6.4 用图象表示变量之间的关系 学案 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

6.4 用图象表示变量之间的关系 考点1: 用图象表示两个变量之间的关系 1. 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法称为图象法.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.用图象来表示两个变量之间的关系. · 横轴与纵轴的单位、长度不一定相同 2. 图象法的特点 优点：形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质 不足：由图象法有时不能得到准确的对应值 考点2: 从图象中获取信息 理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量，二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置，这样才能得到该点的正确意义 练习1. 1. 正常人的体温一般在37℃左右，但一天中的不同时刻，体温不尽相同，如图所示的图象反映了一天 24 小时内小明的体温的变化情况，下列说法错误的是( ) A.凌晨5 时体温最低 B.17时，小明的体温是 37.5 ℃ C.从5时至 24时，小明的体温一直是升高的 D.从0时至5时，小明的体温一直是下降的 2. 一个温度计从一杯热茶中取出之后，立即被放人一杯凉水中，此时温度计所显示的温度随时间的变化而变化，下列可以近似地表示温度计所显示的温度T与时间t之间的关系的图象是( ) 3. 用恒定不变的水速往某一容器里注水，该容器的水位高度h(dm)与注水时间t(min)的关系如图，则该容器的形状可能是( ) 4. 速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( ) 5. 如图，是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是( ) 6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40L油，到乙地后发现油箱中还剩 4L油，则油箱中所剩油 y(单位：L)与时间t (单位：h)之间的函数图象大致是( ) 7. 某公司选择一种消毒液每天对各办公室进行消毒.据测定办公室内每立方米空气中的药物含量y(mg)随时间t(min)的变化情况如图所示，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)图中A点表示的意义是什么? (2)已知当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时才能保证对人身体无害，若该公司准备在员工上班40min前消毒，据此判断该公司选择消毒的时间是否合适?请说明理由 8. 小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h(单位：m)与时间t (单位：s)之间的图象如图所示.请结合图象回答： (1)①41s时，h的值是多少?说明它的实际意义.②过山车所达到的最大高度是多少? (2)请描述30s后，高度h随时间t的变化情况. 9. 如图，生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用(曲线I)和呼吸作用(曲线Ⅱ)强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强?在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱?植物的光合作用发生在哪个时间段内? (3)曲线I、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么? 考点3: 用图象表示行程问题中变量之间的关系 速度与时间的关系图象：路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，要解决这类问题，就要对图象中各段的意义理解正确. · 在一个变化过程中，两个变量之间的关系不是一成不变的，有时随着自变量的变化，因变量与自变量之间的关系也会发生变化，反映在图象上就是分段图象 · 读懂折线型图象需要注意： ①弄清楚横轴与纵轴所表示的变量及其实际意义； ②找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点并转化为实际意义； ③拐点：图象中的拐点既是前一段变化过程的终点，又是后一段变化过程的起点，反映图象在这一时刻开始发生变化，说明运动状态发生了变化； ④水平线：因变量随自变量的变化而保持不变； ⑤交点：表示两个图象的自变量与因变量分别对应相等. 练习2. 1. 已知小强家、体育场、文具店在同一条直线上，如图所示的图象反映的过程是：小强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示小强离家的距离，则下列结论不正确的是( ) A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5km C.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min 2. 今年五一假期，小星一家驾车前往某风景名胜区旅游，在行驶过程中，汽车离该景区的路程y(单位：km)与所用时间x(单位：h)之间的关系如图所示，下列说法正确的是( ) A.从小星家到该景区的路程为50km B.小星从家出发第1h的平均速度为75km/h C.小星从家出发2h后到该景区的路程为125km D.小星从家到该景区共用了3h 3. 在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同.设无人机的飞行高度h(单位：m)与操控无人机的时间t(单位：min)之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是 ；因变量是 ； (2)无人机在75m高的上空停留的时间是 min； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 m/min； (4)图中a表示的数是 ，b表示的数是 ； (5)求第 14min时无人机的飞行高度. · 图象法解决行程问题 · 单线型图象 1. 小颖奶奶从距家 900 米的菜市场步行回家，20分钟后到达公园，休息了10分钟后，又走了15分钟回到家，下列图象中表示小颖奶奶离家的距离y(米)与从菜市场出发回家的时间x(分钟)之间的关系是( ) 2. 小方一家上午9:00开车前往会展中心参观，途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间.车修好后，他们继续开车赶往会展中心.以下是他们出发后离家的距离s(m)与时间的图象，分析图中信息，下列说法正确的是( ) A.途中修车花了30min B.修车之前的平均速度是500m/min C.车修好后的平均速度是800m/min D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 1.5 倍 3. 