专题二 圆的综合题-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 专题二 圆的综合题 圆与相似三角形 例1.(2023·房县模拟)如图，已知△ABC,以BC为直径，点O为圆心的半圆交AC于点F,点E为CF 的中点，连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE,垂足为点H. (1)求证：AB是半圆O的切线； (2)若AB=3,BC=4,求BE的长. 240 第四部分题型专题突破 W圆与相全等三角形 例2.(2023·赛罕区二模)如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点 M,AD1BC于点D.AD交BM于点N,MELBC-于点E,AB=AF·AC,cOS∠ABD-号AD-12 (1)求证：△ANM≌△ENM; (2)求证：FB是⊙O的切线： (3)证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S. D OE 241 口中考宝典·数学（广东专用版） 圆与锐角三角函数 例3.(2024·红花岗区校级模拟)如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C, CG是⊙O的弦，CG⊥AB,垂足为D. (1)求证：∠PCA=∠ABC: (②)过点A作AE/PC,交O0于点E,交CD于点F,连接BE,若smP-号，CF=5,求BE的长. D 242 第四部分题型专题突破门 【综合训练】 1.(2024·鄂州模拟)如图，△ABC内接于⊙O,点P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB= ∠OAC,过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D. (1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若PC=4,anA=号，求△OCD的面积 243新瀑标中考宝典数学（广东专用版】 3=2m十解得 例2(1)证明：：BC是⊙O的直径 得 1=6m十力 ‘y= 2+4 ∴.∠BAC=90°. =4, 又EM⊥BC,BM平分∠ABC, (2)平移后的表达式为y=一 2r+4-6, ∴.AM=ME,∠AMN=∠EMN. 又'MN=MN,∴.△ANM≌△ENM: 6 y■ (2)证明：，AB=AF·AC, 由题意可得 y-交+4-6, 浪福 又：∠BAC=∠FAB=90°， 则-号r+(4-b)x-6=0. .△ABF△ACB, .∠ABF=∠C..∠FBC=∠ABC+∠FBA=90 4-(4-b)-4×(-2)×(-6)=(4-b)-12=0, 又，OB是⊙O的半径，，FB是⊙O的切线： .h=4一23，=4+23（含去），.b的值为4-23： (3)解：由(1)得AN=EV,AM=EM,∠AMN (3)如答图， =∠EMN, 当AQ⊥CQ时，AQ∥x轴， 又：AN∥ME. ∴.Q1(0,3). ∴.∠ANM=∠EMN,.∠AMN=∠ANM 当ACLAQ时. .AN=AM...AM=ME=EN=AN. 将x=0代人y=一豆x+4得0 .四边形AMEN是菱形： 答图 C(0,4), ms∠ABD=号∠ADB=9082-号 设BD=3x,则AB=5x. 将y=0代人y=-之1+4得D(8,0), 由勾股定理得AD=√(5x)一(3r)=4x ∴AC=√CQ+AQ=√(4-3)+2=5. ,AD=12,x=3,.BD=9,AB=15. ,CD=√0C+OD=√+8=45. MB平分∠AME.∴.BE=AB=15, :△0xpo△008袋瓷-着 ∴.DE=BE-BD=6, 'ND∥ME.∴∠BND=∠BME. .CQ=5..Q(0,-1). 又：∠NBD=∠MBE, 综上，点Q的坐标为(0.3)或(0，一1)， △BNDn△BME,∴提-0 专题二圆的综合题 例1(1)证明：连接EC,如答图， 设ME=则ND=12-y2=是 ,AD⊥BE于点H,∠1=∠2， .∠3=∠4. 解得y-号∴S-ME·DE-空×6-45， ∠4-∠5 例3(1)证明：连接OC,如答图， ∴.∠4=∠5=∠3. :PC切⊙0于点C.∴.OC⊥PC 又：E为下的中点， .∠PC0=90°， =, .∠PCA+∠OCA=90 .∠6=∠7 :AB为⊙O的直径， BC是直径， ∴.∠ACB=90°， ∠E=90°， ∴∠ABC+∠OAC=90°， .∠5+∠6=90. 答图 OC=0A. 又，∠AHM=∠E=90°， ∴.∠OA=∠O0AC .AD∥CE, .∠PCA=∠ABC: ∴.∠2=∠6=∠1=∠7， (2)解：AE∥PC .∠3+∠7=90 .