值与抛物线对称轴. （2）将抛物线向右平移𝑚个单位(𝑚 > 0)，使得新抛物线与𝐴𝐷，𝐵𝐶 分别交于𝑀，𝑁两点，点 𝑀，𝑁的纵坐标相等，求𝑚的值和点𝑀 的坐标. 21.（12 分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下， 乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（1）；在“间发式” 模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，乒乓球第一次接 触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（2），分别建立平面直角坐标 系𝑥𝑂𝑦 . 通过测量得到乒乓球距离台面高度𝑦（单位：dm）与球和发球器出口的水平距离𝑥 （单位：dm ）的相关数据，如下表所示： 表 1 直发式 𝑥(dm) 0 2 4 6 8 10 16 20 … 𝑦(dm) 3.84 3.96 4 𝑚 3.84 3.64 2.56 1.44 … 表 2 间发式 19/66 𝑥(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … 𝑦(dm) 3.36 2.52 𝑛 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中𝑚 =_____，𝑛 = _____； （2）求“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下，乒乓球第一次接触台面时与发球器出口的水平距离为𝑑1 ，“间发式” 模式下，乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为𝑑2，请通过计算比较𝑑1，𝑑2 的 大小. 22.（14 分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1） 所示，输入𝑥的值为−2时，输出𝑦 的值为 1；输入𝑥的值为 2 时，输出𝑦的值为 3；输入𝑥的值 为 3 时，输出𝑦 的值为 6． 图（1） 图（2） （1）直接写出𝑘，𝑎，𝑏 的值． 20/66 （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于𝑥 的函数图象，如图（2）． Ⅰ.当𝑦随𝑥的增大而增大时，求𝑥 的取值范围． Ⅱ.若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 − 𝑡 = 0（𝑡为实数），在0 < 𝑥 < 4时无解，求𝑡 的取值范围． Ⅲ.若在函数图象上有点𝑃，𝑄（𝑃与𝑄不重合）.𝑃的横坐标为𝑚，𝑄 的横坐标为−𝑚 + 1．小明 对𝑃，𝑄之间（含𝑃，𝑄 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随𝑚的 变化而变化，直接写出𝑚 的取值范围． 21/66 第二十二章 素养检测卷 考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.抛物线𝑦 = 1 3 (𝑥 − 4)2 − 3与𝑦 轴的交点的坐标是 ( ) A.(0,3) B.(0, −3) C.(0,7 3 ) D.(0,− 7 3 ) 【解析】当𝑥 = 0时，抛物线𝑦 = 1 3 (𝑥 − 4)2 − 3与𝑦轴相交， 把𝑥 = 0 代入𝑦 = 1 3 (𝑥 − 4)2 − 3，得𝑦 = 7 3 ， ∴ 抛物线𝑦 = 1 3 (𝑥 − 4)2 − 3与𝑦轴的交点坐标为(0， 7 3 ) .故选 C. 2.对于任意实数𝑚 ，下列函数一定是二次函数的是( ) A.𝑦 = 𝑚𝑥2 +𝑚𝑥 + 1 B.𝑦 = (𝑚 + 1)𝑥2 C.𝑦 = (𝑚 − 1)2𝑥2 + 1 D.𝑦 = (−𝑚2 − 1)𝑥2 【解析】当𝑚 = 0时，𝑦 = 𝑚𝑥2 +𝑚𝑥 + 1 不是二次函数，故 A 不符合题意； 当𝑚 = −1时，𝑚 + 1 = 0，则𝑦 = (𝑚 + 1)𝑥2 不是二次函数，故 B 不符合题意； 当𝑚 = 1时，(𝑚 − 1)2 = 0,则𝑦 = (𝑚 − 1)2𝑥2 + 1 不是二次函数，故 C 不符合题意； 对于任意实数𝑚，−𝑚2 − 1 ≠ 0，则𝑦 = (−𝑚2 − 1)𝑥2 一定是二次函数，故 D 符合题意. 3.二次函数𝑦 = 2(𝑥 + 1)2 + 3 的最小值是( ) A.