特训11 期末选填压轴题（十二大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训11 期末选填压轴题（十二大题型） 目录： 题型1：（特殊）平行四边形——传统几何问题 题型2：（特殊）平行四边形——几何中的分类讨论 题型3：（特殊）平行四边形——动点、最值问题 题型4：（特殊）平行四边形—平移问题 题型5：（特殊）平行四边形—旋转问题 题型6：（特殊）平行四边形—翻折（折叠）问题 题型7：（特殊）平行四边形—单选综合辨析题 题型8：反比例函数—反比例函数的图像与性质 题型9：反比例函数—求参数（取值范围）问题 题型10：反比例函数—动态几何问题 题型11：反比例函数—反比例函数与几何综合辨析题 题型12：反比例函数—新定义题 题型1：（特殊）平行四边形——传统几何问题 1．如图，四边形是矩形，点E是边上一点，连接，且平分，若，则与的面积比为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为 ． 3．如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是 ．    题型2：（特殊）平行四边形——几何中的分类讨论 4．如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为 ． 题型3：（特殊）平行四边形——动点、最值问题 5．在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 6．如图，在矩形中，，，为上一点，，为的中点．动点从出发，分别向点运动，且．若和交于点，连接，则的最小值为 ． 7．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 8．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ． 9．如图，在菱形中，，．E是对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边作菱形，其中，点G位于直线的上方，且，点P是的中点，连接，则线段的最小值是 ．    题型4：（特殊）平行四边形—平移问题 10．如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（    ）      A． B． C． D． 题型5：（特殊）平行四边形—旋转问题 11．如图，在中，∠B=90°，，，将绕点A逆时针旋转至，G为的中点．则的长是（    ） A．1 B． C．3 D． 12．如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 ．    13．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　） A．1 B． C． D． 题型6：（特殊）平行四边形—翻折（折叠）问题 14．如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝ ．    15．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 题型7：（特殊）平行四边形—单选综合辨析题 16．在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 17．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 18．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 19．如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 题型8：反比例函数—反比例函数的图像与性质 20．某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 21．已知函数（k为常数且），函数的图象和函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（　　） ①函数的图象上的点的横坐标不可能等于2． ②若当时，x的取值范围为或． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 题型9：反比例函数—求参数（取值范围）问题 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形如此摆放，点A的坐标为，点B 的坐标为，点D在反比例函数上；将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点 C恰好落在该函数图象上，则m的值 ． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 24．如图，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数图像交于点．点为轴上一点（点在点右侧），连接，以，为边作，点刚好在反比例函数图像上，设，连接，，若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 题型10：反比例函数—动态几何问题 25．如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 题型11：反比例函数—反比例函数与几何综合辨析题 26．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 27．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12：反比例函数—新定义题 29．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　） A．﹣＜b≤﹣ B．＜b≤ C．﹣≤b＜﹣或＜b≤ D．﹣＜b≤﹣或≤b＜ 30．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 期末选填压轴题（十二大题型） 目录： 题型1：（特殊）平行四边形——传统几何问题 题型2：（特殊）平行四边形——几何中的分类讨论 题型3：（特殊）平行四边形——动点、最值问题 题型4：（特殊）平行四边形—平移问题 题型5：（特殊）平行四边形—旋转问题 题型6：（特殊）平行四边形—翻折（折叠）问题 题型7：（特殊）平行四边形—单选综合辨析题 题型8：反比例函数—反比例函数的图像与性质 题型9：反比例函数—求参数（取值范围）问题 题型10：反比例函数—动态几何问题 题型11：反比例函数—反比例函数与几何综合辨析题 题型12：反比例函数—新定义题 题型1：（特殊）平行四边形——传统几何问题 1．如图，四边形是矩形，点E是边上一点，连接，且平分，若，则与的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，可证明，得，，设，则，，由，得，由勾股定理得，则，求得，，则，于是得到问题的答案． 【解析】解：作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ，且， ， 整理得， ， ， ， 故选：B．    2．如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为 ． 【答案】 【分析】连接，延长，过作于，如图所示，根据矩形性质、菱形性质，得到相关角及线段的关系，再由两个三角形全等的判定定理得到，结合已知条件确定，当的面积为时，列式求出，从而得到答案． 【解析】解：连接，延长，过作于，如图所示： ， 在矩形中，， ， 在矩形中，，则， 在菱形中，，则， ， 在菱形中，， 在和中， ， ， ， ，， ， 当的面积为时，，即，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及矩形性质、菱形性质、两个三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识，根据题意，准确作出辅助线，数形结合，灵活运用三角形全等的判定与性质得到是解决问题的关键． 3．如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是 ．    【答案】/ 【分析】过点作交于，利用证明，可得，，证得是等腰直角三角形，由，可得，，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可求得答案． 【解析】解：过点作交于，    四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 题型2：（特殊）平行四边形——几何中的分类讨论 4．如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，一是点F在线段上，作交于点H，由正方形的性质得，，则，，所以，则，可求得，由，得，则，可求得，则，于是得，则，求得；二是点F在的延长线上，作交的延长线于点L，可证明，则，可求得，则，由，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【解析】解：如图1，点F在线段上，作交于点H，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，点F在的延长线上，作交的延长线于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、二次根式的运算等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型3：（特殊）平行四边形——动点、最值问题 5．