34第四章 第六节 解直角三角形及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 第六节　解直角三角形及其应用 建议用时：30分钟 3 【基础练 基础达标】 1.在△ABC中，∠ABC=90°.若AC=100，sin A=，则AB的长是(　　) A. B. C.60 D.80 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 4 2.(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　　) A.asin θ千米 B.千米 C.acos θ千米 D.千米 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 5 3.(2024·资阳)第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH=1∶3，则sin∠ABE的值为 (　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 6 4.(2024·雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　　) A.25米 B.25米 C.25米 D.50米 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 7 5.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角 为60°.若斜面AB的坡比为1∶，则斜面AB的长是　　　米.(≈ 1.732，结果精确到0.1米)  34. 6 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 8 【拔高练 能力提升】 6.如图，一艘船由A港沿北偏东50°方向航行100 km至C港，然后再沿北偏西25°方向航行至B港，B港在A港北偏东20°方向，则A，B两港之间的距离为(　　) A.(50+50) km B.50 km C.50 km D.50 km 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 9 7.(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°， 则测得黄鹤楼的高度是　　　　m.(参考数据：tan 63°≈2)  51 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 10 8.(2024·眉山)如图，斜坡CD的坡度i=1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为　　　 　米.  (4-2) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 11 9.(2024·湖南)如图，图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC=4分米，OB=12分米，∠BOE=60°，则点C到水平线l的距离CF为　　　 　分米.(结果用含根号的式子表示)  (6-2) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 12 10.(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡度 i=1∶，BE=6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°. (1)求点B离水平地面的高度AB； (2)求电线塔CD的高度.(结果保留根号) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 13 解：(1)由题意得BA⊥AE. ∵斜坡BE的坡度i=1∶，∴==. 在Rt△ABE中，tan∠BEA==， ∴∠BEA=30°. ∵BE=6 m，∴AB=BE=3 m， ∴点B离水平地面的高度AB为3 m. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 14 (2)如图，过点B作BF⊥CD，垂足为F. 由题意得AB=CF=3 m，BF=AC， 设EC=x米. 在Rt△ABE中， ∵AE===3米， ∴BF=AC=CE+AE=(x+3)米. 在Rt△CDE中，∠DEC=60°， ∴CD=CE·tan 60°=x米. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 15 在Rt△BDF中，∠DBF=45°， ∴DF=BF·tan 45°=(x+3)米. ∵DF+CF=CD，∴x+3+3=x，解得x=6+3， ∴CD=x=(6+9)米， ∴电线塔CD的高度为(6+9)米. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 16 11.(2024·烟台蓬莱二模)某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A，B间的距离为5.2米，∠ACD=20°. 科学计算器按键顺序 计算结果(已取近似值)   0.34   0.94   0.36 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 17 (1)请问：身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由. (2)若采取中段平台设计(如图虚线所示).已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i=1∶2，求平台EF的长度. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 18 解：(1)会碰到头部. 理由如下： 如图，连接AB，过点B作GB⊥AB，交AC于点G. ∵∠ACD=20°，AB∥CD，∴∠BAG=20°， ∴BG=tan 20°×5. 2≈0. 36×5. 2=1. 872(米). ∵1. 872<1. 9， ∴会碰到头部. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 19 (2)在Rt△ACD中，AD=9米，tan∠ACD=，∠ACD=20°， ∴CD=≈25(米). 如图，过点F作FM⊥CD，垂足为M，过点E作EN⊥AD，垂足为N. 设FM=x米，则AN=(9-x)米， ∵AE段和FC段的坡度i=1∶2， ∴CM=2x米，NE=2(9-x)=(18-2x)米， ∴CM+NE=2x+18-2x=18米， ∴EF=CD-(CM+NE)≈25-18=7(米). 答：平台EF的长度约为7米. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 20 【培优练 满分通关】 12.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，CE=1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题： 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 21 (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长.(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.73) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 22 解：(1)∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q=∠P=90°. 在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5. 4 m， ∴AQ=AB·sin∠ABQ= m，∠QAB=30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°， ∴∠CBE=30°，∴BC== m， ∴AD= m. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 23 ∵∠PAD=180°-30°-90°=60°， ∴AP=AD·cos∠PAD= m， ∴PQ=AP+AQ=≈6. 1 m. (2)在Rt△BCE中，BE==3. 2 m， 在Rt△ABQ中，QB=AB·cos∠ABQ=2. 7 m. ∵该充电站有20个停车位，∴QM=QB+20BE=66. 7 m. ∵四边形ABCD是矩形，∴PN=QM=66. 7 m， ∴PN的长约为66. 7 m. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 24 $$