第21章 一元二次方程 基础检测卷-九年级上册数学单元大小卷

第二十一章 基础检测卷 考查内容：一元二次方程（时间：90 min，满分：120 分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A.𝑥 − 2𝑦 = 1 B.𝑥2 + 3 = 2 𝑥 C.𝑥2 − 2𝑦 + 4 = 0 D.𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 【解析】由一元二次方程的定义知𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 是一元二次方程.故选 D. 2.一元二次方程(𝑥 + 1)2 = 16 用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一 次方程是𝑥 + 1 = 4 ，则另一个一元一次方程是( ) A.𝑥 − 1 = −4 B.𝑥 − 1 = 4 C.𝑥 + 1 = −4 D.𝑥 + 1 = 4 【解析】∵ (𝑥 + 1)2 = 16，∴ 𝑥 + 1 = ±4，即𝑥 + 1 = 4或𝑥 + 1 = −4 ，故选 C. 3.已知𝑥1，𝑥2是一元二次方程2𝑥 2 + 6𝑥 − 5 = 0 的两个实数根，则𝑥1 + 𝑥2 等于( ) A.3 B.− 5 2 C.−3 D.−6 【解析】根据根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = − 6 2 = −3 .故选 C. 4.下列方程中没有实数根的是( ) A.𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 B.𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 C.𝑥2 + 8𝑥 + 1 = 0 D.𝑥2 − 2√2𝑥 + 2 = 0 【解析】A 选项，Δ = 1 + 4 = 5 > 0 ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；B 选项，Δ = 1 − 4 × 1 × 2 = −7 < 0 ，方程没有实数根，本选项符合题意；C 选项，Δ = 64 − 4 = 60 > 0 ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；D 选项，Δ = (−2√2)2 − 4 × 1 × 2 = 0 ，方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意.故选 B. 5.已知方程(𝑥 − 2)(3𝑥 + 1) = 0，则𝑥 − 2 的值为( ) A.− 7 3 B.0 C.−2 D.− 7 3 或 0 【解析】(𝑥 − 2)(3𝑥 + 1) = 0，∴ 𝑥 − 2 = 0或3𝑥 + 1 = 0，解得𝑥1 = 2，𝑥2 = − 1 3 . 当𝑥 = 2时， 𝑥 − 2 = 0；当𝑥 = − 1 3 时，𝑥 − 2 = − 1 3 − 2 = − 7 3 .故选 D. 6.题目：两个连续奇数的积为 323，求这两个数.若设较小的奇数为𝑥 ，则根据题意列出的方程 正确的是( ) A.𝑥(𝑥 + 1) = 323 B.𝑥(𝑥 + 2) = 323 3/115 C.𝑥(𝑥 − 2) = 323 D.(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 323 【解析】依题意得较大的奇数为𝑥 + 2，则𝑥(𝑥 + 2) = 323 .故选 B. 7.4 个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同 学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( ) A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 【解析】 步骤 具体做法 1.移项：含未知数的项在左，常数项在右 ∵𝑥2−4𝑥−5=0，∴𝑥2−4𝑥=5 2.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 𝑥2−4𝑥+4=5+4 ，即(𝑥−2)2=9 3.直接开平方 𝑥−2=±3,∴𝑥−2=3 或𝑥−2=−3 4.写出方程的两个解 解得𝑥1=5，𝑥2=−1 5.判断错误步骤 错误的是小赵，故选 D 8.淇淇在计算正数𝑎的平方时，误算成𝑎 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1,则𝑎 = ( ) A.1 B.√2 − 1 C.√2 + 1 D.1 或√2 + 1 【解析】由题意得2𝑎 + 1 = 𝑎2，解得𝑎 = 1 + √2或𝑎 = 1 − √2 （舍）.故选 C. 9.宇树机器人亮相 2025央视春晚,抛接手绢震惊全场.机器人在多个领域辅助人类完成各种任务, 某厂家 2025 年 2 月生产某型号机器人 180 台并全部售出,DeepSeek 预测其 4 月接到的订单数 量为 461 台,设该厂家生产的机器数量的月平均增长率为𝑥，则𝑥 与下列哪个数最接近( ) A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算 【解析】根据题意得180(1 + 𝑥)2 = 461，解得𝑥1 ≈ 0.60,𝑥2 ≈ −2.60 （舍去），则𝑥 与选项 A 中的数最接近.