在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，由勾股定理得，，证明四边形是矩形，证明，则，由四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，则，由，可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，然后作答即可． 【解析】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，为上一点，，为的中点．动点从出发，分别向点运动，且．若和交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 要求的最小值，因为是定点，所以需要先找到点的运动轨迹，当两点在点重合时，在点，当两点分别到时，在对角线交点处，所以的运动轨迹就是线段，当时最短，进而再用等面积计算即可得解． 【解析】解：当和在点重合时，在点处，当两点分别到时，在对角线交点处，所以的运动轨迹就是线段， ∴当时，最小， ∵是中点，是中点， ∴，且，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴根据等面积得． 即的最小值为， 故答案为：． 7．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【解析】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 8．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得；连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得． 【解析】解：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形为正方形． 如图，连接， 四边形为正方形，， ， ， 矩形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 9．如图，在菱形中，，．E是对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边作菱形，其中，点G位于直线的上方，且，点P是的中点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，过点P作，则当G点位于点时，有最小值即的长，根据条件证明，可得，进而用勾股定理求解即可． 【解析】解：连接，过点P作，则当G点位于点时，有最小值即的长，如图，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴C、D、G三点共线， ∵点P是的中点，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形判定与性质， 垂线段的性质，含角的直角三角形的性质， 勾股定理，确定最小值时的G 点位置是解题的关键． 题型4：（特殊）平行四边形—平移问题 10．如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 如图, 连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明求出即可解决问题. 【解析】如图, 连接交于，    由题意 ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，， ∵P是的中点， ， ， ， 平行四边形的面积 故选: B． 题型5：（特殊）平行四边形—旋转问题 11．如图，在中，∠B=90°，，，将绕点A逆时针旋转至，G为的中点．则的长是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】如图，过点C作于点F，延长交于点M，根据旋转的性质得到，证明四边形是矩形，得到，进而求出，根据G为的中点，证明，推出，求出，利用勾股定理求出，即可解答． 【解析】解：如图，过点C作于点F，延长交于点M， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 12．如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 ．    【答案】 【分析】设，可得，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接，则，继而可得，即可得到答案． 【解析】解：取的中点H，连接，如图：    ∵是由绕C点旋转得到， ∴， 设，则， 在四边形中， 在中，，， ∴， 中，， ∵是中位线， ∴， 而， ∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键． 13．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【解析】解：如图，取中点， 在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时， 则， ， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 题型6：（特殊）平行四边形—翻折（折叠）问题 14．如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝ ．    【答案】 【分析】如图，连接，过作于，证明四边形为矩形，求解，设，，，则，由等面积法可得：，可得，设，可得，同理可得：，可得，，由勾股定理可得：，再建立方程求解即可． 【解析】解：∵矩形， ∴，， 如图，连接，过作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，    ∵， ∴， 设，，，则， 由等面积法可得：， 整理得：，则， ∴，即， ∴， 设， ∴， 由对折可得：，，，而， 同理可得： ， 整理得：， ∵， ∴，即， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线，利用等面积法构建方程是解本题的关键． 15．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解． 【解析】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM， 由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG， 在Rt△BCG中，P是CG的中点， ∴BP＝PG＝GC， ∵Q是GH的中点， ∴QG＝GH， ∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD， ∵CD＝3， ∴△GPQ的周长＝PM+PB+， 当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小， 在Rt△BCM中，BM＝， ∴△GPQ的周长的最小值为. 故选B． 【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 题型7：（特殊）平行四边形—单选综合辨析题 16．在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【解析】解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 17．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】过E作，过E作于N，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出，故③正确；进而求得，故②正确；当时，点C与点F重合，则，，得到不一定等于，故④错误． 【解析】解：过E作，过E作于N，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， 故①正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故③正确； ∴， 故②正确； 当时，点C与点F重合，则，， ∴不一定等于， 故④错误． 综上，正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 18．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【解析】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； ②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大， ∴面积也先变小，后变大； 故②错误； ③∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴周长的最小值为； 故③正确； ④∵，G为中点， ∴， ∴点E在运动过程中，与始终相等， 故④正确； 综上，①③④正确． 故选：A． 【点睛】本题考主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，是解此题的关键． 19．如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明②正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误． 【解析】解：①连接，延长交于点，连接，   为正方形的对角线， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故①错误； ，， ，故②正确； ③如图，连接交于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的， ∴的长度是变化的，故④错误； 综上：②③正确； 故选B 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型8：反比例函数—反比例函数的图像与性质 20．