专题一 一次函数和反比例函数综合题-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 题型四 满分解答突破 专题一一次函数和反比例函数综合题 一次函数 A,等腰三角形的存在问题 例1如图，已知A(4,m)为正比例函数y-子x的图象上一点，AB⊥x轴，垂足为点B. (1)求m的值： (2)点P从O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动.设点P的运动时间为1(s).在 点P的运动过程中，是否存在这样的t,使得△POB为等腰三角形？若存在，请求出所有符 合题意的1的值：若不存在，请说明理由. 234 第四部分题型专题突破口 B.直角三角形存在问题 例2.如图，直线y-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是OB的中点. (1)求点C的坐标： (2)在x轴上是否存在一点P,使得△ABP是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标， C,角度问题 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A(6,0),点B(0,2),点P是直线y=一x一1上一点，∠ABP= 45°，求点P的坐标. y =-x-1 235 口中考宝典·数学（广东专用版） 反比例函数 A.反比例函数与一次函数综合 例4.如图，已知一次函数y=ax+b与反比例函数yg=相交于点A(2,3)和点B(3,m). (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)观察图象，直接写出关于x的不等式ax十b->0的解集： (3)求△OAB的面积. 236 第四部分题型专题突破门 B.反比例数与几可图形综合 例5.已知反比例函数y=1一2严(m为常数)的图象在第一、三象限。 (1)求m的取值范围： (2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为 (0,3),(-2,0) ①求出该反比例函数的解析式： ②若点P在x轴上，当S△or=3时，求点P的坐标. 237 口中考宝典·数学（广东专用版） 【综合训练】 1.如图1，正方形ABCD的顶点A(1,1),点C(3,3),反比例函数y=(r>0)的图象经过点D. (1)试说明反比例函数y=的图象也经过点B: (2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ,边MN在x轴上，反比例函数y=冬的图象 分别交正方形MNPQ的边PQ,PN于点E,F. ①求△MEF的面积： ②在x轴上是否存在一点G,使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存 在，请说明理由 图2 图 238 第四部分题型专题突破门 2.如图，平面直角坐标系中，反比例函数y-(>0)的图象经过点A2,3),B6,a),直线1：y=m十n经 过A,B两点，并分别交x轴，y轴于D,C两点. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)当直线1向下平移b个单位时，与y=(x>0)的图象有唯一交点，求b的值： (3)在y轴上是否存在一点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，请求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由， e 0 D本 239新曝标中考宝典数学（广东专用版】 ∠FAO=∠ECO, 在△AOF和△(OE中， OA-OC. 六BF∥DE,BF=DE ∠AOF=∠COE. 题型四满分解答突破 .△AOF≌△COE(ASA),,OE=OF, 专题一 一次函数和反比例函数综合题 ,OA=OC,.四边形AECF是平行四边形 :EF⊥AC,.四边形AECF是菱形： 例1 解：(1)：A4,m)为正比例函数y=子：的图象上 (2)解：四边形ABCD是矩形，∴.∠B=90 一点， ,四边形AECF是菱形，.AE=CE 设菱形AECF的边长为x,则AE=CE=x,BE=8一x. m=×4=3， 在Rt△ABE中，AB十BE=AE,即62十(8一x)产=x, 即m的值为3： 解得=空菱形ABCF的边长为空 (2)①如答图1，当PB=OP时，点P在线段OB的垂 直平分线上，过点P作PD⊥OB于点D, 5.证明：(1)：四边形ABCD是矩形， PD⊥OB,点D是OB的中点， ∴∠BAD=∠ADE=90°，∴.∠ABF+∠AFB=90 .点P是OA的中点 AF⊥BF, ABx轴， ,∠DAE+∠AFB=90°，.∠ABF=∠DAE ∴.∠ABO=90° ∠ABF=∠DAE. OD B 在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠ADE=90°， ∴0P=PB=20A. BF=AE. A(4,3),.0A=5 答图1 .