故选 A. 10.数学家塔比·伊本·库拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如图所示图形 来解关于𝑥的方程𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛 ，其中四边形𝐴𝐵𝐹𝐸为长方形，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，且𝐷𝐸 = 𝑚，𝐵𝐹 × 𝐶𝐷 = 𝑛 ，则方程𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛 的其中一个正根为 ( ) 4/115 A.𝐷𝐸的长 B.𝐴𝐵的长 C.𝐴𝐸的长 D.𝐵𝐸 的长 【解析】设正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为𝑦 ，则𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝑦. ∵ 𝐵𝐹 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝐹 = 𝐵𝐶 + 𝐷𝐸 = 𝑦 +𝑚 ，∴ 𝐵𝐹 × 𝐶𝐷 = (𝑦 +𝑚) × 𝑦 = 𝑛，即𝑦2 +𝑚𝑦 = 𝑛，则方程𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛 的其中一个正根 为𝐴𝐵 的长.故选 B. 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.已知(𝑚 − 1)𝑥𝑚 2+1 + 3𝑥 − 5 = 0是关于𝑥 的一元二次方程，则𝑚 的值为____. 【解析】由题意知，𝑚2 + 1 = 2且𝑚 − 1 ≠ 0，解得𝑚 = −1.故答案为−1 . 12.已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 − 2𝑥 + 𝑘 = 0 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意 的𝑘 的值：__________________. 【解析】∵ 关于𝑥的一元二次方程𝑥2 − 2𝑥 + 𝑘 = 0 有两个不相等的实数根，∴ Δ = (−2)2 − 4𝑘 = 4 − 4𝑘 > 0，解得𝑘 < 1，则𝑘的值可以为−1.故答案为−1 （答案不唯一）. 13.若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1 = 0(𝑎 ≠ 0) 的一个解是𝑥 = −1，则2 025 − 𝑎 + 𝑏 的 值是_______. 【解析】∵ 关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1 = 0(𝑎 ≠ 0)的一个解是𝑥 = −1 ，∴ 𝑎 × (−1)2 + 𝑏 × (−1) + 1 = 0，即𝑎 − 𝑏 = −1 ，∴ 2 025 − 𝑎 + 𝑏 = 2 025 − (𝑎 − 𝑏) = 2 025 − (−1) = 2 026，∴ 2 025 − 𝑎 + 𝑏 的值是 2 026.故答案为 2 026. 14.已知𝑘，𝑏是方程(2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 0 的两个实数根，且𝑘 < 𝑏，则函数𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 的图象 不经过第____象限. 【解析】∵ (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 0，∴ 2𝑥 + 1 = 0或3𝑥 − 1 = 0，解得𝑥1 = − 1 2 ，𝑥2 = 1 3 .∵ 𝑘,𝑏是 方程(2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 0的两个实数根，且𝑘 < 𝑏，∴ 𝑘 = − 1 2 ，𝑏 = 1 3 ，即函数𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏为𝑦 = − 1 2 𝑥 + 1 3 .∵ 𝑘 = − 1 2 < 0，𝑏 = 1 3 > 0，∴ 函数图象必经过第一、二、四象限，∴ 函数图象 不经过第三象限.故答案为三. 15.小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）称药品质量.如图，当质量 为𝑚 克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放质量为 20 克、5 克的砝码时杠杆平衡， 则𝑚 的值为____. 5/115 【解析】如图，由第一个图可得𝑚 ⋅ 𝑂𝐴 = 20 × 𝑂𝐵，则 𝑂𝐵 𝑂𝐴 = 𝑚 20 ；由第二个图可得5𝑂𝐴 = 𝑚 ⋅ 𝑂𝐵， 则 𝑂𝐴 𝑂𝐵 = 𝑚 5 ，∴ 𝑂𝐵 𝑂𝐴 ⋅ 𝑂𝐴 𝑂𝐵 = 𝑚 20 ⋅ 𝑚 5 = 1，解得𝑚 = 10 （负值舍去），故答案为 10. 16.