11题组十一 解直角三角形的实际应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学加练本（五四制）

1 2 题组十一　解直角三角形的实际应用 3 1.(2023·泰安)在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发 射塔的高度进行了测量.如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为 50°，后退60 m(CD=60 m)到D处有一平台，在高2 m (DE=2 m)的平台上 的E处，测得B的仰角为26.6°，则该电视发射塔的高度AB为　　　m. (精确到1 m.参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5)  55 1 3 5 题序 2 4 4 2.小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上(点A，B，C，D在同一平面内). (1)求点D与点A之间的距离； (2)求隧道AB的长度.(结果保留根号) 1 3 5 题序 2 4 5 解：(1)由题意可知∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°-45°-45°=90°， ∴在Rt△ADC中，AD=DC·tan∠ACD=100×tan 60°=100×=300(米). 答：点D与点A之间的距离为300米. (2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB是东西走向，∴∠ADE=45°，∠BDE=60°. 1 3 5 题序 2 4 6 在Rt△ADE中，DE=AE=AD·sin∠ADE=300×sin 45°= 300×=150(米). 在Rt△BDE中，BE=DE·tan∠BDE=150×tan 60°=150(米)， ∴AB=AE+BE=(150+150)米. 答：隧道AB的长为(150+150)米. 1 3 5 题序 2 4 7 3.(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图     1 3 5 题序 2 4 8 活动项目 测量校园中树AB的高度 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD 1 3 5 题序 2 4 9 活动项目 测量校园中树AB的高度 测量 数据 ①DB=10 m； ②∠ACF=32.5°； ③CD=1.6 m ①EB=10 m； ②ED=2 m； ③CD=1.6 m 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据： tan 32.5°≈0.64 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED=∠AEB 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度. 1 3 5 题序 2 4 10 解：“测角仪”方案：如图，过点C作CF⊥AB于点F. 由题意得CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠D=∠B=∠CFB=90°，∴四边形CDBF为矩形， ∴BF=CD=1. 6 m，CF=BD=10 m. 在Rt△ACF中，tan∠ACF=， ∴AF=CF·tan∠ACF≈10×0. 64=6. 4(m)， ∴AB=AF+BF=6. 4+1. 6=8(m). 1 3 5 题序 2 4 11 (或“平面镜”方案：由题意得ED=2 m，EB=10 m， CD=1. 6m，∠D=∠B=90°，∠CED=∠AEB， ∴△CDE∽△ABE，∴=， 即 =，解得AB=8 m. ) 答：树AB的高度为8 m. 1 3 5 题序 2 4 12 4.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB=24 cm，BE=AB，试管倾斜角α为10°. (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN时，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE=27.36 cm，MN=8 cm，∠ABM=145°，求线段DN的长度.(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) 1 3 5 题序 2 4 13 1 3 5 题序 2 4 14 解：(1)如图，过点E作EG⊥AC于点G. ∵AB=24 cm，BE=AB， ∴BE=8 cm，AE=16 cm. 在Rt△AEG中，AE=16 cm，∠AEG=10°， ∴EG=cos 10°·AE≈0. 98×16≈15. 7(cm)=CD. 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15. 7 cm. 1 3 5 题序 2 4 15 (2)如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P. 在Rt△BEH中，BE=8 cm，∠EBH=10°， ∴HE=sin 10°·EB≈1. 36(cm)，BH=cos 10°·EB≈7. 84(cm)， ∴HD=DE-HE=27. 36-1. 36=26(cm)=BP. ∵∠ABF=145°， ∴∠PBF=145°-90°-10°=45°， 1 3 5 题序 2 4 16 ∴BP=PF=HD=26 cm. ∵MN⊥CF，∠NMF=45°，MN=8 cm， ∴MN=NF=8 cm， ∴DN=DP+PF-NF=7. 84+26-8≈25. 8(cm). 答：线段DN的长度约为25. 8 cm. 1 3 5 题序 2 4 17 5.(2024·威海环翠一模)某校九年级学生开展数学综合与实践活动：测量某建筑物的高度AB.在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=20 m，坡比i=0.75，小丽在C处测得建筑物顶端A的仰角为54°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为22°(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C，G在同一水平线上). 求：(1)∠α=　　　　　，点D到BG的距离为　　　　；  (2)求该建筑物的高度AB. 1 3 5 题序 2 4 18 计算器按键顺序 计算结果(近似值)   0.4   0.9   0.4   0.8   0.6   1.4   49   41   37 参考数据如下表： 1 3 5 题序 2 4 19 解：(1)37°　12 m (2)该建筑物的高度AB约为25. 76 m. 1 3 5 题序 2 4 20 $$