16题组十六 二次函数综合题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学加练本（五四制）

1 2 题组十六　二次函数综合题 3 1.(2023·东营)如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)， 矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)， 点C，D在抛物线上，设B(t，0)，当t=2时，BC=4. (1)求抛物线的函数表达式. (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离. 1 3 题序 2 4 4 解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10)(a≠0). ∵当t=2时，BC=4， ∴点C的坐标为(2，-4). 将点C的坐标代入表达式得2a(2-10)=-4， 解得a=， ∴抛物线的函数表达式为y=x2-x. 1 3 题序 2 4 5 (2)由抛物线的对称性得AE=OB=t， ∴AB=10-2t. 当x=t时，BC=- t2+t. ∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2[(10-2t)+(-t2+t)] =-t2+t+20 =-(t-1)2+. ∵- <0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为. 1 3 题序 2 4 6 (3)如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，GH. ∵直线GH平分矩形ABCD的面积， ∴直线GH过点P. 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形， ∴PQ=CH. ∵四边形ABCD是矩形， ∴点P是AC的中点，PQ=OA. 当t=2时，点A的坐标为(8，0)， ∴CH=PQ=OA=4，∴抛物线平移的距离是4. 1 3 题序 2 4 7 2.(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3，0)，与y轴交于点B， 且关于直线x=1对称. (1)求该抛物线的表达式. (2)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t-1，求t的值. (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 1 3 题序 2 4 8 解：(1)∵A(3，0)，抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线和x轴的另外一个交点为(-1，0)， ∴抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)=ax2+bx+3， 解得a=-1， ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 1 3 题序 2 4 9 (2)∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1， ∴抛物线上点到对称轴的距离越远，该点对应的函数值越小. ∵-1≤x≤t时，0≤y≤2t-1， ①当-1≤t≤1时，则当x=t时，函数有最大值，即2t-1=-t2+2t+3， 解得t=-2或t=2，均不符合题意，舍去； ②当t>1时，则当x=1时，函数有最大值，即2t-1=-12+2+3=4，解得t=，符合题意，∴t=. 综上所述，t=. 1 3 题序 2 4 10 (3)存在. 由抛物线的表达式可得B(0，3). ①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE'. 由点A，B的坐标得直线AB的表达式为y=-x+3. 设C(m，-m2+2m+3)， 则D(m，-m+3)， ∴CD=-m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m，BD=m， 1 3 题序 2 4 11 BC=， ∴-m2+3m=m，解得m=3-或0(舍去)， ∴BD=m=3-2，∴菱形的边长为3-2； 1 3 题序 2 4 12 ②当BD为菱形对角线时，对应菱形为BCDE. 同理可得BC=CD，则=-m2+3m， 解得m=2(不合题意的值已舍去)， ∴CD=-m2+3m=-22+6=2， ∴菱形的边长为2. 综上所述，菱形的边长为3-2或2. 1 3 题序 2 4 13 3.(2024·包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+bx+c与x轴相交于A(1，0)，B两点(点A在点B左侧)，顶点为M(2，d)，连接AM. (1)求该抛物线的函数表达式. (2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC， CM.当点C的坐标为(0，)时，求证：∠ACM=∠BAM. 1 3 题序 2 4 14 (3)如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M'处，过点B的直线与线段AM'相交于点D，与y轴负半轴相交于点E.当=时，3S△ABD与2S△M'BD是否相等？请说明理由. 1 3 题序 2 4 15 (1)解：∵顶点为M(2，d)， ∴-=2， ∴b=8，∴y=-2x2+8x+c. 将点A(1，0)代入y=-2x2+8x+c，∴-2+8+c=0，解得c=-6， ∴抛物线的函数表达式为y=-2x2+8x-6. 1 3 题序 2 4 16 (2)证明：∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2，∴M(2，2). 如图，过点M作MN⊥x轴于点N. ∵A(1，0)，C(0，)， ∴AC=，AM=，CM=. ∵CM2=AC2+AM2， ∴△ACM是直角三角形， 1 3 题序 2 4 17 ∠CAM=90°， ∴tan∠ACM=2. 在Rt△AMN中，tan∠MAB==2， ∴∠ACM=∠BAM. (3)解：3S△ABD=2S△M'BD. 理由如下： ∵M(2，2)， ∴M'(2，-2). 1 3 题序 2 4 18 如图，过点D作DH⊥x轴于点H. ∵OE∥DH， ∴==. 当y=0时，-2x2+8x-6=0， 解得x=1或x=3， ∴B(3，0)， ∴=，解得xD=. 1 3 题序 2 4 19 设直线AM'的表达式为y=kx+m， ∴解得 ∴直线AM'的表达式为y=-2x+2，∴D(，-)， ∴AD=，DM'=. 设点B到AM'的距离为h， ∴3S△ABD=3××h=h，2S△M'BD=2××h=h， ∴3S△ABD=2S△M'BD. 1 3 题序 2 4 20 4.(2024·淄博)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(点A在点B的左侧)，其中x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. (1)求该抛物线对应的函数表达式. (2)已知直线l：y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E. ①设直线BC与l相交于点F，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 1 3 题序 2 4 21 ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，设直线MB，NC相交于点Q，连接QD，QE，求线段QD+QE的最小值. 1 3 题序 2 4 22 解：(1)∵x1，x2是x2-2x-3=0的两个根，x1<x2， ∴x1=-1，x2=3， ∴A(-1，0)，B(3，0). 将点A(-1，0)，B(3，0)分别代入y=ax2+bx+3得 解得 ∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3. 1 3 题序 2 4 23 (2)①如图，过点F作FH⊥DB于点H，过点P作PK⊥DB于点K. ∵y=3x+9， ∴E(0，9)，D(-3，0)， ∴tan∠DFH=tan∠DEO==. ∵y=-x2+2x+3， ∴C(0，3)， ∴OC=OB=3， ∴△OCB是等腰直角三角形， 1 3 题序 2 4 24 ∴∠OCB=∠OBC=∠BFH=45°. ∵∠DFB=∠PBF， ∴∠DFB-∠BFH=∠PBF-∠OBC， 即∠DFH=∠PBK， ∴tan∠PBK=tan∠DFH=. 1 3 题序 2 4 25 设点P的坐标为(m，-m2+2m+3)，则点K的坐标为(m，0)， ∴BK=3-m，PK=m2-2m-3， ∴=，化简得3m2-5m-12=0， 解得m1=3(舍去)，m2=-， ∴点P的坐标为(-，-). 1 3 题序 2 4 26 ②设M(x1，y1)，N(x2，y2)，yMB=k1x+b1，yNC=k2x+b2. ∵B(3，0)，C(0，3)， ∴直线BC的表达式为y=-x+3， ∴yMB=k1x-3k1，yNC=k2x+3. ∵MN∥BC， ∴设直线MN的表达式为y=-x+p， ∴k1==，k2==. 1 3 题序 2 4 27 联立得k1x-3k1=k2x+3， 解得x=，即点Q的横坐标为. 联立得x2-3x+p-3=0， ∴x1+x2=3，∴x2=3-x1， ∴k2===， ∴k1+k2=+==-2，∴k2=-2-k1， 1 3 题序 2 4 28 ∴点Q的横坐标为==，∴点Q恒在x=的直线上. 如图，作点E关于直线x=的对称点E'，连接DE'，交直线x=于点Q， ∴E'(3，9). ∵QD+QE=QD+QE'=DE'， ∴QD+QE的最小值即为DE'的长. ∵D(-3，0)，E'(3，9)， ∴DE'==3， ∴QD+QE的最小值为3. 1 3 题序 2 4 29 $$