10题组十 有关方程与函数的实际应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学加练本（五四制）

1 2 题组十　有关方程与函数的实际应用 3 1.某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元. (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元. (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元. 若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案. 1 3 5 题序 2 4 4 解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元. 依题意得 解得 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元. 1 3 5 题序 2 4 5 (2)设购买m根跳绳，则购买(54-m)个毽子. 依题意得 解得20<m≤22. 又∵m为正整数，∴m可以为21，22， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买21根跳绳，33个毽子； 方案2：购买22根跳绳，32个毽子. 1 3 5 题序 2 4 6 2.某广场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系，且销售价与销售量的关系如下表： 求商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 销售价(x元) 10 15 18 20 销售量(y件) 30 25 22 20 1 3 5 题序 2 4 7 解：由题意得10≤x≤20. 设销售量y与销售价x之间的函数关系式为y=kx+b. 结合表格数据，可得函数图象过(10，30)，(20，20)， ∴分别代入y=kx+b得解得 ∴销售量y与销售价x之间的函数关系式为y=-x+40， ∴商场每天的销售利润w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. ∵-1<0，且10≤x≤20， ∴当x=20时，w取最大值，最大值为200. 答：每件商品的销售价定为20元时，利润最大，最大销售利润为200元. 1 3 5 题序 2 4 8 3.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3 120元购进甲种灯笼与用4 200元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多9元. (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价. (2)经市场调查发现，乙种灯笼每对售价为50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对.物价部门规定其售价每对不高于65元.设乙种灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙种灯笼获得利润y元. 1 3 5 题序 2 4 9 ①求出y与x之间的函数表达式； ②乙种灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 1 3 5 题序 2 4 10 解：(1)设甲种灯笼的进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x+9)元/对. 由题意得=，解得x=26， 经检验，x=26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9=26+9=35. 答：甲种灯笼的进价为26元/对，乙种灯笼的进价为 35元/对. 1 3 5 题序 2 4 11 (2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1 470， 即y与x之间的函数表达式为y=-2x2+68x+1 470. ②∵-2<0， ∴函数y有最大值，该二次函数图象的对称轴为直线x=-=17. ∵物价部门规定其售价每对不高于65元， ∴x+50≤65，∴x≤15. 1 3 5 题序 2 4 12 ∵当x<17时，y随x的增大而增大， ∴当x=15时，y最大=2 040， 15+50=65(元). 答：乙种灯笼的售价为每对65元时，一天获得的利润最大，最大利润是2 040元. 1 3 5 题序 2 4 13 4.某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与售价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图. (1)若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少. (2)当售价为多少元/件时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 1 3 5 题序 2 4 14 (3)物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y(件)与售价x(元/件)保持一次函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是 1 200元，求m的值. 1 3 5 题序 2 4 15 解：(1)设这两次平均增长率为x. 由题意得30(1+x)2=67. 5， 解得x=0. 5=50%或-2. 5(舍去)， ∴这两次平均增长率为50%. (2)设y与x满足的一次函数表达式为y=kx+b. 根据图象可知，点(30，100)，(50，60)在y=kx+b上， 分别代入y=kx+b得 1 3 5 题序 2 4 16 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-2x+160. 设每天获利w元. 根据题意得w=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+1 250. ∵-2<0，∴当x=55时，w取最大值为1 250. 答：当售价为55元/件时，每天获利最大，最大利润为1 250元. (3)由(2)知当w最大=1 200时，-2(x-55)2+1 250=1 200，解得x1=50，x2=60(舍去)， ∴m的值为50. 1 3 5 题序 2 4 17 5.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y(瓶)与销售单价x(元)满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：(已知每瓶进价为2元，每瓶利润=销售单价-进价) 单价x(元) 5 6 7 … 销售量y(瓶) 160 140 120 … 1 3 5 题序 2 4 18 (1)求y关于x的函数表达式. (2)该新型饮料每月的总利润为W(元)，求W关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ (3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价.此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问中的函数关系，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值. 1 3 5 题序 2 4 19 解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 由题意得解得 ∴y关于x的函数表达式为y=-20x+260. (2)由题意得W=(x-2)(-20x+260)=-20x2+300x-520=-20(x-7. 5)2+605. ∵-20<0，∴当x=7. 5时，W有最大值605元， ∴W关于x的函数表达式为W=-20x2+300x-520，单价为7. 5元时利润最大，最大利润是605元. 1 3 5 题序 2 4 20 (3)由题意得W=(x-2-a)(-20x+260) =-20x2+(300+20a)x-520-260a. 二次函数图象的对称轴为直线x=+. ∵-20<0，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增大而增大， ∴+≥10，∴a≥5，∴a的最小值为5. 1 3 5 题序 2 4 21 $$