37第五章 第三节 菱形的判定与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 第三节　菱形的判定与性质 建议用时：30分钟 3 【基础练 基础达标】 1.(2024·临夏)如图，点O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为(　　) A.(-4，2) B.(-，4) C.(-2，4) D.(-4，) 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 4 2.(2024·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是(　　) A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OB2=AD2 D.AD2+OA2=OD2 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 5 3.(2023·东营)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点 B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向 旋转60°，得到四边形OA'B'C'(点A'与点C重合)，则点B'的坐标是(　　) A.(3，3) B.(3，3) C.(3，6) D.(6，3) 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 6 4.(2024·甘孜)如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 　　　　.  8 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 7 5.(2024·广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　　　　cm.  8 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 8 6.(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　　　　.  10 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 9 7.(2024·广安)如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE=BF，求证：∠DEF=∠DFE. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 10 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C. ∵BE=BF，∴AE=CF. 在△DAE和△DCF 中， ∴△DAE≌△DCF(SAS)， ∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 11 8.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)若BE=3，CF=4，求BC的长. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 12 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D. ∵CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， ∴∠BEC=∠DFC=90°. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(AAS). (2)解：∵△BCE≌△DCF，∴CE=CF=4. ∵∠BEC=90°，BE=3，∴BC===5. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 13 【拔高练 能力提升】 9.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6.点E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为(　　) A.2.4 B.3 C.4.8 D.4 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 14 10.(2024·淄博模拟)如图，在菱形ABCD和菱形CEFG(点D在边CG上)中，连接AF，EG相交于点P，连接CP.若BC=5，CE=10，EG=12，则CP的长是(　　) A.8 B.9 C. D.2 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 15 11.(2024·齐齐哈尔模拟)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE=CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论：①OG=AB；②∠FOG=30°；③=；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形.其中正确的个数是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 16 12.(2024·青岛)如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO=______ . 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 17 13.(2023·云南)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上，AE=AF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4，求平行线AB与DC间的距离. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 18 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC. ∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠BCD， ∴∠DAE=∠BCF. ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BCF=∠AEB， ∴AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形. ∵AE=AF，∴四边形AECF是菱形. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 19 (2)解：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB. ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=EB. ∵∠ABC=60°，∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE=∠AEB=∠ABE=60°. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 20 ∵△ABE的面积等于4，∴AB2=4， ∴AB=4，即AB=AE=EB=4. 由(1)知四边形AECF是菱形， ∴AE=CE=4，∴∠EAC=∠ECA. ∵∠AEB是△AEC的一个外角， ∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°， ∴∠EAC=∠ECA=30°， 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 21 ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AC⊥AB， 由勾股定理得 AC===4， 即平行线AB与DC间的距离是4. 1 3 5 7 9 11 13 题序 2 4 6 8 10 12 22 $$