如果关于𝑥 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根 的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有________（填序 号）. ①方程𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 是倍根方程； ②若关于𝑥的方程(𝑥 − 2)(𝑚𝑥 + 𝑛) = 0是倍根方程，则4𝑚2 + 5𝑚𝑛 + 𝑛2 = 0 ； ③若𝑝，𝑞满足𝑝𝑞 = 2，则关于𝑥的方程𝑝𝑥2 + 3𝑥 + 𝑞 = 0 是倍根方程； ④若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0是倍根方程，则必有2𝑏2 = 9𝑎𝑐 . 【解析】①解方程𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0得𝑥1 = 2，𝑥2 = −1. ∵ 𝑥1 ≠ 2𝑥2，𝑥2 ≠ 2𝑥1,∴ 方程𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0不是倍根方程,故①不正确.②关于𝑥的方程(𝑥 − 2)(𝑚𝑥 + 𝑛) = 0 的一个根为𝑥 = 2.由题意 可知𝑥1 = 2时，𝑥2 = 1或𝑥2 = 4.当𝑥2 = 1时，𝑚 + 𝑛 = 0 ;当𝑥2 = 4时，4𝑚 + 𝑛 = 0，∴ 4𝑚 2 + 5𝑚𝑛 + 𝑛2 = (𝑚 + 𝑛)(4𝑚 + 𝑛) = 0 ，故②正确 .③ ∵ 𝑝𝑞 = 2，∴ 𝑝 ≠ 0. ∵ 𝑝𝑥2 + 3𝑥 + 𝑞 = (𝑝𝑥 + 1)( 𝑥 + 𝑞) = 0，∴ 𝑥1 = − 1 𝑝 ，𝑥2 = −𝑞. ∵ 𝑥2 = −𝑞 = − 2 𝑝 = 2𝑥1，∴ 关于𝑥的方程𝑝𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑞 = 0 是倍根方程，故③正确.④由题意得𝑎 ≠ 0，方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0的根为𝑥1 = −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ， 𝑥2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 .若𝑥1 = 2𝑥2，则 −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 × 2 ，即 −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 − −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 × 2 = 0，∴ 𝑏+3√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 = 0，∴ 𝑏 + 3√𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 ，∴ 3√𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −𝑏，∴ 9(𝑏2 − 4𝑎𝑐) = 𝑏2，∴ 2 𝑏2 = 9𝑎𝑐.若2𝑥1 = 𝑥2 ，则 −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 × 2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ，即 −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 × 2 − −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 = 0 ， ∴ −𝑏+3√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 = 0，∴ −𝑏 + 3√𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0，∴ 𝑏 = 3√𝑏2 − 4𝑎𝑐 ，∴ 𝑏2 = 9(𝑏2 − 4𝑎𝑐)，∴ 2𝑏2 = 9𝑎𝑐 ,故④正确.故答案为②③④. 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）解方程： （1）𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 . 6/115 【解】𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0中，𝑎 = 1，𝑏 = −2，𝑐 = −8 ，…………（1 分） ∴ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−2)2 − 4 × 1 × (−8) = 36 > 0 ，…………（2 分） ∴ 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 = 2±√36 2 = 2±6 2 = 1 ± 3 ， ∴ 𝑥1 = 4，𝑥2 = −2 .…………（4 分） （2）(𝑥 + 4)2 = 5(𝑥 + 4) . 