△ABF≌△DAE(AAS), ∴AB=AD.∴.矩形ABCD是正方形： .0P-PB- (2)如答图， :点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方 由(I)可知，△ABF≌△DAE, 向运动，设点P的运动时间为1(s), ..AF=DE. :正方形ABCD, 0n=2,2= ∴.AD=DC=BC=AB.∠D=∠C=90° 答图 1=是=1.25(s0 AB∥CD,.DF=CE :DFP-AP.A股- 即1的值为1.25， ②当OP=OB时，如答图2， OB=4,∴，OP=4. 答图2 :∠FDE=∠BCE=9O°..△FDE∽△BCE, 点P从)出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方 ,∠DEF=∠CEB ,AB∥CD,∴.∠ABE=∠CEB. 向运动，设点P的运动时间为t($), .0P=21..21=4, .∠DEF=∠ABE. 6.(1)证明：选小星：连接BE,如答图1， 1=2(s),即1的值为2： AE∥BD,DE∥BA, ③当BP=BO时， ∴四边形ABDE是平行四边形， 如答图3，过点B作BH⊥OA于 ∴.AE=BD 点H, 0 B .BD=BC...AE=BC.AE//BC. Sam,=·OA·BH=2 答图3 .四边形AEBC是平行四边形. AB·(0B,AB=3,OB=4,(0A=5, ,∠C=90°， ,四边形AEBC是矩形， 六5BH=12BH=12 .∠EBC=90, ∴.BELCD: 答图1 选小红：连接CE,BE,如答图2， ,AE∥BD,DE∥BA. 0p=20H=3 5 ∴四边形ABDE是平行四边形， :点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方 ∴.AE=BD,AB=DE. 向运动，设点P的运动时间为t(s), .BD BC...AE=BC. AE∥BC. B 0P=2,21=82 ,四边形AEBC是平行四边形， 答图2 32 :∠C=90°.∴.四边形AEBC是矩形， 1=0=3.2(s),即1的值为3.2， ..AB-CE.'.DE=CE 综上t的值为1.25或2或3.2. (2)BF∥DE,BF=DE.理由如下 例2 解：(1)：直线y=2x十4与y轴交于点B, 令r=0,得y=4, 证明：如答图3，连接BE,CE, .B(0,4)..OB=4. :四边形AEBC是矩形，∴CF=EF 点C是OB的中点，∴OC=BC=2,∴C(0,2): .BD=BC. (2)假设存在，设点P的坐标为(m,,0), .BF是△CDE的中位线， 答图3 因为∠BAP确定，所以△ABP是直角三角形需分2 种情况分析： 20 考若 ①若∠APB=90°，此时点P与原点O重合，坐标为 ,四边形ABOD是平行四边形， (0,0): .AD=OB=2,AD∥OB. ②@若∠ABP=90°，则ABF十BP严=AP. OA⊥OB,且点A,B位于y轴，x轴上 OA-2.0B-4.OP=mi=m ∴AD⊥y轴，.点D的坐标为(2,3)， AP=m-(一2)=m十2. :AB=2+4=20,BP=m+4', 将点D(2,3)代人反比例函数y=1二2 AP=(m+2), 得3-1-，2m,解得1-2m=6, .20+m+4=(m1+2), 2 解得：=8.此时点P的坐标为(8,0) 六反比例函数的解析式为y一三 综上所述，满足条件的P点的坐标为(0,0)或(8,0)。 ②②设点P的坐标为(a,0),则OP=|a, 例3解：如答图，作AC⊥AB交BP的延长线于点C, 作AD⊥OA,作CD⊥AD于点D, :5aw=3.号×0p×3=3,即7×3al=3 :∠BAC=∠DAO=90°， B 解得a=2或a=一2， .∠BAO=∠DAC .点P的坐标为(2,0)或(-2.0). ,∠ABP=45°， 【综合训练】 ∴.∠ACB=90°-∠ABP=45. 1.解：(1)：点A(1.1),点C(3,3).四边形ABCD是正方形， .∠ABP=∠ACB. .点D(1,3),B(3,1), .AB=AC. 答图 将点D的坐标代人反比例函数表达式得k=3, ,∠AOB=∠D=90°，∠BAO=∠DAC,AB=AC. .△AOB2△ADC(AAS), 六反比例函数表达式为y=3。 .AD=0A=6.CD=0B=2. 当x=3时，得y=1, ∴.D(6,-6),C(4.-6). 设直线BC的解析式为y=mx十n,将B(0,2),C(4, “反比例函数y一上的图象也经过点B: 6)代人得4m十m=一6解得m=。2, (2)①平移后点M,N,P,Q的坐标分别为(1,0)，(3,0)， n=2, 1n=2. (3.2).(1,2) .直线BC的解析式为y■-2.π+2， 如答图1，则平移后点F横坐标为3，则点F(3,1),同理点 直线C与直线y=一不一1联立得-一2十2， E(2 y y=-x-1, -SINAANI-SOOME 解得二3·P3,-. 