12题组十二 有关函数性质的探究题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学加练本（五四制）

1 2 题组十二　有关函数性质的探究题 3 1.已知抛物线y=ax2-(b+2)x-a+b+6(a<0，a，b均为常数)过点(3，4). (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标； (3)当自变量x满足0≤x≤3时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：3m+n=16. 1 3 题序 2 4 (1)解：∵抛物线y=ax2-(b+2)x-a+b+6(a<0，a，b均为常数)过点(3，4)， ∴9a-3b-6-a+b+6=4，∴b=4a-2， ∴-==2，∴抛物线的对称轴为直线x=2. (2)解：∵b=4a-2， ∴y=ax2-4ax+3a+4=a(x-2)2-a+4， ∴抛物线与y轴的交点为(0，3a+4). ∵函数y的最大值为5，∴-a+4=5， ∴a=-1，∴3a+4=1， ∴该抛物线与y轴的交点坐标是(0，1). 1 3 题序 2 5 (3)证明：∵y=a(x-2)2-a+4(a<0)， ∴抛物线开口向下， ∴当自变量x满足0≤x≤3时，函数y的最大值是当x=2时的函数值，故m=-a+4， 函数y的最小值是当x=0时的函数值，故n=3a+4， ∴3m+n=-3a+12+3a+4=16. 1 3 题序 2 6 2.如图，已知点C为二次函数y=x2-4x+1的顶点，P(0，n)为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B(点A在点B的左侧).点M在射线PB上，且满足PM=1+n.过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN. (1)求顶点C的坐标； (2)①若n=3，求MB的值； ②当0<n≤4时，求yN的取值范围. 1 3 题序 2 7 解：(1)∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3， ∴顶点C的坐标为(2，-3). (2)①当n=3时，则PM=1+3=4. 令y=3，则x2-4x+1=3， 解得x1=2+，x2=2-， ∴B(2+，3)，∴MB=BP-PM=2+-4=-2. 1 3 题序 2 8 ②∵xN=xM=1+n， ∴yN=(n-1)2-3(0<n≤4)， ∴当n=1时，yN的最小值为-3， 当n=4时，yN的最大值为6， ∴-3≤yN≤6. 1 3 题序 2 9 3.(2024·浙江)已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(-2，5)，对称轴为直线x=-. (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，求m的值； (3)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围. 1 3 题序 2 10 解：(1)∵二次函数的表达式为y=x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x=-=-， ∴b=1，∴抛物线的表达式为y=x2+x+c. 又∵图象经过点A(-2，5)， ∴4-2+c=5，∴c=3， ∴二次函数的表达式为y=x2+x+3. 1 3 题序 2 11 (2)∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m>0)， ∴平移后的点的坐标为(1-m，9). 又∵点(1-m，9)在y=x2+x+3的图象上， ∴9=(1-m)2+(1-m)+3， 解得m=4或m=-1(舍去)，∴m=4. 1 3 题序 2 12 (3)∵y=x2+x+3=(x+)2+， ∴当x=-时，y取最小值，最小值为. ①当n<-时，y随x的增大而减小， ∴当x=-2时，y取最大值，最大值为4-2+3=5，当x=n时，y取最小值为n2+n+3， ∴最大值与最小值的差为5-(n2+n+3)=， ∴n=-，不合题意； 1 3 题序 2 13 ②当-≤n≤1时， ∴当x=-时，y取最小值，最小值为， 当x=-2时，y取最大值，最大值为4-2+3=5， ∴最大值与最小值的差为5-=，符合题意； ③当n>1时，y取最大值为n2+n+3， ∴最大值与最小值的差为n2+n+3-=， ∴n=-2或n=1，不符合题意. 综上所述，n的取值范围为-≤n≤1. 1 3 题序 2 14 $$