31方法专题七 “一线三等角”模型-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 3 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=9，BP=BC=2，点D在AC上，且∠APD=∠B，则CD=　　　　.  1 3 5 题序 2 4 4 2.如图，将等边三角形ABC折叠，折痕为MN，使点A落在BC边上得到点D.若BD=BC，则=　　　　.  1 3 5 题序 2 4 5 3.如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A.若∠CDG=α，则∠AHF=　　　　；若AH=3，GC=2，则△EFH的面积为　　　　.  90°-α 3 1 3 5 题序 2 4 6 4.【感知】如图1，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.易证：△AED∽△BFE. 【探究】如图2，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F. (1)求证：△AED∽△BFE； (2)若AB=10，AD=6，点E为AB的中点， 求BF的长. 1 3 5 题序 2 4 7 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠BEF+∠AED=90°， ∴∠ADE=∠BEF，∴△AED∽△BFE. (2)解：∵点E为AB的中点，∴AE=BE=5. 由(1)知△AED∽△BFE， ∴=，即=，∴BF=. 1 3 5 题序 2 4 8 5.(2024·甘肃)【模型建立】 (1)如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD.用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由. 1 3 5 题序 2 4 9 【模型迁移】 (3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF.用等式写出BE，AD，DF的数量关系，并说明理由. 1 3 5 题序 2 4 10 解：(1)DE+CD=AE. 理由如下： ∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC， ∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，∴∠ABE=∠C. ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCD(AAS)， ∴BE=CD，AE=BD， ∴DE=BD-BE=AE-CD，∴DE+CD=AE. 1 3 5 题序 2 4 11 (2)AD=BE+DF. 理由如下： 如图，过点A作AM⊥BD于点M，过点F作FN⊥BD于点N. 由(1)可证△AEM≌△EFN，∴EM=FN. 在正方形ABCD中，AD=AB，∠ABM=∠FDN=45°， ∴BM=AB·cos∠ABM=AB=AD， EM=FN=DF·sin∠FDN=DF. ∵BM=BE+EM，∴AD=BE+DF， 即AD=BE+DF. 1 3 5 题序 2 4 12 (3)AD=BE-DF. 理由如下： 如图，过点A作AH⊥BD于点H，过点F作FG⊥BD，交BD的延长线于点G. ∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF， ∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°， ∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠GEF=90°， ∴∠HAE=∠GEF. ∵AE=EF，∴△HAE≌△GEF(AAS)，∴HE=GF. 1 3 5 题序 2 4 13 ∵在正方形ABCD中，∠BDC=45°， ∴∠FDG=∠BDC=45°，∴∠DFG=45°， ∴△DFG是等腰直角三角形，∴FG=DF，∴HE=FG=DF. ∵∠ADB=45°，AH⊥HD，∴△ADH是等腰直角三角形， ∴HD=AD，∴DE=HD-HE=AD-DF， ∴BD-BE=DE=AD-DF. ∵BD=AD，∴AD-BE=AD-DF，∴AD=BE-DF. 1 3 5 题序 2 4 14 $$