【解】整理得(𝑥 + 4)2 − 5(𝑥 + 4) = 0 ， (𝑥 + 4)(𝑥 + 4 − 5) = 0 ，…………（6 分） ∴ 𝑥 + 4 = 0或𝑥 − 1 = 0 ，…………（7 分） ∴ 𝑥1 = −4，𝑥2 = 1 .…………（8 分） 18.（10 分）已知关于𝑥 的一元二次方程𝑥2 − (𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 1 = 0 . （1）求证：无论𝑚 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】𝑥2 − (𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 1 = 0中，𝑎 = 1，𝑏 = −(𝑚 + 2)，𝑐 = 𝑚 − 1 ，∴ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = [−(𝑚 + 2)]2 − 4 × 1 × (𝑚 − 1) = 𝑚2 + 4𝑚 + 4 − 4𝑚 + 4 = 𝑚2 + 8 .…………（3 分） ∵ 𝑚2 ≥ 0，∴ Δ > 0,∴ 无论𝑚 取何值，方程都有两个不相等的实数根.（5 分） （2）如果方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 2 + 𝑥2 2 − 𝑥1𝑥2 = 9，求𝑚 的值. 【解】方程𝑥2 − (𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 1 = 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2 ， 则𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚 + 2，𝑥1𝑥2 = 𝑚 − 1 .…………（6 分） ∵ 𝑥1 2 + 𝑥2 2 − 𝑥1𝑥2 = 9，即(𝑥1 + 𝑥2) 2 − 3𝑥1𝑥2 = 9 ，∴ (𝑚 + 2) 2 − 3(𝑚 − 1) = 9 ,…（8 分） 整理得𝑚2 +𝑚 − 2 = 0,∴ (𝑚 + 2)(𝑚 − 1) = 0 , 解得𝑚1 = −2，𝑚2 = 1 , ∴ 𝑚的值为−2 或 1.…………（10 分） 19.（10 分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由 “引首”“画心”“拖尾”（这三部分都是矩形）及分隔这三部分的“隔水”组成.下图中手卷1 000 cm， 宽40 cm ，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100 cm.若隔水的宽度为𝑥 cm，画心的面积为 15 200 cm2，求𝑥 的值. 7/115 20.（12 分）已知关于𝑥 的一元二次方程𝑥2 −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0 . （1）若方程的一个根是𝑥 = −1，求𝑚 的值； 【解】把𝑥 = −1代入方程𝑥2 −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0得1 +𝑚 + 2𝑚 − 4 = 0 ，解得 𝑚 = 1 .…………（4 分） （2）在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90∘ ，斜边长𝑐 = 2√2，两直角边的长𝑎，𝑏 恰好是方程𝑥2 −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0的两根，求𝑚 的值. 【解】∵ 两直角边的长𝑎，𝑏恰好是方程𝑥2 −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0 的两根， ∴ 𝑎 + 𝑏 = 𝑚，𝑎𝑏 = 2𝑚 − 4 .…………（8 分） ∵ ∠𝐶 = 90∘ ，∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 = (2√2)2 = 8，∴ (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 = 8 ， ∴ 𝑚2 − 2(2𝑚 − 4) = 8，整理得𝑚2 − 4𝑚 = 0 ，…………（10 分） 解得𝑚1 = 0（舍去），𝑚2 = 4，∴ 𝑚 的值为 4.…………（12 分） 21.（12 分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量𝑦（件）与每件售价𝑥 （元） 之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： （1）求𝑦与𝑥之间的函数关系式（不要求写出自变量𝑥 的取值范围）； 【解】由题意，设𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 . 根据表格数据可得{ 45𝑘 + 𝑏 = 55, 55𝑘 + 𝑏 = 45, ∴ { 𝑘 = −1, 𝑏 = 100, …………（4 分） ∴ 𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦 = −𝑥 + 100 .…………（5 分） （2）该商品日销售额能否达到 2 600 元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由. 