−1 B.1 C.2 D.3 【解析】∵ 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2 + 3，∴ 当𝑥 = −1时，𝑦 取最小值 3.故选 D. 4.将抛物线𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的顶点式为( ) A.𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 3 B.𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 2 C.𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 3 D.𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 2 【解析】将抛物线𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 向下平移 2 个单位后， 所得新抛物线的解析式为𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2，即𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 3 ，故选 A. 5.如图，某种家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量𝑦（单位：m3 ）与旋钮的旋转角度𝑥(0∘ < 𝑥 ≤ 90∘)近似满足函数关系𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) ,已知图中记录了此燃气灶烧开同一壶水时 旋钮的旋转角度𝑥 与燃气量𝑦 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧 开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为( ) 20/115 A.58∘ B.37∘ C.28∘ D.18∘ 【解析】由图象可知，该函数图象的对称轴的取值范围为 18∘+54∘ 2 < 𝑥 < 18∘+72∘ 2 , 即36∘ < 𝑥 < 45∘ ,因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为37∘ .故选 B. 6.李明同学在探究函数𝑦 = −| − 𝑥2 + 𝑥 + 5| 的性质时，作出了如图所示的图象.当方程−| − 𝑥2 + 𝑥 + 5| = 𝑘 有两个实数根时，常数𝑘 满足的条件是( ) A.𝑘 < − 21 4 或𝑘 = 0 B.𝑘 < 0 C.𝑘 > − 21 4 D.𝑘 = 0 【解析】由题意得𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 5 = (𝑥 − 1 2 )2 − 21 4 ，∴ 抛物线的顶点坐标为( 1 2 , − 21 4 )， ∴ 结合图象可知当方程−| − 𝑥2 + 𝑥 + 5| = 𝑘有两个实数根时，𝑘 < − 21 4 或𝑘 = 0 ， 故选 A. 7.已知二次函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的图象如图所示，点𝑀，𝑁，𝑃，𝑄在𝑥轴上，若满足以下条件： ①函数图象与𝑥 轴负半轴相交；②当𝑥 < 0，𝑦随𝑥的增大而减小，则坐标系的原点𝑂 可能是( ) 21/115 A.点𝑀 B.点𝑁 C.点𝑃 D.点𝑄 【解析】∵ 函数图象与𝑥轴负半轴相交，∴ 点𝑁，𝑃，𝑄可能是原点. ∵ 当𝑥 < 0 时，𝑦随𝑥的增大而减小， ∴ 点𝑁可能是原点，𝑃，𝑄 不可能是原点.故选 B. 8.二维码是由大小相同的黑、白两色的小正方形组成的一个大正方形，现有25 × 25 格式的二 维码如图（1），其中有 3 个角上是7 × 7的黑白相间的 A 型正方形，中间右下有一个5 × 5 的 黑白相间的 B 型正方形，除这 4 个正方形外，其他均为 C 型正方形（有白色和黑色两种）， 若 C 型正方形中白色块数𝑦与黑色块数𝑥正好满足如图（2）所示的函数图象，则该25 × 25 格 式的二维码共有多少块黑色的 C 型正方形( ) A.153 B.218 C.100 D.216 【解析】设函数解析式为𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.