∠PCA=∠CAF 又：BC是直径 AB⊥CG,.C-G AB是半圆O的切线： ∴∠ACF=∠ABC (2)解：AB=3,BC=4, ∠PCA=∠ABC,∴∠ACF=∠PCA=∠CAF, 由(1)知，∠ABC=90°. ∴.CF=AF ,CF=5,.AF=5 .AC=√AB+BC=√3+平=5. AE∥PC,∴∠FAD=∠P. 在△ABM中，AD⊥BM于点H,AD平分∠BAC, ..AM=AB=3. ”P=是∠FAD-=是 ∴.CM=2. :∠6=∠7，∠E为公共角， 在R△AFD中，AF=5,m∠FAD-号， △CMBO△BCE,和需-答-导-子 ∴.FD=3,AD=4,∴.CD=8. 在Rt△(OCD中，设C=r .EB=2EC,在R△BCE中，BE+CE=BC, .r2=(r-4)十8， 即BE+(受)-，解得BE=8 .r=10,.AB=2r=20 ,AB为⊙O的直径， 22 少考若案 ∴.∠AEB=90°，在Rt△ABE中， 2x+3). ∠EAD-是-号 则点N(x,-x+3). :DN∥CF, :AB=20.BE=12. 【综合训练】 1.解：(1)PC与⊙O相切.理由如下： 3 ,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°， x-3)=-2+ .∠OCB十∠(OCA=90 ”-号<0，则票有最大值，此时 3 OA=OC,.∠OCA=∠OAC.∠PCB=∠OAC. ?E下的最大 .∠PCB=∠OCA. 值为景： ,.∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO (3)如答图2，连接PC,P(1,4),则 =90°， .PC与⊙O相切： PC=2.PB=√20，BC=√18， 2∠A0B-90,mA-安- 则△PBC为直角三角形， :∠PCB=∠OAC,∠P=∠P,.△PBC∽△PCA. n∠Pc-器 紧腮-答-名PA=,Pg=2 过点Q作QH⊥y轴于点H, 设点Q(,一x+2x十3)， 答图2 .AB=6..OC=OB=3. Ix 则tan∠HCQ=tnna=3=3+x-2r-3' ∠0P-90°，∴.OP-0C+PC-5, :x/0D.∴△Pn△P0D.票-%即号-品 解得x=0或5或-1（合去0）， 故点Q(-1,0)或(5，-12). ∴.PD=10,.CD=6, 例3解：(1)：一元二次方程ax2+br十r=0的两根为1 和3， ∠0cD=90,∴5m=20C.CD=9. .0A=(0C'=3,0B=1,∴A(3,0),B1,0).C(0,3). 专题三二次函数与几何图形综合题 设二次函数的表达式y=a(x一1)(x-3), .a(0-1)(0-3)=3,.a=1, 倒1)证明y一子+受+4中， .y=(x-1)(x-3), 令r=0得y=4,令y=0得11=-2，=8， ∴抛物线的解析式为y=x2一4x十3： ∴A(-2,0),B8,0),C(0,4), (2)分两种情况： .OA=2,O0B=8,OC=4.AB=10: ①如答图1，当点P为直角顶点时，点P与点B重 ∴.AC=()A十O=20.BC=OB+O0=80, 合，则P(1,0): ∴.AC+BC=100. AB=102=100, .AC+BC=AB,∴∠ACB=90': (2)解：设直线BC的解析式为y=x十b: 将B(8,0),C(0,4)代人可得0=+6解 4=b, O B B(P 1 得一 答图1 答图2 ②如答图2，当点A为直角顶点时， b=4, ."0A=OC,∠AOC=90°.， 直线BC的解析式为y=一名十4. ∴.∠0AD,=45°，当∠DAP=90时，∠OAP=45°. ∴.AO平分∠DAP. 设第一象限D(m,-子m+号m+)则 又PD∥y轴，∴PD2⊥AO. 点P,D2关于x轴对称， E(m,-2m+4)小广 设直线AC的解析式为y=kx十，由题意，得 “DE-(m+号m+4)-(（2m+4) 合. b=3, 1m+2mBF-8-m. ∴.直线AC的解析式为y=一x十3. :点D在y=-x+3上，点P在y=x-4x+3上， aDE+BF=(r+2m）)十(8-m= .设D(x,-r+3),P(x,x-4x十3)， .(-x+3)+(-4x+3)=0, m+8=-7(m-2)+9, r2-5r+6=0.=2,x4=3(含)， ∴.当m=2时，DE+BF的最大值是9. .当x=2时，y=x2-4x+3=2-4×2+3=-1, 例2解：(1)抛物线的表达式为y=一(x十1)(x一3)= .P(2,一1)，综上，P(1,0),P(2.一1)： x2+2x+3: (3)如容图3，分两种情况考虑： y (2)如答图1，过点D作y轴的平行线交BC于点V, ①以AP为边构造平行四边形， 将点B,C的坐标代人一次函数表达式并解得BC函数 平移直线AP交r轴于点E,交 表达式为y=一x十3， 抛物线于点F, OF=0A=1,则点F(0,1),CF=2,设点D(x,一x十 :点P的坐标为(2，一1)， 23 答图3