【解】不能.…………（6 分） 理由：假设该商品日销售额能达到 2 600 元，则𝑥(−𝑥 + 100) = 2 600 , 整理得𝑥2 − 100𝑥 + 2 600 = 0 ,…………（9 分） ∴ Δ = (−100)2 − 4 × 2 600 = 10 000 − 10 400 = −400 < 0 ,…………（11 分） ∴ 该方程没有实数根，∴ 该商品日销售额不能达到 2 600 元.…………（12 分） 22.（14 分）下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务. 每件售价𝑥/ 元 … 45 55 65 … 日销售量𝑦/ 件 … 55 45 35 … 8/115 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程（组）的解法有 一定的规律，解一元一次方程时，把方程转化为𝑥=𝑎 的形式；解二元一次方程 组时，把它转化为一元一次方程求解；解三元一次方程组时，把它转化为二元一 次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式 方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方 程必须检验.各类方程（组）的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思 想——转化，把未知转化为已知，把多元转化为一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程. 例如：解一元三次方程𝑥3+2𝑥2−3𝑥=0 ，第一步，提出 𝑥：𝑥(𝑥2+2𝑥−3)=0 ；第二步，转化为两个方程：____或____；第三步，解得 𝑥1=0，𝑥2=−3，𝑥3=1 . （1）将小军解一元三次方程𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 = 0 过程中的第二步补充完整：______或_______ ________；（写出的两个方程正确即可，顺序可以调换） 【解析】由𝑥(𝑥2 + 2𝑥 − 3) = 0得𝑥 = 0或𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0.故答案为𝑥 = 0 ，𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 .…………（2 分） （2）方程2𝑥3 + 10𝑥2 − 12𝑥 = 0的解是𝑥1 = 0，𝑥2 =________，𝑥3 = ________； 【解析】原方程转化为2𝑥(𝑥2 + 5𝑥 − 6) = 0，∴ 2𝑥 = 0或𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 ， ∴ 𝑥1 = 0，𝑥2 = 1，𝑥3 = −6，故答案为 1，−6（或−6 ，1）.…………（6 分） （3）解方程组{ 𝑥2 + 𝑦2 = 17, 𝑥 − 𝑦 = 3； 【解】{ 𝑥2 + 𝑦2 = 17,① 𝑥 − 𝑦 = 3,② 由②得𝑥 = 𝑦 + 3 .③ 把③代入①并整理得 𝑦2 + 3𝑦 − 4 = 0 ，……（8 分） ∴ (𝑦 − 1)(𝑦 + 4) = 0，解得𝑦1 = 1，𝑦2 = −4，∴ 𝑥1 = 𝑦 + 3 = 1 + 3 = 4 ， 𝑥2 = 𝑦 + 3 = −4 + 3 = −1，∴ 原方程组的解为{ 𝑥1 = 4, 𝑦1 = 1, { 𝑥2 = −1, 𝑦2 = −4. ……（10 分） （4）如图，已知矩形草坪𝐴𝐵𝐶𝐷的长𝐴𝐷 = 21 m，宽𝐴𝐵 = 8 m，点𝑃 在𝐴𝐷上(𝐴𝑃 > 𝑃𝐷)，小 明把一根长为27 m的绳子一端固定在点𝐵 处，把绳子拉直并固定在𝐴𝐷上的点𝑃处，再拉直绳 子，若绳子的另一端恰好落在矩形的顶点𝐶 处，求𝐷𝑃 的长. 9/115 【解】设𝐴𝑃 = 𝑥 m，则𝐷𝑃 = (21 − 𝑥)m.∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形， ∴ ∠𝐴 = ∠𝐷 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 8 m.在Rt△𝐴𝐵𝑃中，𝐴𝐵2 + 𝐴𝑃2 = 𝐵𝑃2 ，即 𝐵𝑃2 = 82 + 𝑥2，则𝐵𝑃 = √64 + 𝑥2 m .…………（11 分） 在Rt△𝐶𝐷𝑃中，𝐶𝐷2 + 𝐷𝑃2 = 𝐶𝑃2，即𝐶𝑃2 = 82 + (21 − 𝑥)2 ，则 𝐶𝑃 = √𝑥2 − 42𝑥 + 505 m .…………（12 分） ∵ 𝐵𝑃 + 𝐶𝑃 = 27 m，∴ √𝑥2 − 42𝑥 + 505 = 27 − √𝑥2 + 64 ， ∴ 7𝑥 + 48 = 9√𝑥2 + 64，∴ 𝑥2 − 21𝑥 + 90 = 0，解得𝑥1 = 15，𝑥2 = 6 ，……（13 分） ∴ 𝐴𝑃 = 15 m或𝐴𝑃 = 6 m，则𝑃𝐷 = 21 − 15 = 6(m) 或 𝑃𝐷 = 21 − 6 = 15(m). ∵ 𝐴𝑃 > 𝑃𝐷，∴ 𝐷𝑃的长为6 m .…………（14 分） 10/115 第二十一章 基础检测卷 考查内容：一元二次方程（时间：90 min，满分：120 分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A.