将(0,153)，(20,33)，(30,3) 代入解析式，得 { 𝑐 = 153, 400𝑎 + 20𝑏 + 𝑐 = 33, 900𝑎 + 30𝑏 + 𝑐 = 3, 解得 { 𝑎 = 1 10 , 𝑏 = −8, 𝑐 = 153, ∴ 𝑦 = 1 10 𝑥2 − 8𝑥 + 153. ∵ 𝑥 + 𝑦 = 25 × 25 − 7 × 7 × 3 − 5 × 5 = 453 ， ∴ 𝑥 + ( 1 10 𝑥2 − 8𝑥 + 153) = 453，解得𝑥1 = 100，𝑥2 = −30（舍去）， ∴ 该25 × 25 格式的二维码共有 100 块黑色的 C 型正方形.故选 C. 22/115 9.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若点𝑃 的横坐标和纵坐标相等，则称点𝑃为完美点.已知二次函数 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的图象上有且只有一个完美点( 3 2 , 3 2 )，且当0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚时，函数𝑦 = 𝑎 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 − 3 4 (𝑎 ≠ 0) 的最小值为−3，最大值为 1，则𝑚 的取值范围是( ) A.−1 ≤ 𝑚 ≤ 0 B.2 ≤ 𝑚 < 7 2 C.2 ≤ 𝑚 ≤ 4 D.9 4 < 𝑚 ≤ 7 2 【解析】令𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 = 𝑥，即𝑎𝑥2 + 3𝑥 + 𝑐 = 0 . 由题意可知Δ = 32 − 4𝑎𝑐 = 0，∴ 4𝑎𝑐 = 9 . 由一元二次方程的根与系数的关系得− 3 𝑎 = 3 2 + 3 2 ，解得𝑎 = −1，∴ 𝑐 = − 9 4 ， 故函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 − 3 4 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3 ， 则该函数图象开口向下，顶点为(2,1)，与𝑦轴交点为(0, −3)， 由对称性可知该函数图象也经过点(4, −3) ，如图所示. ∵ 𝑥 < 2时，𝑦随𝑥的增大而增大；𝑥 > 2时，𝑦随𝑥 的增大而减小，且当0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚时， 函数𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3的最小值为−3，最大值为 1，∴ 2 ≤ 𝑚 ≤ 4 ，故选 C. 10.如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴，𝐶 在抛物线𝑦 = −𝑥2 + 4上，点𝐷在𝑦轴上.若𝐴，𝐶 两点的横 坐标分别为𝑚，𝑛(𝑚 > 𝑛 > 0) ，下列结论正确的是( ) 23/115 A.𝑚 + 𝑛 = 1 B.𝑚 − 𝑛 = 1 C.𝑚𝑛 = 1 D.𝑚 𝑛 = 1 【解析】如图， 分别过点𝐴和点𝐶作𝑦轴的垂线， 垂足分别为𝑀和𝑁 ，则∠𝐶𝑁𝐷 = ∠𝐷𝑀𝐴 = 90∘ . 将𝐴，𝐶 两点的横坐标代入函数解析式得， 点𝐴坐标为(𝑚, −𝑚2 + 4)，点𝐶坐标为(𝑛, −𝑛2 + 4)， ∴ 𝐴𝑀 = 𝑚 ，𝑀𝑂 = −𝑚2 + 4，𝐶𝑁 = 𝑛，𝑁𝑂 = −𝑛2 + 4. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，∴ 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶 = 90∘ ， ∴ ∠𝐶𝐷𝑁 + ∠𝐴𝐷𝑀 = ∠𝐴𝐷𝑀 + ∠𝐷𝐴𝑀 = 90∘ ， ∴ ∠𝐶𝐷𝑁 = ∠𝐷𝐴𝑀. 在△𝐶𝐷𝑁和△𝐷𝐴𝑀 中，{ ∠𝐶𝑁𝐷 = ∠𝐷𝑀𝐴, ∠𝐶𝐷𝑁 = ∠𝐷𝐴𝑀, 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷, ∴△𝐶𝐷𝑁≌△𝐷𝐴𝑀(AAS)， ∴ 𝐷𝑀 = 𝐶𝑁 = 𝑛 ，𝐷𝑁 = 𝐴𝑀 = 𝑚， ∴ 𝑀𝑁 = 𝐷𝑁 + 𝐷𝑀 = 𝑚 + 𝑛.