15题组十五 几何综合题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学加练本（五四制）

1 2 题组十五　几何综合题 3 1.综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作判断】 操作一： 如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为点M，连接AM；将∠D沿过 点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF. (1)根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF=　　　　°；  ②线段EF，BE，DF之间的数量关系为　　　　　　.  1 3 题序 2 4 【深入探究】 操作二： 如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为点N，将纸片展平，连接NE，NF. 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B，C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示. (2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF，请证明该结论是否成立，并说明理由. 1 3 题序 2 5 【拓展应用】 (3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长. 1 3 题序 2 6 解：(1)①45 ②EF=BE+DF (2)结论AP=BE+DF成立. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°. 由折叠的性质可知BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B= ∠C=∠ENF=90°， ∴∠ANF=∠AMF=90°. 又∵∠APN=∠FPM，∴∠NAP=∠NFE. 1 3 题序 2 7 由(1)得∠EAF=45°， ∴△ANF是等腰直角三角形，∴AN=FN. 又∵∠ANP=∠ENF=90°，∴△ANP≌△FNE(ASA)， ∴AP=EF. ∵EF=EM+FM=BE+DF，∴AP=BE+DF. 1 3 题序 2 8 (3)由(2)知△ANF是等腰直角三角形， ∴∠AFN=45°， ∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE. ∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°， ∴2×(45°+∠NFE)+∠NFE=180°，∴∠NFE=30°. ∵∠APN=∠FPM，∠ANF=∠AMF=90°， ∴∠NAP=∠NFE=30°，∴∠BAE=30°， ∴BE=AB=. 1 3 题序 2 9 2.(2024·东营模拟)【问题情境】如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度(0≤α≤180°)，点B，E的对应点分别为点B'， E'. 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点B'落在了AC上，求此时CB'的长. (2)若α=90°，如图3，得到△ADE'(此时点B'与点D重合)，延长BE交DE'于点F， ①试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长. 1 3 题序 2 10 (3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围. 1 3 题序 2 11 解：(1)∵AE=2，BE=4，∠AEB=90°， ∴AB===2. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB=2，∠ABC=90°， ∴AC=AB=2. 由旋转的性质得AB'=AB=2， ∴CB'=AC-AB'=2-2. 1 3 题序 2 12 (2)①四边形AEFE'是正方形. 理由如下： 由旋转的性质得AE'=AE，∠EAE'=α=90°，∠AE'D=∠AEB=90°， ∴∠AEF=180°-90°=90°，∴四边形AEFE'是矩形. 又∵AE'=AE，∴四边形AEFE'是正方形. ②如图，过点C作CG⊥BE于点G， 则∠BGC=90°=∠AEB， ∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠ABE=90°， ∴∠BCG=∠ABE. 1 3 题序 2 13 在△BCG和△ABE中， ∴△BCG≌△ABE(AAS)， ∴CG=BE=4，BG=AE=2， ∴EG=BE-BG=4-2=2， ∴CE===2. (3)线段CE'长度的取值范围是2≤CE'≤2+2. 1 3 题序 2 14 3.【探究证明】 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： 如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：=. 1 3 题序 2 15 【结论应用】 (2)如图2，在满足(1)的条件下，AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上.若=，则 的值为　　　　.  1 3 题序 2 16 【联系拓展】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值. 1 3 题序 2 17 (1)证明：如图，过点A作AP∥EF，交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q，交AP于点T. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形AEFP和四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP=EF，GH=BQ. ∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ， ∴∠QAT+∠AQT=90°. 1 3 题序 2 18 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠D=90°， ∴∠DAP+∠DPA=90°， ∴∠AQT=∠DPA， ∴△PDA∽△QAB， ∴=，∴=. (2)解： 1 3 题序 2 19 (3)解：如图，过点D作AB的平行线，交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥AB交ED的延长线于点F. ∵∠BAF=∠B=∠E=90°， ∴四边形ABEF是矩形. 连接AC，易得△ADC≌△ABC， ∴∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠1+∠2=90°. 又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3， 1 3 题序 2 20 ∴△DCE∽△ADF，∴===. 设DE=x，则AF=2x，DF=10-x. 在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2，即(2x)2+(10-x)2=102， 解得x1=4，x2=0(舍去)，∴AF=2x=8， ∴===. 1 3 题序 2 21 $$