𝑥 − 2𝑦 = 1 B.𝑥2 + 3 = 2 𝑥 C.𝑥2 − 2𝑦 + 4 = 0 D.𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 2.一元二次方程(𝑥 + 1)2 = 16 用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一 次方程是𝑥 + 1 = 4 ，则另一个一元一次方程是( ) A.𝑥 − 1 = −4 B.𝑥 − 1 = 4 C.𝑥 + 1 = −4 D.𝑥 + 1 = 4 3.已知𝑥1，𝑥2是一元二次方程2𝑥 2 + 6𝑥 − 5 = 0 的两个实数根，则𝑥1 + 𝑥2 等于( ) A.3 B.− 5 2 C.−3 D.−6 4.下列方程中没有实数根的是( ) A.𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 B.𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 C.𝑥2 + 8𝑥 + 1 = 0 D.𝑥2 − 2√2𝑥 + 2 = 0 5.已知方程(𝑥 − 2)(3𝑥 + 1) = 0，则𝑥 − 2 的值为( ) A.− 7 3 B.0 C.−2 D.− 7 3 或 0 6.题目：两个连续奇数的积为 323，求这两个数.若设较小的奇数为𝑥 ，则根据题意列出的方程 正确的是( ) A.𝑥(𝑥 + 1) = 323 B.𝑥(𝑥 + 2) = 323 C.𝑥(𝑥 − 2) = 323 D.(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 323 7.4 个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同 学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( ) A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 8.淇淇在计算正数𝑎的平方时，误算成𝑎 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1,则𝑎 = ( ) A.1 B.√2 − 1 C.√2 + 1 D.1 或√2 + 1 3/66 9.宇树机器人亮相 2025央视春晚,抛接手绢震惊全场.机器人在多个领域辅助人类完成各种任务, 某厂家 2025 年 2 月生产某型号机器人 180 台并全部售出,DeepSeek 预测其 4 月接到的订单数 量为 461 台,设该厂家生产的机器数量的月平均增长率为𝑥，则𝑥 与下列哪个数最接近( ) A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算 10.数学家塔比·伊本·库拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如图所示图形 来解关于𝑥的方程𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛 ，其中四边形𝐴𝐵𝐹𝐸为长方形，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，且𝐷𝐸 = 𝑚，𝐵𝐹 × 𝐶𝐷 = 𝑛 ，则方程𝑥2 +𝑚𝑥 = 𝑛 的其中一个正根为 ( ) A.𝐷𝐸的长 B.𝐴𝐵的长 C.𝐴𝐸的长 D.𝐵𝐸 的长 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.已知(𝑚 − 1)𝑥𝑚 2+1 + 3𝑥 − 5 = 0是关于𝑥 的一元二次方程，则𝑚 的值为____. 12.已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 − 2𝑥 + 𝑘 = 0 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意 的𝑘 的值：__________________. 13.若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1 = 0(𝑎 ≠ 0) 的一个解是𝑥 = −1，则2 025 − 𝑎 + 𝑏 的 值是_______. 14.已知𝑘，𝑏是方程(2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 0 的两个实数根，且𝑘 < 𝑏，则函数𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 的图象 不经过第____象限. 15.小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）称药品质量.如图，当质量 为𝑚 克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放质量为 20 克、5 克的砝码时杠杆平衡， 则𝑚 的值为____. 16.