又∵ 𝑀𝑁 = 𝑁𝑂 −𝑀𝑂 = 𝑚2 − 𝑛2 ， ∴ 𝑚2 − 𝑛2 = 𝑚 + 𝑛，即(𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) = 𝑚 + 𝑛. ∵ 𝑚 > 𝑛 > 0， ∴ 𝑚 + 𝑛 ≠ 0 ，∴ 𝑚 − 𝑛 = 1 .故选 B. 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.点𝐴( 1 2 ,𝑏)是抛物线𝑦 = 𝑥2上的一点，则𝑏 = ________. 【解析】把𝐴( 1 2 ，𝑏)代入𝑦 = 𝑥2得𝑏 = 1 4 ，故答案为 1 4 . 12.如图是二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的图象，则不等式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 3 的解集是_________ ____. 24/115 【解析】∵ 抛物线与𝑦轴的交点为(0,3)，对称轴为直线𝑥 = 1， ∴ 当𝑥 = 0或𝑥 = 2 时，𝑦 = 3， ∴ 不等式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 3的解集是𝑥 < 0或𝑥 > 2，故答案为𝑥 < 0 或𝑥 > 2 . 13.某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共𝑦万元，如果月平均增长 率为𝑥，则这三个月的总营业额𝑦 与月平均增长率𝑥 之间的函数关系式为__________________ _____.（化为一般式） 【解析】二月份的营业额为[200 × (1 + 𝑥)] 万元，三月份的营业额在二月份营业额的基础上 增加𝑥，即[200 × (1 + 𝑥) × (1 + 𝑥)]万元，则这三个月的总营业额𝑦 与月平均增长率𝑥 之间的 函数关系式为 𝑦 = 200 + 200(1 + 𝑥) + 200(1 + 𝑥)2 = 200𝑥2 + 600𝑥 + 600 . 故答案为𝑦 = 200𝑥2 + 600𝑥 + 600 . 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦 = −𝑥2 经过平移得到抛物线𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 ，则两段 抛物线及其对称轴所围成的阴影部分的面积为___. 25/115 【解析】如图 ，设平移得到的抛物线𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥的对称轴交𝑥 轴于点𝐴，交抛物线𝑦 = −𝑥2于点𝐵，过𝐵作𝐵𝐶 ⊥ 𝑦 轴于𝐶. ∵ 𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 = −(𝑥 + 2)2 + 4， ∴ 平移后抛物线的顶点坐标为(−2,4)，对称轴为直线𝑥 = −2，则𝑂𝐴 = 2. 当𝑥 = −2 时，𝑦 = −𝑥2 = −4，∴ 𝐴𝐵 = 4. ∴ 由抛物线的对称性及平移的性质可知，阴影部分的面积等于矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积， 即2 × 4 = 8 .故答案为 8. 15.已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为直线𝑥 = 1，以下 4 个 结论：①𝑎𝑏𝑐 < 0；②(𝑎 + 𝑐)2 < 𝑏2 ；③𝑎+ 𝑏 < 𝑚(𝑎𝑚 + 𝑏)，其中𝑚 ≠ 1；④4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0 .其中正确的结论有_________.（填序号） 【解析】由图象可知𝑎 < 0，𝑐 > 0，− 𝑏 2𝑎 > 0，∴ 𝑏 > 0，∴ 𝑎𝑏𝑐 < 0 ，故①正确. 当𝑥 = −1时，𝑦 < 0，即𝑎 − 𝑏 + 𝑐 < 0;当𝑥 = 1时，𝑦 > 0，即𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > 0 ， ∴ (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) < 0，则(𝑎 + 𝑐)2 − 𝑏2 < 0，即(𝑎 + 𝑐)2 < 𝑏2 ，故②正确. 