38第五章 第四节 正方形的判定与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 第四节　正方形的判定与性质 建议用时：30分钟 3 【基础练 基础达标】 1.正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长是(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 4 2.如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠AED的度数为(　　) A.10° B.12.5° C.15° D.20° 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 5 3.下列说法正确的是(　　) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.平行四边形一定是轴对称图形 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 6 4.(2024·常州)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线 AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是(2，1)，则点C的坐标是　　　　.  (-2，-1) 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 7 5.(2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方形.△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若AD=4，则EF=　　　　.  2 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 8 6.(2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°，则 的值为　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 9 7.(2024·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 10 8.(2023·十堰)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 11 解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC=OA=AC，OB=OD=BD. ∵分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴OB=CP，BP=OC， ∴四边形BPCO为平行四边形. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 12 (2)当AC⊥BD，AC=BD时，四边形BPCO为正方形. ∵AC=BD，OB=BD，OC=AC，∴OB=OC， ∴平行四边形BPCO是菱形. ∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°. ∴四边形BPCO为正方形. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 13 【拔高练 能力提升】 9.如图，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限内作正方形 ABCD，则点D的坐标为(　　) A.(1，3) B.(2，4) C.(2，3) D.(3，2) 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 14 10.(2024·重庆A卷)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1，则DM的长度为(　　) A.2 B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 15 11.(2024·烟台)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG.若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 16 12.(2024·天津)如图，正方形ABCD的边长为 3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE. (Ⅰ)线段AE的长为　　　　；  (Ⅱ)若点F为DE的中点，则线段AF的长为　　　　.  2 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 17 【培优练 满分通关】 13.(2024·泰安新泰三模)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点(AE>CE)，连接BE，DE. (1)求证：BE=DE. (2)如图2，过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG.求证：DG=BE. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 18 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BA=DA，∠BAE=∠DAE. 在△BAE和△DAE中， ∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE=DE. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 19 (2)如图，连接EG. ∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°. ∵∠FCE=45°，∴∠CFE=∠ECF=45°， ∴EF=EC，∠BFE=∠GCE. 又∵BF=CG，∴△BFE≌△GCE(SAS)， ∴BE=GE，∠BEF=∠GEC. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 20 由(1)得△BAE≌△DAE， ∴BE=DE，∠AEB=∠AED，∴DE=GE. ∵∠AEB+∠BEF=90°，∴∠AED+∠GEC=90°， ∴∠DEG=90°，∴DE2+EG2=DG2， ∴2DE2=DG2，∴DG=DE=BE. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 21 $$