33方法专题九 “手拉手”模型-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 3 1.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=3，AC=4，点D在线段BC上运动，点P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是　　　　.  2 1 3 5 题序 2 4 4 2.问题背景：如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用：如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，=，求 的值. 1 3 5 题序 2 4 5 问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴=，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE，=，∴△ABD∽△ACE. 尝试应用 解：如图，连接EC. ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∠ABC=∠ADE=30°， ∴△ABC∽△ADE. 1 3 5 题序 2 4 6 由(1)知△ABD∽△ACE， =， ∴==，∠ACE=∠ABD=∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， ∴=，∴=·=×=3. ∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC， ∴△ADF∽△ECF，∴==3. 1 3 5 题序 2 4 7 3.如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG，且 =. (1)求证：∠ABE=∠ADG； (2)若AB=，AD=，BE=BD，求EG的长. 1 3 5 题序 2 4 8 (1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形， ∴∠BAD=∠EAG=90°， 即∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠DAG. 又∵=，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE=∠ADG. 1 3 5 题序 2 4 9 (2)解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ABE+∠CBD=90°， ∴∠ADB=∠CBD. ∵∠ABE=∠ADG， ∴∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠CBD=90°，即∠EDG=90°. 在Rt△ABD中，AB=，AD=， ∴BD===3， 1 3 5 题序 2 4 10 ∴BE=BD=，DE=2， 由(1)知△ABE∽△ADG， ∴=，∠ABE=∠ADG，∴=，∴DG=. 在Rt△DEG中，EG===3. 1 3 5 题序 2 4 11 4.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC，P为AB上的一点(不与端点重合)，过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM. (1)【问题发现】如图1，当n=1时，点P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　　　　.  (2)【类比探究】如图2，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由. 1 3 5 题序 2 4 12 解：(1)CM=BP (2)CM=BP的数量关系不变. 理由如下： 当n=2时，AB=2BC， 由勾股定理可得AC===AB， ∴=. 由旋转得∠CAB=∠MAP， 1 3 5 题序 2 4 13 即∠BAP+∠CAP=∠CAM+∠CAP， ∴∠BAP=∠CAM，∴△ABP∽△ACM， ∴==，∴CM=BP. 1 3 5 题序 2 4 14 5.(1)观察猜想 如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE，CD，则BE与CD的数量关系为　　　　，位置关系为　　　　.  1 3 5 题序 2 4 15 (2)类比探究 如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE.∠BAD=∠CAE=90°，点D，E，C在同一直线上，AM为△ACE中CE边上的高，猜想DC，BC，AM之间的数量关系并说明理由. 1 3 5 题序 2 4 16 解：(1)BE=CD　BE⊥CD (2)DC=BC+2AM. 理由如下： ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE. ∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAD-∠EAB=∠CAE-∠EAB，即∠DAE=∠BAC. 在△ADE和△ABC中， 1 3 5 题序 2 4 17 ∴△ADE≌△ABC(SAS)，∴DE=BC. ∵AC=AE，AM⊥CE，∴EC=2EM. ∵△ACE为等腰直角三角形，AM⊥CE， ∴∠AEM=∠EAM=45°， ∴EM=AM，∴EC=2AM，∴DC=DE+EC=BC+2AM. 1 3 5 题序 2 4 18 $$