当𝑥 = 1时，𝑦的值最大,此时𝑦 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐，而当𝑥 = 𝑚时，𝑦 = 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 ， 其中𝑚 ≠ 1，∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐，故𝑎 + 𝑏 > 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 ， 即𝑎 + 𝑏 > 𝑚(𝑎𝑚 + 𝑏)，故③错误. 26/115 由对称性知，𝑥 = 2时的函数值与𝑥 = 0 时的函数值相等，则𝑦 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0 ， 故④正确.故答案为①②④. 16.已知二次函数𝑦 = 𝑥2 的图象如图，点𝐴0为坐标原点，点𝐴1，𝐴2，𝐴3，⋯ 在𝑦 轴的正半轴 上，点𝐵1，𝐵2，𝐵3，⋯ 在二次函数𝑦 = 𝑥 2 位于第一象限的图象上，△𝐴0𝐵1𝐴1，△𝐴1𝐵2𝐴2，△ 𝐴2𝐵3𝐴3，⋯ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△𝐴9𝐵10𝐴10 的斜边长为____. 【解析】如图所示， 过点𝐵1，𝐵2，𝐵3分别作𝑦 轴的垂线， 垂足分别为𝐶，𝐷，𝐸. ∵△𝐴0𝐵1𝐴1，△𝐴1𝐵2𝐴2，△𝐴2𝐵3𝐴3,⋯ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形， ∴ ∠𝐵1𝐴0𝐴1 = ∠𝐵2𝐴1𝐴2 = ∠𝐵3𝐴2𝐴3 = 45 ∘ ， ∴ 𝐴0𝐵1 所在直线的解析式为𝑦 = 𝑥.由{ 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥2, 得𝐵1(1,1)，∴ 𝐵1𝐶 = 1 ， ∴ 𝐴0𝐴1 = 2𝐵1𝐶 = 2，∴ 𝐴1(0,2)， ∴ 易得直线𝐴1𝐵2 的解析式为𝑦 = 𝑥 + 2.由{ 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥2, 得𝐵2(2,4)， 27/115 ∴ 𝐵2𝐷 = 2 ,∴ 𝐴1𝐴2 = 2𝐵2𝐷 = 4，∴ 𝐴2(0,6)， ∴ 易得直线𝐴2𝐵3 的解析式为𝑦 = 𝑥 + 6.由{ 𝑦 = 𝑥 + 6, 𝑦 = 𝑥2, 得𝐵3(3,9)， ∴ 𝐵3𝐸 = 3 ,∴ 𝐴2𝐴3 = 2𝐵3𝐸 = 6⋯⋯ 由𝐴0𝐴1 = 2，𝐴1𝐴2 = 4，𝐴2𝐴3 = 6 可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜 边长依次增加 2， ∴△𝐴9𝐵10𝐴10 的斜边长为2 + 9 × 2 = 20 ，故答案为 20. 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）已知抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚2 − 2𝑚 + 3 （𝑚 为常数）. （1）求抛物线的顶点坐标（用含𝑚 的式子表示）； 【解】∵ 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚2 − 2𝑚 + 3 = (𝑥 − 𝑚)2 − 2𝑚 + 3， ∴ 抛物线顶点坐标为(𝑚, −2𝑚 + 3) .…………（4 分） （2）若𝐴(𝑚 + 2, 𝑦1)，𝐵(𝑚 − 1, 𝑦2)两点在此抛物线上，比较𝑦1与𝑦2 的大小. 【解】∵ 𝑦 = (𝑥 − 𝑚)2 − 2𝑚 + 3，∴ 抛物线开口向上， 对称轴为直线𝑥 = 𝑚 .…………（6 分） ∵ 𝐴(𝑚 + 2, 𝑦1)，𝐵(𝑚 − 1, 𝑦2)，𝑚 − (𝑚 − 1) < 𝑚 + 2 −𝑚，∴ 𝑦1 > 𝑦2 .…（8 分） 18.（10 分）已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0)与一次函数𝑦 = 𝑘𝑥 − 2(𝑘 ≠ 0)的图象交于𝐴，𝐵 两点， 如图所示，其中𝐴(−1,−1) . （1）求𝑎和𝑘 的值. 【解】∵ 一次函数𝑦 = 𝑘𝑥 − 2(𝑘 ≠ 0)的图象过点𝐴(−1,−1) ， ∴ −1 = −𝑘 − 2，解得𝑘 = −1 .