如果关于𝑥 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根 的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有________（填序 号）. ①方程𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 是倍根方程； 4/66 ②若关于𝑥的方程(𝑥 − 2)(𝑚𝑥 + 𝑛) = 0是倍根方程，则4𝑚2 + 5𝑚𝑛 + 𝑛2 = 0 ； ③若𝑝，𝑞满足𝑝𝑞 = 2，则关于𝑥的方程𝑝𝑥2 + 3𝑥 + 𝑞 = 0 是倍根方程； ④若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0是倍根方程，则必有2𝑏2 = 9𝑎𝑐 . 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）解方程： （1）𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 . （2）(𝑥 + 4)2 = 5(𝑥 + 4) . 18.（10 分）已知关于𝑥 的一元二次方程𝑥2 − (𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 1 = 0 . （1）求证：无论𝑚 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 2 + 𝑥2 2 − 𝑥1𝑥2 = 9，求𝑚 的值. 19.（10 分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由 “引首”“画心”“拖尾”（这三部分都是矩形）及分隔这三部分的“隔水”组成.下图中手卷1 000 cm， 宽40 cm ，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100 cm.若隔水的宽度为𝑥 cm，画心的面积为 15 200 cm2，求𝑥 的值. 5/66 20.（12 分）已知关于𝑥 的一元二次方程𝑥2 −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0 . （1）若方程的一个根是𝑥 = −1，求𝑚 的值； （2）在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90∘ ，斜边长𝑐 = 2√2，两直角边的长𝑎，𝑏 恰好是方程𝑥2 −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 4 = 0的两根，求𝑚 的值. 21.（12 分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量𝑦（件）与每件售价𝑥 （元） 之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： （1）求𝑦与𝑥之间的函数关系式（不要求写出自变量𝑥 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到 2 600 元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由. 每件售价𝑥/ 元 … 45 55 65 … 日销售量𝑦/ 件 … 55 45 35 … 6/66 22.（14 分）下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务. 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程（组）的解法有 一定的规律，解一元一次方程时，把方程转化为𝑥=𝑎 的形式；解二元一次方程组时，把它 转化为一元一次方程求解；解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一 元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程 求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程（组）的解法不尽 相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化为 一元，把复杂转化为简单.运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程. 例如：解一元三次方程𝑥3+2𝑥2−3𝑥=0 ，第一步，提出 𝑥：𝑥(𝑥2+2𝑥−3)=0 ；第二步，转化为两个方程：____或____；第三步，解得 𝑥1=0，𝑥2=−3，𝑥3=1 . （1）将小军解一元三次方程𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 = 0 过程中的第二步补充完整：______________ 或_____________________；（写出的两个方程正确即可，顺序可以调换） （2）方程2𝑥3 + 10𝑥2 − 12𝑥 = 0的解是𝑥1 = 0，𝑥2 =________，𝑥3 = ________； （3）解方程组{ 𝑥2 + 𝑦2 = 17, 𝑥 − 𝑦 = 3； （4）如图，已知矩形草坪𝐴𝐵𝐶𝐷的长𝐴𝐷 = 21 m，宽𝐴𝐵 = 8 m，点𝑃 在𝐴𝐷上(𝐴𝑃 > 𝑃𝐷)，小 明把一根长为27 m的绳子一端固定在点𝐵 处，把绳子拉直并固定在𝐴𝐷上的点𝑃处，再拉直绳 子，若绳子的另一端恰好落在矩形的顶点𝐶 处，求𝐷𝑃 的长. 7/66