36第五章 第二节 矩形的判定与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 第二节　矩形的判定与性质 建议用时：35分钟 3 【基础练 基础达标】 1.(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 4 2.(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB的度数为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 5 3.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(-4，-2)，则AC的长是(　　) A.2 B.2 C.4 D.2 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 6 4.(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 7 5.(2024·泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(　　) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 8 6.如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，点F为CE的中点，以点B为圆心，BF的长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB=4，CE=10，则AG的长为(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 9 7.(2023·杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°，则=(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 10 8.(2024·烟台招远模拟)如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD'，且A'D'与CD相交于CD边的中点E.若AB=2， AD=7，则原矩形ABCD和▱A'BCD'重叠部分的面积是　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 11 9.如图所示，折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在AO边的点D处，已知点B的坐标为(5，3).求：(1)点D的坐标； (2)点E的坐标. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 12 解：(1)由折叠可知CD=CB. ∵B(5，3)，∴CD=CB=5，OC=3. 在Rt△ODC 中，由勾股定理得OD==4， ∴点D的坐标为(4，0). 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 13 (2)∵OA=BC=5，OD=4，∴AD=OA-OD=5-4=1. 由折叠可知BE=DE. 设AE=x，则DE=BE=3-x. 在Rt△ADE 中，由勾股定理得AE2+AD2=DE2， 即x2+12=(3-x)2， 解得x=， ∴点E的坐标为(5，). 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 14 【拔高练 能力提升】 10.(2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(　　) A.点A B.点B C.点C D.点D 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 15 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C.若点F，G分别为A1C，BC的中点，则FG的最小值为　　　　.  1 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 12.(2024·牡丹江)矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP=3，连接CP，则PC+PE的值为　　　　 .  13或　 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 17 13.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC 的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若BC=4，CE=3，求EF的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 18 (1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°. ∵CE∥AD，∴∠ECD=∠ADB=90°. ∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°， ∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， ∴四边形ADCE是矩形. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 19 (2)解：∵在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点， BC=4， ∴BD=CD=BC=2. 由(1)可知四边形ADCE是矩形， ∴AE=CD=2，∠AEC=90°. 在Rt△AEC中，AE=2，CE=3， 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 20 由勾股定理得AC==. 又∵EF⊥AC， ∴S△AEC=AC·EF=AE·CE， ∴EF===. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 21 14.如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，过点O作AC的垂线交BC于点E，交AD于点F，连接FC，AE. (1)点P在对角线AC上，且FP⊥AD，求证：2AF2=AC·AP； (2)若AD=2AB，求cos∠CFD的值. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 22 (1)证明：由题意可知∠AFP=∠AOF=90°，∠FAO=∠PAF， ∴△FAP∽△OAF， ∴=，∴AF2=OA·AP. ∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点， ∴OA=AC，∴2AF2=AC·AP. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 23 (2)解：设CD=m. ∵四边形ABCD是矩形，AD=2AB，∴AB=CD，∠BCD=90°， ∴AD=2CD=2m. ∵EF垂直平分AC，∴CF=AF=2m-FD. ∵FD2+CD2=CF2，∴FD2+m2=(2m-FD)2， 整理得3m2-4m·FD=0. ∵m≠0，∴3m-4FD=0，∴FD=m，∴CF=m， ∴cos∠CFD==. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 24 15.(2024·泰安泰山模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点 O，过点A作BC的垂线，垂足为E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE，若BD=8，AC=4，求cos∠BOE. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 25 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC. ∵CF=BE，∴CF+CE=BE+CE，即EF=BC， ∴AD=EF. ∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形. ∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°， ∴平行四边形AEFD是矩形. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 26 (2)解：如图，过点E作EG⊥AC于点G. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EG∥BD，∴∠BOE=∠OEG. ∵BD=8，AC=4， ∴AO=CO=2，BO=DO=4. 在Rt△BOC中， 由勾股定理得BC===2. ∵AE⊥BC， 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 27 ∴=BC·AE=AC·BD=×4×8=16，∠AEC=90°， ∴AE==，OE=AC=AO=2， ∴CE===. ∵=AC·EG=AE·CE，∴EG===， ∴cos∠BOE=cos∠OEG===. 1 3 5 7 9 11 13 15 题序 2 4 6 8 10 12 14 28 $$