29第四章 第五节 相似三角形-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 第五节　相似三角形 建议用时：30分钟 3 【基础练 基础达标】 1.(2024·重庆A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 4 2.(2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE∶BE=1∶2，DF=3，则FC的长为(　　) A.6 B.3 C.5 D.9 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 5 3.(2024·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB=4，则EF的长为(　　) A. B.1 C. D.2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 6 4.(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中错误的是(　　) A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 7 5.(2024·巴中)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1，则OG的长为(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 8 6.(2024·辽宁)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4.若 AB=6，则CD的长为　　　　.  12 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 9 7.(2024·无锡)在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，点D，E，F分别是 AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为　　　　.  9 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 10 8.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2.求证：△ABE∽△ECF. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 11 证明： ∵BE=3，EC=6，CF=2，∴BC=3+6=9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°. ∵===， ∴=，∴△ABE∽△ECF. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 12 9.(2023·湘潭)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高. (1)证明：△ABD∽△CBA； (2)若AB=6，BC=10，求BD的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 13 (1)证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BDA=∠BAC. 又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA， ∴=，∴=，∴BD=3. 6. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 14 【拔高练 能力提升】 10.(2024·德州)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E.若AB∶BC=3∶4，则BF∶FD为(　　) A.5∶3 B.5∶4 C.4∶3 D.2∶1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 15 11.(2024·重庆A卷)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF=　　　　.  3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 16 12.(2024·乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O.若=，则=　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 17 13.(2024·云南)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若=，则=　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 14.(2024·扬州)【跨学科·物理】 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，设AB=36 cm，A'B'=24cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　　　　cm.  20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 19 15.(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB=8，AC=6，DE=4. (1)证明：△ABC∽△DEB； (2)求线段BD的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 20 (1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A=∠CBE=∠D=90°， ∴∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°，∴∠C=∠DBE， ∴△ABC∽△DEB. (2)解：∵△ABC∽△DEB，∴=，∴=，∴BD=3. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 21 16.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB. 求证：(1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 22 证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵CF=BE，∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF. 在△ACE和△ABF中， ∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 23 (2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF. ∵AE2=AQ·AB，AC=AB，∴=， ∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF. ∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE. ∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ， ∴=，即CF·FQ=AF·BQ. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 24 【培优练 满分通关】 17.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α(0°<α<180°)，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF. (1)如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出的值； (2)如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说明理由. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 25 解：(1)∵△CEF是等腰直角三角形， ∴∠ECF=45°，=. ∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠BCA=45°，=，∴∠ECF=∠BCA，=， ∴∠ECF-∠ACE=∠BCA-∠ACE，即∠ACF=∠BCE， ∴△CAF∽△CBE，∴==. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 26 (2)四边形AECF是平行四边形. 理由如下： ∵∠CEF=45°，B，E，F三点共线，∴∠BEC=135°. 由(1)知∠AFC=∠BEC=135°. ∴∠AFE=∠AFC-∠CFE=45°， ∴∠CEF=∠AFE，∴AF∥CE. 如图，过点D作DG⊥BF于点G. ∵∠BGD=∠BFC=90°，∠DBG=∠CBF， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 27 ∴△BDG∽△BCF，∴==. ∵BD=DE，DG⊥BE，∴BG=EG，∴BG=EG=EF. ∵EF=CF，∴BE=2CF. 由(1)知=，∴AF=BE，∴AF=CF. ∵CE=CF，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 28 $$