40第六章 第二节 与圆有关的位置关系-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 第二节　与圆有关的位置关系 建议用时：30分钟 3 【基础练 基础达标】 1.如果一个圆的直径是8 cm，圆心到一条直线的距离也是8 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 4 2.(2024·山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为(　　) A.30° B.40° C.45° D.50° 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 5 3.(2024·福建)如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB=72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且点C为的中点，则∠ACM等于(　　) A.18° B.30° C.36° D.72° 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 6 4.(2024·泸州)如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E的度数为(　　) A.56° B.60° C.68° D.70° 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 7 5.(2024·浙江)如图，AB是☉O的直径，AC与☉O相切，点A为切点，连接BC.已知∠ACB=50°，则∠B的度数是　　　　.  40° 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 8 6.(2023·泰安)为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三 角尺按如图所示放置于桌面上，并量出AB=4 cm，则这张光盘的半径 是　　　cm.(精确到0.1 cm.参考数据：≈1.73)  6. 9 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 9 7.(2024·临夏)如图，直线l与☉O相切于点D，AB为☉O的直径，过点A作 AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C. (1)求证：AD平分∠CAE； (2)如果BC=1，DC=3，求☉O的半径. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 10 (1)证明：如图，连接OD. ∵直线l与☉O相切于点D， ∴OD⊥CE. ∵AE⊥CE，∴OD∥AE， ∴∠ODA=∠EAD. ∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD， ∴∠OAD=∠EAD， ∴AD平分∠CAE. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 11 (2)解：设☉O的半径为r，则OB=OD=r. ∵在Rt△OCD中，OD=r，CD=3，OC=r+1， ∴r2+32=(r+1)2，解得r=4，即☉O的半径为4. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 12 【拔高练 能力提升】 8.(2023·仙桃)如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆☉O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD=　　　　.  35° 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 13 9.(2024·凉山)如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，点P是直线y= x+4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值 为　　　　.  2 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 14 10.(2024·北京)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分∠AOC. (1)求证：OD∥BC. (2)延长DO交☉O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若 =，PE=1，求☉O半径的长. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 15 (1)证明：如图，连接AC交OD于点H. ∵AB是☉O的直径，∴AC⊥BC. ∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD， ∴=，∴OD⊥AC，∴OD∥BC. (2)解：由题意可知OE∥BC，∴△OEF∽△BCF， ∴==. 设OE=5x，BC=6x. ∵AO=OB，OH∥BC，∴AH=CH，∴OH=BC=3x. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 16 ∵PB是☉O的切线，∴∠OBP=90°， ∴∠PBO=∠AHO. ∵∠BOP=∠AOH，∴△POB∽△AOH， ∴=，∴=， ∴x=或x=0(舍去)，∴OE=， ∴☉O半径的长为. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 17 11.(2023·烟台)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，☉O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD. (1)求证：AB是☉O的切线； (2)已知☉O的半径与菱形的边长之比为 5∶8，求tan∠ADB的值. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 18 (1)证明：如图，连接OA. ∵AG=GD，由垂径定理知 OF⊥AD， ∴∠OGA=∠FGA=90°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠GAF=∠BAF， ∴∠GAF+∠AFG=90°=∠BAF+∠AFG. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 19 ∵OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA， ∴∠OAF+∠BAF=∠OAB=90°. 又∵OA为☉O的半径， ∴AB是☉O的切线. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 20 (2)解：∵四边形ABCD是菱形，AG=GD， ∴设AG=GD=4a. ∵☉O的半径与菱形的边长之比为5∶8， ∴在Rt△OAG中，OA∶AG=5∶4， ∴OA=5a，OG==3a， ∴FG=OF-OG=2a. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 21 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，即∠DEA=90°=∠FGA， ∴∠ADB=∠AFG， ∴tan∠ADB=tan∠AFG===2. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 22 【培优练 满分通关】 12.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水.如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行.设筒车为☉O，☉O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2=BD·CD，连接AB，AC. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 23 (1)求证：AD为☉O的切线； (2)筒车的半径为3 m，AC=BC，∠C=30°. 当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时， 求筒车在水面下的最大深度.(精确到0.1 m. 参考数据：≈1.4，≈1.7) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 24 (1)证明：如图，连接AO，并延长交☉O于点G，连接BG， 则∠ACB=∠AGB. ∵AG是直径，∴∠ABG=90°，∴∠BAG+∠AGB=90°. ∵AD2=BD·CD，∴=. ∵∠ADB=∠CDA，∴△DAB∽△DCA， ∴∠DAB=∠ACB，∴∠DAB=∠AGB， ∴∠DAB+∠BAG=90°，∴AD⊥AO. 又∵OA是☉O的半径，∴AD为☉O的切线. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 25 (2)解：如图，当水面到KH时，A，O，Q三点共线，过点O作OM⊥KH于点M. ∵CA=CB，∠C=30°，∴∠AKB=30°，∠ABC=75°. ∵AK是直径，∴∠ABK=90°，∴∠CBK=15°. ∵BC∥KH， ∴∠BKH=∠CBK=15°， ∴∠AKM=∠AKB+∠BKH=45°，∴OM=OK=， ∴筒车在水面下的最大深度为3-≈0. 9(m). 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 26 $$