13题组十三 有关圆的证明与计算-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学加练本（五四制）

1 2 题组十三　有关圆的证明与计算 3 1.如图，在☉O中，线段AC是直径，线段BC是弦，P是☉O外一点，连接PB，AB，已知∠PBA=∠C. (1)求证：PB是☉O的切线； (2)连接OP，若OP∥BC，OP=8，☉O的半径为3，求BC的长. 1 3 5 7 题序 2 4 6 4 (1)证明：如图，连接OB. ∵线段AC是☉O的直径， ∴∠ABC=90°. ∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC. ∵∠PBA=∠OCB， ∴∠PBA=∠OBC. ∵∠ABO+∠OBC=90°， ∴∠ABO+∠PBA=90°，∴OB⊥PB. ∵OB为☉O的半径，∴PB为☉O的切线. 1 3 5 7 题序 2 4 6 5 (2)解：∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC. ∵∠OBC=∠OCB，∴∠BOP=∠OCB. 又∵∠OBP=∠ABC， ∴△ABC∽△PBO， ∴=，即 =， ∴BC=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 6 2.如图，☉O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E. (1)点M是边CD的中点，OM=3，CD=12，求☉O的半径长； (2)点F在CD上，且CE=EF，求证：AF⊥BD. 1 3 5 7 题序 2 4 6 7 (1)解：如图1，连接OD. ∵点M是边CD的中点，CD=12， ∴DM=CD=6，OM⊥CD，∠OMD=90°. 在Rt△OMD中，OD=，且OM=3， ∴OD==3，即☉O的半径长为3. 图1 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 (2)证明：如图2，连接AC，延长AF交BD于点G. ∵AB⊥CD，CE=EF， ∴AB是CF的垂直平分线， ∴AF=AC，即△ACF是等腰三角形. ∵CE=EF，∴∠FAE=∠CAE. ∵=，∴∠CAE=∠CDB， ∴∠FAE=∠CDB. 在Rt△BDE中，∠CDB+∠B=90°， ∴∠FAE+∠B=90°，∴∠AGB=90°， ∴AG⊥BD，即AF⊥BD. 图2 1 3 5 7 题序 2 4 6 9 3.如图，已知等腰三角形ABC的底角度数为30°，以BC为直径的☉O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E. (1)求证：DE为☉O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 1 3 5 7 题序 2 4 6 10 (1)证明：如图，连接OD. ∵DE⊥AC，∴∠DEA=90°. ∵等腰三角形ABC的底角度数是30°， ∴∠A=∠B=30°， ∴∠ADE=90°-30°=60°. ∵OB=OD，∴∠B=∠BDO=30°， ∴∠ODE=180°-∠ODB-∠ADE=180°-30°-60°=90°， ∴OD⊥DE. ∵OD为☉O的半径， ∴DE为☉O的切线. 1 3 5 7 题序 2 4 6 11 (2)解：如图，连接DC. ∵∠B=∠BDO=30°， ∴∠DOC=60°. 又∵OD=OC，∴△DOC为等边三角形， ∴OD=OC=DC=BC=2. ∵∠ODE=90°，∴∠EDC=30°， ∴EC=DC=1，DE=CD·cos∠CDE=2×=. ∵∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC， ∴S△OCE=S△DCE=CE·DE=×1×=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 12 4.如图，在☉O中，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，点P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D. (1)求证：DP是☉O的切线； (2)若AC=5，sin∠APC=，求AP的长. 1 3 5 7 题序 2 4 6 13 (1)证明：∵点P是的中点，∴=， ∴∠DAP=∠PAB. ∵OA=OP，∴∠APO=∠PAO， ∴∠DAP=∠APO，∴AD∥OP. ∵PD⊥AD，∴PD⊥OP. ∵OP为☉O的半径， ∴DP是☉O的切线. 1 3 5 7 题序 2 4 6 14 (2)解：如图，连接BC交OP于点E. ∵线段AB为☉O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵点P是的中点， ∴OP⊥BC，CE=BE， ∴四边形CDPE是矩形， ∴CD=PE，PD=CE. 1 3 5 7 题序 2 4 6 15 ∵∠APC=∠B， ∴sin∠APC=sin∠ABC==. ∵AC=5，∴AB=13， ∴BC==12， ∴PD=CE=BE=6. ∵OE=AC=，OP=， ∴CD=PE=-=4，∴AD=9. 在Rt△APD中，AP===3. 1 3 5 7 题序 2 4 6 16 5.(2023·威海)已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，☉A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD. (1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由； (2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F，过点D作DG⊥ON，交OP于点G，求证：AG=AF. 　　　　 　