…………（2 分） ∵ 抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0)过点𝐴(−1,−1) ， ∴ −1 = 𝑎 × 1，解得𝑎 = −1 .…………（4 分） 28/115 （2）求点𝐵 坐标. 【解】联立{ 𝑦 = −𝑥 − 2, 𝑦 = −𝑥2, 解得{ 𝑥 = −1, 𝑦 = −1 或{ 𝑥 = 2, 𝑦 = −4, ∴ 𝐵(2,−4) .…………（7 分） （3）求△𝑂𝐴𝐵 的面积. 【解】设直线𝐴𝐵交𝑦轴于𝐺.在𝑦 = −𝑥 − 2中，令𝑥 = 0，得𝑦 = −2 ， ∴ 𝐺(0, −2)，∴ 𝑂𝐺 = 2 ，…………（8 分） 19.（10 分）某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程， 变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润𝑆（万元）与销售时 间𝑡 （月）之间的函数关系（即前𝑡个月的利润总和𝑆与𝑡 之间的函数关系），根据图象提供的 信息，解答下列问题： （1）此软件上市第几个月后开始盈利? 【解】由图象可得，该软件上市第 4 个月后开始盈利.…………（3 分） （2）求累积利润𝑆（万元）与销售时间𝑡 （月）之间的函数解析式. 【解】设𝑆 = 𝑎(𝑡 − 2)2 − 2. ∵ 函数图象过点(0,0) ， ∴ 0 = 𝑎(0 − 2)2 − 2， …………（5 分） ∴ 𝑎 = 1 2 ，∴ 累积利润𝑆（万元）与销售时间𝑡 （月）之间的函数解析式是 𝑆 = 1 2 (𝑡 − 2)2 − 2 .…………（7 分） （3）前几个月公司的累积利润为 2.5 万元? 【解】由题意，当𝑆 = 2.5时，2.5 = 1 2 (𝑡 − 2)2 − 2，解得𝑡1 = 5，𝑡2 = −1 （舍去）， 即前 5 个月公司的累积利润为 2.5 万元.…………（10 分） 29/115 20.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴与原点重合，顶点𝐵在𝑥轴的正半轴上，点𝐷在𝑦 轴的正半轴上，抛 物线𝑦 = 𝑎𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 12(𝑎 < 0)经过点𝐵(6,0) . （1）求𝑎 的值与抛物线对称轴. 【解】∵ 抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 12(𝑎 < 0)经过点𝐵(6,0)，∴ 36𝑎 − 24𝑎 + 12 = 0 ， 解得𝑎 = −1 ，…………（3 分） ∴ 二次函数的解析式为𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 12 . ∵ 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 12 = −(𝑥 − 2)2 + 16 ， ∴ 抛物线对称轴为直线𝑥 = 2 .…………（6 分） （2）将抛物线向右平移𝑚个单位(𝑚 > 0)，使得新抛物线与𝐴𝐷，𝐵𝐶 分别交于𝑀，𝑁两点，点 𝑀，𝑁的纵坐标相等，求𝑚的值和点𝑀 的坐标. 【解】将抛物线向右平移𝑚个单位(𝑚 > 0)得到抛物线𝑦 = −(𝑥 − 2 −𝑚)2 + 16 . ∵ 新抛物线与𝐴𝐷，𝐵𝐶分别交于𝑀，𝑁 两点， ∴ 点𝑀的横坐标为 0，点𝑁 的横坐标为 6.…………（8 分） ∵ 点𝑀，𝑁的纵坐标相等，∴ 平移后抛物线的对称轴为直线𝑥 = 3，∴ 2 +𝑚 = 3 ， ∴ 𝑚 = 1 ，…………（10 分） ∴ 𝑦 = −(𝑥 − 3)2 + 16，令𝑥 = 0，得𝑦 = 7 ， ∴ 点𝑀的坐标为(0,7) .…………（12 分） 21.（12 分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下， 乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（1）；在“间发式” 模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，乒乓球第一次接 触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（2），分别建立平面直角坐标 30/115 系𝑥𝑂𝑦 . 