某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点；①先求出函数的解析式，再与直线联立，看方程组是否有解即可得；②根据解析式可得，即可判断②；③根据点在函数的图象上可得，从而可得，由此即可得出答案． 【解析】由题意得：， 联立， 整理得：， 此方程根的判别式为，方程有实数根， 函数的图象与轴有交点，结论①正确； ∵，， ∴函数的图象与轴没有交点，结论②正确； 点在函数的图象上， ， ， 点也在函数的图象上，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③， 故选：D． 21．已知函数（k为常数且），函数的图象和函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（　　） ①函数的图象上的点的横坐标不可能等于2． ②若当时，x的取值范围为或． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的性质、轴对称的性质、函数图象的平移画出图形并得到；①根据解析式即可判断①；②根据反比例函数的增减性结合函数图象即可解答． 【解析】解：如图：由函数，根据函数的图象和函数的图象关于直线对称可知 ∵，即， ∴函数的图象上的点的横坐标不可能等于2说法正确，即①正确； 当时， 当时，则，可得： ∵，， ∴， 当时，则，可得： ∵，， ∴， 综上，当时，x的取值范围为且，即②错误．    故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、函数图象的平移等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 题型9：反比例函数—求参数（取值范围）问题 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形如此摆放，点A的坐标为，点B 的坐标为，点D在反比例函数上；将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点 C恰好落在该函数图象上，则m的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 作轴于E，轴于F，如图，先证明得到，，则，用同样方法可得，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，再计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后确定平移的距离． 【解析】作轴于E，轴于F，如图， ∵四边形为正方形， ， ， 而， ， 在和中 ， ， ， ， 同理可得， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ，即反比例函数解析式是， 点的纵坐标为3， 而时，则，解得， ∴点平移到点时恰好落在该函数图象上， 即点向右平移1个单位， ． 故答案为：1． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据条件求出与直线平行并且与双曲线只有一个交点的直线和，设、与双曲线的交点分别为，和是的两个临界值，即可得解． 【解析】解：将点代入中，得到， 反比例函数为， 将点代入中，得到， 点坐标为， 将点，代入中，得到， 解得， 一次函数为， 设与直线平行的直线为， 联立， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时，有， ， 如图，与双曲线只有一个交点并且与直线平行的直线为和，设、与双曲线的交点分别为，、与直线的距离分别为， 直线与轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，作直线于点，直线于点， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， 直线与的距离为， 直线与的距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，两点间的距离公式等，灵活运用相关知识并数形结合分析问题是解题的关键． 24．如图，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数图像交于点．点为轴上一点（点在点右侧），连接，以，为边作，点刚好在反比例函数图像上，设，连接，，若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由直线解析式求得、，作轴于，通过证得，得出，，进而得出，，由，求得，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征，即可求得的值． 【解析】解：直线与轴，轴分别交于点，， ，， 作轴于，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 点刚好在反比例函数图像上， ， ， 设的纵坐标为， ， ， ， ， ， 的纵坐标为， 代入得，，解得， ，， 反比例函数图像经过点， ，解得，（舍去）， ， 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，三角形的面积等，表示出的坐标是解题的关键． 题型10：反比例函数—动态几何问题 25．如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作于点，设则得，代入，求出过点作直线轴，垂足为点，作于点，证明作轴于点得设，求出，设，求得，得，故可求出k的值． 【解析】解：作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设则， ∴， ∵点A在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作直线轴，垂足为点，作于点， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 作轴于点， ∵点在上， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由①②得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型11：反比例函数—反比例函数与几何综合辨析题 26．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【解析】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 27．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 28．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①若，则计算，故命题①正确；②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④正确． 【解析】解： 命题①正确．理由如下： ， ，，， ，． ，故①正确； 命题②正确．理由如下： ， ，，， ，． 如答图，过点作轴于点，则，； 在线段上取一点，使得，连接． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：． ， 又， 直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确； 命题③正确．理由如下： 由题意，点与点不重合，所以， ，故③正确； 命题④正确．理由如下： 设，则，． 设直线的解析式为，则有，解得， ． 令，得， ； 令，得， ． 如答图，过点作轴于点，则，． 在中，，，由勾股定理得：； 在中，，，由勾股定理得：． ，解得， ，故命题④正确． 综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算． 题型12：反比例函数—新定义题 29．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　） A．﹣＜b≤﹣ B．＜b≤ C．﹣≤b＜﹣或＜b≤ D．﹣＜b≤﹣或≤b＜ 【答案】B 【分析】可知直线与平行；分两种情况：直线在的下方和上方，画图根据区域内恰有4个整点，确定的取值范围． 【解析】如图1，直线在的下方时， 当直线过时，，且经过点，区域内有三点整点， 当直线过时，，且经过，区域内有5点整点， 区域内没有4个整点的情况， 如图2，直线在的上方时， 点在函数的图象， 当直线过时，， 当直线过时，， 区域内恰有4个整点，的取值范围是． 综上所述，区域内恰有4个整点，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想． 30．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确画出函数图象是解题关键．由图可知点P不可能在点A下方，故点P在点A上方，结合函数图象列出不等式组求解即可． 【解析】解：依题意，如图所示： 则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图： 如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即， 结合图象可知，当时，区域内有8个整数点． 结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于， 则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去； 结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2， 则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去； 故答案为：． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$