图1　　　　　　　　　图2 1 3 5 7 题序 2 4 6 17 (1)解：四边形OBAD是菱形. 理由如下： 如图，过点A作 AS⊥ON于点S，AT⊥OM于点T. ∵OP平分∠MON，AS⊥ON，AT⊥OM， ∴AS=AT. ∵AD=AB，∴Rt△ASD≌Rt△ATB(HL)， ∴SD=TB. ∵OA=OA，AS=AT， ∴Rt△ASO≌Rt△ATO(HL)， 1 3 5 7 题序 2 4 6 18 ∴OS=OT， ∴OS-SD=OT-TB，即OD=OB. ∵OP平分∠MON， ∴∠AOD=∠AOB. ∵AD∥OM， ∴∠AOB=∠OAD， ∴∠AOD=∠OAD， ∴OD=AD， ∴OD=AD=AB=OB， ∴四边形OBAD是菱形. 1 3 5 7 题序 2 4 6 19 (2)证明：如图，连接EF，过点A作AH⊥ON于点H，作 AI⊥OM 于点I. ∵OP平分∠MON，AH⊥ON，AI⊥OM，∴AH=AI. ∵AD=AB， ∴Rt△AHD≌Rt△AIB(HL)，∴DH=BI. ∵AH⊥ON，AI⊥OM， ∴EH=DH，BI=IC， ∴EH=CI， 1 3 5 7 题序 2 4 6 20 ∴OH+EH=OI+CI，即OC=OE. ∵∠EOF=∠COF，OF=OF， ∴Rt△OEF≌Rt△OCF(SAS)， ∴∠OEF=∠OCF=90°，∴EF⊥ON. ∵DG⊥ON，AH⊥ON， ∴DG∥AH∥EF. ∵DH=EH，∴AG=AF. 1 3 5 7 题序 2 4 6 21 6.如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的平分线交☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. (1)求证：PD是☉O的切线； (2)求证：△ABD∽△DCP； (3)若AB=6，AC=8，求点O到AD的距离. 1 3 5 7 题序 2 4 6 22 (1)证明：如图，连接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD， ∴=， ∴∠BOD=∠COD=90°. ∵BC∥PD，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴OD⊥PD. ∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线. 1 3 5 7 题序 2 4 6 23 (2)证明：∵BC∥PD， ∴∠PDC=∠BCD. ∵∠BCD=∠BAD， ∴∠BAD=∠PDC. ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠PCD=180°， ∴∠ABD=∠PCD， ∴△ABD∽△DCP. 1 3 5 7 题序 2 4 6 24 (3)解：如图，过点O作OE⊥AD于点E. ∵BC是☉O的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°. ∵AB=6，AC=8，∴BC==10. ∵BD=CD，∴BD=CD=5. 由(2)知△ABD∽△DCP，∴=，即=， ∴CP=，∴AP=AC+CP=8+=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 25 ∵∠ADB=∠ACB=∠P，∠BAD=∠DAP， ∴△BAD∽△DAP，∴=，即=， ∴AD2=6×=98，∴AD=7. ∵OE⊥AD，∴DE=AD=， ∴OE===， 即点O到AD的距离是. 1 3 5 7 题序 2 4 6 26 7.如图，AB为☉O的直径，CD是☉O的切线，点C为切点，连接BC.ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF. (1)求证：∠DCP=∠DPC； (2)当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB； (3)在(2)的条件下，OB=2，求阴影部分的面积. 1 3 5 7 题序 2 4 6 27 7. (1)证明：如图，连接OC. ∵CD是☉O的切线，点C为切点， ∴∠DCO=90°，即∠OCB+∠DCP=90°. ∵DE⊥OB，∴∠DEB=90°，∴∠OBC+∠BPE=90°. ∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∴∠DCP=∠BPE. ∵∠BPE=∠DPC，∴∠DCP=∠DPC. 1 3 5 7 题序 2 4 6 28 (2)证明：如图，连接OF. ∵ED垂直平分OB，∴OF=BF. ∵OF=OB，∴BF=OF=OB，∴△BOF是等边三角形， ∴∠FOB=∠ABF=60°，∴∠FCB=∠FOB=30°. ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠ABF=30°， ∴∠FCB=∠ABC，∴CF∥AB. 1 3 5 7 题序 2 4 6 29 (3)解：由(2)知∠ABC=∠CBF=30°， ∴∠COF=2∠CBF=60°. ∵OB=2，即☉O半径为2，∴S扇形COF==. ∵OC=OF，∠COF=60°，∴△COF是等边三角形， ∴CF=OF=OB=2. ∵ED垂直平分OB， ∴OE=BE=OB=1，∠FEB=90°. 1 3 5 7 题序 2 4 6 30 在Rt△FEB中，EF===， ∴S△COF=CF·EF=×2×=， ∴S阴影=S扇形COF-S△COF=-. 1 3 5 7 题序 2 4 6 31 $$