通过测量得到乒乓球距离台面高度𝑦（单位：dm）与球和发球器出口的水平距离𝑥 （单位：dm ）的相关数据，如下表所示： 表 1 直发式 𝑥(dm) 0 2 4 6 8 10 16 20 … 𝑦(dm) 3.84 3.96 4 𝑚 3.84 3.64 2.56 1.44 … 表 2 间发式 𝑥(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … 𝑦(dm) 3.36 2.52 𝑛 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中𝑚 =_____，𝑛 = _____； 【解析】由抛物线的对称性及题表 1 中的数据可知𝑚 = 3.96 . 设题图（2）中线段所在直线的解析式为𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏(𝑘 ≠ 0) ， 把(0,3.36)，(8,0)代入，得{ 𝑏 = 3.36, 8𝑘 + 𝑏 = 0, 解得{ 𝑘 = −0.42, 𝑏 = 3.36, ∴ 𝑦 = −0.42𝑥 + 3.36，当𝑥 = 4时，𝑦 = −0.42 × 4 + 3.36 = 1.68，∴ 𝑛 = 1.68 . 故答案为3.96，1.68 .…………（3 分） （2）求“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的解析式； 【解】由题表 1 中的数据及抛物线的对称性可知,“直发式”模式下， 抛物线的顶点为(4,4) ， ∴ 设此抛物线的解析式为𝑦 = 𝑎(𝑥 − 4)2 + 4，把(0,3.84) 代入，得 3.84 = 𝑎(0 − 4)2 + 4，解得𝑎 = −0.01 ，…………（5 分） ∴ “直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的 31/115 解析式为𝑦 = −0.01(𝑥 − 4)2 + 4 .……（6 分） （3）若“直发式”模式下，乒乓球第一次接触台面时与发球器出口的水平距离为𝑑1 ，“间发式” 模式下，乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为𝑑2，请通过计算比较𝑑1，𝑑2 的 大小. 【解】“直发式”模式下，当𝑦 = 0时，0 = −0.01(𝑥 − 4)2 + 4， 解得𝑥1 = −16 （舍去），𝑥2 = 24 ，∴ 𝑑1 = 24 dm .…………（7 分） 设“间发式”模式下，乒乓球从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹的解 析式为𝑦 = 𝑐(𝑥 − 16)2 + 3.2 ， 把(8,0)代入，得0 = 𝑐(8 − 16)2 + 3.2，解得𝑐 = −0.05， ∴ 这条抛物线的解析式为𝑦 = −0.05(𝑥 − 16)2 + 3.2 ，…（9 分） 当𝑦 = 0时，0 = −0.05(𝑥 − 16)2 + 3.2，解得𝑥1 = 8，𝑥2 = 24 ， ∴ 𝑑2 = 24 dm ，…………（11 分） ∴ 𝑑1 = 𝑑2 .…………（12 分） 22.（14 分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1） 所示，输入𝑥的值为−2时，输出𝑦 的值为 1；输入𝑥的值为 2 时，输出𝑦的值为 3；输入𝑥的值 为 3 时，输出𝑦 的值为 6． 图（1） 图（2） （1）直接写出𝑘，𝑎，𝑏 的值． 【解】𝑘,𝑎,𝑏的值分别为 1,1,−2 .…………（4 分） ∵ 𝑥 = −2 < 0，∴ 将𝑥 = −2，𝑦 = 1代入𝑦 = 𝑘𝑥 + 3得−2𝑘 + 3 = 1，解得𝑘 = 1 . ∵ 𝑥 = 2 > 0，𝑥 = 3 > 0，∴ 将𝑥 = 2，𝑦 = 3和𝑥 = 3，𝑦 = 6 分别代入 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3得{ 4𝑎 + 2𝑏 + 3 = 3, 9𝑎 + 3𝑏 + 3 = 6, 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = −2. 故𝑘 = 1,𝑎 = 1，𝑏 = −2 ． 32/115 （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于𝑥 的函数图象，如图（2）． Ⅰ.