48方法专题十三 “胡不归”与“阿氏圆”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 3 1.如图，△ABC中，AB=AC=15，tan A=2，BE⊥AC于点E，点D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是(　　) A.3 B.6 C.5 D.10 1 3 5 题序 2 4 6 4 2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，C(-3，0)两点，与y轴交于点B(0，3).若点P为y轴上一个动点，连接AP，则BP+AP的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 1 3 5 题序 2 4 6 5 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，且满足CD=2，则AD+BD的最小值为　　　　.  1 3 5 题序 2 4 6 6 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=4，以点C为圆心，3为半径作☉C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是☉C上一个动点，则PA+PB的最小值为　　　　.  1 3 5 题序 2 4 6 7 5.(2024·凉山)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN，CN. (1)求证：EN=CN； (2)求2EN+BN的最小值. 1 3 5 题序 2 4 6 8 (1)证明：如图，连接AN. ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A、点C关于直线BD对称， ∴AN=CN. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN=EN，∴EN=CN. 1 3 5 题序 2 4 6 9 (2)解：如图，过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°，∴BN=2NG. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴EN=AN， ∴2EN+BN=2AN+2NG=2(AN+NG)≥2AG≥2AH， ∴2EN+BN的最小值为2AH的长. ∵∠ABC=60°，AB=2，∴AH=AB·sin 60°=， ∴2EN+BN的最小值为2. 1 3 5 题序 2 4 6 10 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点C为顶点的正方形CDEF(C，D，E，F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动，且 CD=，连接AF，BD. (1)求证：△BDC≌△AFC； (2)在正方形CDEF旋转过程中， 求 BD+AD的最小值. 1 3 5 题序 2 4 6 11 (1)证明：∵四边形CDEF是正方形， ∴CF=CD，∠FCD=∠ACB=90°， ∴∠ACF=∠BCD. ∵AC=CB，∴△AFC≌△BDC(SAS). 1 3 5 题序 2 4 6 12 解：如图，取AC的中点M，连接DM，BM. ∵CD=，CA=2，CM=1， ∴CD2=CM·CA，∴=. ∵∠DCM=∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴==，∴DM=AD， ∴BD+AD=BD+DM≥BM， 1 3 5 题序 2 4 6 13 ∴BD+AD的最小值为BM的长. ∵BM===， ∴BD+AD的最小值为. 1 3 5 题序 2 4 6 14 $$