1y=-4, 一Sw 11 例4解：1将A2,3)代人-兰.得=6， =2x2-×2×-2 二反比例函数的解析式为为=￡。 2x1-×号1=子 答图1 将B(3,m)代人为=5，得m=2. ②存在.理由：点F,E的坐标分别为(3,1)，（气2）： 如答图2，设点G(m.0). .B(3.2). 将A(2,3),B(3,2)代人当=a.r+b,得 则F=(3-是)广+2-1)=是。 但如新得公 FG=(m-3)2+1. b=5, .一次函数的解析式为y=一x十5： 6E-(m-2)广+4 (2)由图可知，关于x的不等式ar十6->0的解集 当EF=FG时：即号-(m-3+ 答图2 为x<0或2<x<3: (3)如答图，设一次函数为=一x十5与x轴交于点C, 则C(5,0), ∴.0C=5 当m=号时，点EF,G三点共线，放含去，m-是 SAm=SN-SAI0= ×5× 当EF=GE时，同理可得方程无实数根，舍去， 8-×5×2=号 当G一6F时，同理可得m-号 2 六△0AB的面积为 答图 故点G的坐标为（受，0）或（骨，0），使得△GEF是等腰 三角形 例5解：1)：反比例函数y=1一2皿(m为常数)的图象在 2解：0)将A2,3)代入y=兰中，得3=会解得=6： 第一、三象限， 1-2m>0,解得m<宁 (2)①点A.B的坐标分别为(0.3).（一2.0 将B6a代人y=至中，得a=音=1dB6,1. .0A=3,0B=2, 将A(2,3),B(6,1)代人y=mr+, 21 新瀑标中考宝典数学（广东专用版】 3=2m十解得 例2(1)证明：：BC是⊙O的直径 得 1=6m十力 ‘y= 2+4 ∴.∠BAC=90°. =4, 又EM⊥BC,BM平分∠ABC, (2)平移后的表达式为y=一 2r+4-6, ∴.AM=ME,∠AMN=∠EMN. 又'MN=MN,∴.△ANM≌△ENM: 6 y■ (2)证明：，AB=AF·AC, 由题意可得 y-交+4-6, 浪福 又：∠BAC=∠FAB=90°， 则-号r+(4-b)x-6=0. .△ABF△ACB, .∠ABF=∠C..∠FBC=∠ABC+∠FBA=90 4-(4-b)-4×(-2)×(-6)=(4-b)-12=0, 又，OB是⊙O的半径，，FB是⊙O的切线： .h=4一23，=4+23（含去），.b的值为4-23： (3)解：由(1)得AN=EV,AM=EM,∠AMN (3)如答图， =∠EMN, 当AQ⊥CQ时，AQ∥x轴， 又：AN∥ME. ∴.Q1(0,3). ∴.∠ANM=∠EMN,.∠AMN=∠ANM 当ACLAQ时. .AN=AM...AM=ME=EN=AN. 将x=0代人y=一豆x+4得0 .四边形AMEN是菱形： 答图 C(0,4), ms∠ABD=号∠ADB=9082-号 设BD=3x,则AB=5x. 将y=0代人y=-之1+4得D(8,0), 由勾股定理得AD=√(5x)一(3r)=4x ∴AC=√CQ+AQ=√(4-3)+2=5. ,AD=12,x=3,.BD=9,AB=15. ,CD=√0C+OD=√+8=45. MB平分∠AME.∴.BE=AB=15, :△0xpo△008袋瓷-着 ∴.DE=BE-BD=6, 'ND∥ME.∴∠BND=∠BME. .CQ=5..Q(0,-1). 又：∠NBD=∠MBE, 综上，点Q的坐标为(0.3)或(0，一1)， △BNDn△BME,∴提-0 专题二圆的综合题 例1(1)证明：连接EC,如答图， 设ME=则ND=12-y2=是 ,AD⊥BE于点H,∠1=∠2， .∠3=∠4. 解得y-号∴S-ME·DE-空×6-45， ∠4-∠5 例3(1)证明：连接OC,如答图， ∴.∠4=∠5=∠3. :PC切⊙0于点C.∴.OC⊥PC 又：E为下的中点， .∠PC0=90°， =, .∠PCA+∠OCA=90 .∠6=∠7 :AB为⊙O的直径， BC是直径， ∴.∠ACB=90°， ∠E=90°， ∴∠ABC+∠OAC=90°， .∠5+∠6=90. 答图 OC=0A. 又，∠AHM=∠E=90°， ∴.∠OA=∠O0AC .AD∥CE, .∠PCA=∠ABC: ∴.∠2=∠6=∠1=∠7， (2)解：AE∥PC .∠3+∠7=90 .∠PCA=∠CAF 又：BC是直径 AB⊥CG,.C-G AB是半圆O的切线： ∴∠ACF=∠ABC (2)解：AB=3,BC=4, ∠PCA=∠ABC,∴∠ACF=∠PCA=∠CAF, 由(1)知，∠ABC=90°. ∴.CF=AF ,CF=5,.AF=5 .AC=√AB+BC=√3+平=5. AE∥PC,∴∠FAD=∠P. 在△ABM中，AD⊥BM于点H,AD平分∠BAC, ..AM=AB=3. ”P=是∠FAD-=是 ∴.CM=2. :∠6=∠7，∠E为公共角， 在R△AFD中，AF=5,m∠FAD-号， △CMBO△BCE,和需-答-导-子 ∴.FD=3,AD=4,∴.CD=8. 在Rt△(OCD中，设C=r .EB=2EC,在R△BCE中，BE+CE=BC, .r2=(r-4)十8， 即BE+(受)-，解得BE=8 .r=10,.AB=2r=20 ,AB为⊙O的直径， 22