当𝑦随𝑥的增大而增大时，求𝑥 的取值范围． 【解】∵ 𝑘 = 1，𝑎 = 1，𝑏 = −2， ∴ 一次函数解析式为𝑦 = 𝑥 + 3 ，二次函数解析式为𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 . 由题图（2）可知，当𝑥 > 0时，𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)2 + 2 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线𝑥 = 1 ，且开口向上， ∴ 当𝑥 ≥ 1时，𝑦随𝑥 的增大而增大； 当𝑥 ≤ 0时，𝑦 = 𝑥 + 3，𝑘 = 1 > 0 ， ∴ 当𝑥 ≤ 0时，𝑦随𝑥 的增大而增大. 综上，当𝑦随𝑥的增大而增大时，𝑥的取值范围为𝑥 ≤ 0或𝑥 ≥ 1 ……（7 分） Ⅱ.若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 − 𝑡 = 0（𝑡为实数），在0 < 𝑥 < 4时无解，求𝑡 的取值范围． 【解】∵ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 − 𝑡 = 0在0 < 𝑥 < 4 时无解， ∴ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 = 𝑡在0 < 𝑥 < 4 时无解， 即抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3与直线𝑦 = 𝑡在0 < 𝑥 < 4 时无交点. 由Ⅰ可知抛物线的顶点坐标为(1,2) ，如图（1）. 图（1） 当𝑡 = 2时，抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3与直线𝑦 = 𝑡在0 < 𝑥 < 4 时恰好有一个交点， ∴ 当𝑡 < 2时，抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3与直线𝑦 = 𝑡在0 < 𝑥 < 4 时无交点. 当𝑥 = 4时，𝑦 = 16 − 8 + 3 = 11 ， ∴ 当𝑡 ≥ 11时，抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3与直线𝑦 = 𝑡在0 < 𝑥 < 4 时无交点. 综上，当𝑡 < 2或𝑡 ≥ 11时，抛物线𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3与直线𝑦 = 𝑡在0 < 𝑥 < 4 时无交点， 即当𝑡 < 2或𝑡 ≥ 11时，关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 − 𝑡 = 0（𝑡为实数） 在0 < 𝑥 < 4 时无解.……（10 分） 33/115 Ⅲ.若在函数图象上有点𝑃，𝑄（𝑃与𝑄不重合）.𝑃的横坐标为𝑚，𝑄 的横坐标为−𝑚 + 1．小明 对𝑃，𝑄之间（含𝑃，𝑄 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随𝑚的 变化而变化，直接写出𝑚 的取值范围． 【解】−1 ≤ 𝑚 ≤ 0或1 ≤ 𝑚 ≤ 2 .（14 分） ∵ 𝑥𝑃 = 𝑚，𝑥𝑄 = −𝑚 + 1， 𝑚+(−𝑚+1) 2 = 1 2 ， ∴ 点𝑃，𝑄的横坐标关于直线𝑥 = 1 2 对称. ∵ 图象对应函数的最大值与最小值均不随𝑚 的变化而变化， ∴ 𝑃,𝑄之间的图象（含𝑃,𝑄两点）为直线𝑦 = 2和直线𝑦 = 3 之间的函数图象. 对于𝑦 = 𝑥 + 3(𝑥 ≤ 0),当𝑦 = 2时，𝑥 = −1；当𝑦 = 3时，𝑥 = 0 .对于 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3(𝑥 > 0),当𝑦 = 2时，𝑥 = 1；当𝑦 = 3时，𝑥 = 0（舍去）或𝑥 = 2 . ①当𝑚 > 1 2 时，如图（2） . 由题意得{ −1 ≤ −𝑚 + 1 ≤ 0, 1 ≤ 𝑚 ≤ 2, ∴ 1 ≤ 𝑚 ≤ 2 . ②当𝑚 < 1 2 时，如图（3） 由题意得{ −1 ≤ 𝑚 ≤ 0, 1 ≤ −𝑚 + 1 ≤ 2, ∴ −1 ≤ 𝑚 ≤ 0 . 综上，𝑚的取值范围为−1 ≤ 𝑚 ≤ 0或1 ≤ 𝑚 ≤ 2 ． 34/115