如图，已知线段AB＝12厘米，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发向点B运动，动点Q以4厘米/秒的速度从点B出发向点A运动两点同时出发，到达各自的终点后停止运动.设两点之间的距离为s(厘米)，动点P的运动时间为t(秒)，则选项中能正确反映s与t之间的关系的是( ) 4. 某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升.油箱中余油量Q(单位：L)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示，根据图象回答问题： (1)机动车行驶5h后加油，途中加油 L. (2)根据图象计算，该机动车在加油前的行驶中每小时耗油多少升? (3)如果加油站距目的地还有400km，车速为60km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用?请说明理由. · 双线型图象 1. 一段笔直的公路AC长20km，途中有一处休息点B，AB长15km.甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发.甲以15km/h的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10km/h 的速度匀速跑至终点C；乙以12km/h的速度勾速跑至终点C.下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2h内运动路程y(单位：km)与时间x(单位：h)关系的图象是( ) 2. 在体育测试女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程s(米)与所用时间t(秒)之间的图象分别为线段OA和折线OBCD.下列说法正确的是( ) A.小莹的速度随时间的增大而增大 B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C.在起跑后180秒时，两人相遇 D.在起跑后50 秒时，小梅在小莹的前面 3. 一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示，则下列结论中错误的是( ) A．相遇时快车行驶了150千米 B．慢车行驶速度为60千米/小时 C．甲、乙两地的路程是400千米 D．快车出发后4小时到达乙地 4. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示，那么乙的速度是 km/h. 5. 汽车和货车同时从相距300km的甲、乙两地出发，相向而行，分别前往乙地和甲地.如图，l1、l2和以分别表示汽车和货车与甲地的距离s(km)与行驶时间t(h)的关系. (1)汽车的速度为 km/h，货车的速度为 km/h. (2)经过多久两车相遇? (3)当汽车到达目的地时，货车距离目的地还有多远? · 追及问题 1. 如图①，小颖家、小华家和画廊在同一条直线上，周末小颖和小华相约去画廊看展，小颖从家步行出发，同时小华也从家骑自行车出发，两人与小华家的距离s(米)和出发时间t(分钟)之间的部分图象如图②所示，已知小华在骑车过程中休息了一段时间，再骑行一段时间后追上小颖，观察图象并回答下列问题： (1)表示小颖的运动路程与时间关系的是图象 (填“甲”或“乙”)； (2)请用图中数据详细描述A点表示的意义； (3)小华在休息前和休息后骑自行车的速度是否相同?请通过计算说明理由； (4)若小华不休息，保持休息前的速度匀速骑行，则出发后多长时间可以追上小颖，并求出此时两人与小华家的距离. 2. 甲车和乙车先后从同一起点出发驶向目的地，已知乙车比甲车晚出发1.5小时，两车距目的地的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)当乙车到达目的地时，求甲车与起点之间的距离； (2)乙车出发多长时间后追上甲车? (3)乙车出发多长时间后，甲、乙两车相距15 千米? 3. 某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课还有15min，于是立即步行回家去取，同时小颖的爸爸从家中出发骑自行车给她送学习用品，两人在途中相遇，在这个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距离s(m)与所用时间t(min)之间的关系如图所示.若爸爸骑自行车的速度是小颖步行速度的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)学校离家的距离是 m，爸爸出发 min后与小颖相遇； (2)请求出小颖步行的速度； (3)若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校(假设爸爸骑自行车的速度不变)，小颖能在上课前到达学校吗?请说明理由. · 动态几何图形问题 1. 如图1，点P沿边框以B→C→D→E→F→A为路径，从B到A以2cm/s的速度运动，△ABP的面积为S(cm2)与运动时间(t)的关系如图2所示AB＝8cm. (1)当0≤t≤4时，求S与运动时间的关系式： (2)求图2中m的值和图1中多边形ABCDEF的面积； (3)求点P在运动过程中的最大值n. 2. 如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，以CD为边在AC的右侧作正方形CDEF.点P以每秒1cm的速度沿F→E→D→A→B的路径运动，连接BP、CP，△BCP的面积y(cm2)与运动时间x(秒)之间的图象关系如图2所示． (1)求EF的长度和a的值； (2)当x＝6时，连接AF，判断BP与AF的数量关系，说明理由． 3. 已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8cm．当动点M以2cm/s的速度沿图①的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题： (1)求a的值和EF的长度； (2)当点M运动到DE上时，求S与t的关系式． 4. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S(cm2)与x(t)的关系图象 (1)参照图，求a＝ ；b＝ ；及图②中的c＝ ； (2)设点P离开点A的路程为y(cm)，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x(秒)的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，△APD的面积是矩形ABCD面积的. 5. 如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD， BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为y(cm2)，y和x的关系如图2所示 (1)AB＝ cm；BC＝ cm； (2)写出P在C→D上运动时y与x之间的关系式： (3)当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小，若存在，求出此时∠APD的度数，若不存在，请说明理由. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$