21综合考点五 二次函数中的特殊四边形存在性问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学全练本（五四制）

1 2 3 1.如图1，抛物线y=x2+bx与x轴交于点A，与直线y=x交于点B(4，4)，点C(0，4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止. (1)求抛物线y=x2+bx的表达式. (2)在图1中，过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，当四边形OCPD是平行四边形时，求BP的长. 1 题序 2 4 (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点P速度的2倍，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求2CP+BQ的最小值. 1 题序 2 5 解：(1)∵抛物线y=x2+bx过点B(4，4)， 将点B的坐标代入y=x2+bx中得16+4b=4，∴b=-3， ∴抛物线的表达式为y=x2-3x. (2)∵OC⊥x轴， PD⊥x轴，∴PD∥OC. ∵四边形OCPD是平行四边形，∴PD=OC. ∵C(0，4)，∴PD=OC=4. ∵点P在y=x上，设P(a， a)，∴D(a，a2-3a)， ∴PD=a-(a2-3a)=-a2+4a=4，解得a=2， ∴P(2，2)，∴BP=2. 1 题序 2 6 (3)如图，连接BC. 由题意得2BP=OQ. 在OA下方作△OMQ，使得∠MOQ=45°，OM=2BC. ∵OC=BC=4， BC⊥OC， ∴∠CBP=45°，∴∠CBP=∠MOQ. ∵==2，∠CBP=∠MOQ， ∴△CBP∽△MOQ， ∴MQ=2CP， 1 题序 2 7 ∴2CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短)， ∴2CP+BQ的最小值为MB的长. ∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45°+45°=90°，OB=BC=4， ∴MB===4， 即2CP+BQ的最小值为 4. 1 题序 2 8 2.(2024·内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式. (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 9 (3)点F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. 1 题序 2 10 解：(1)令y=0，则x=3；令x=0，则y=6，∴A(3，0)，B(0，6). 把点A(3，0)，B(0，6)分别代入y=-x2+bx+c 得解得 ∴抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x+6. 1 题序 2 11 (2)存在点D，使得△BDE和△ACE相似. 设D(t，-t2+t+6)，则E(t，-2t+6)，C(t，0)， ∴EC=-2t+6，AC=3-t，DE=-t2+3t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. 1 题序 2 12 ①如图，当△ACE∽△BDE时，∠BDE=∠ACE=90°， ∴BD∥AC，∴点D的纵坐标为6， ∴-t2+t+6=6， 解得t=0(不合题意，舍去)或t=1， ∴D(1，6)； 1 题序 2 13 ②如图，当△ACE∽△DBE时， ∠BDE=∠CAE. 过点B作BH⊥DC于点H， ∴H(t，6)，BH=t，DH=-t2+t，∠BHD=90°， ∴=tan∠BDE=tan∠CAE=， ∴==2，∴-2t2+2t=t， 解得t=0(不合题意，舍去)或t=，∴D(). 综上所述，点D的坐标为(1，6)或(). 1 题序 2 14 (3)∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE=FG，ED=EG. 设D(m，-m2+m+6)，E(m，-2m+6)， F(n，-n2+n+6)，G(n，-2n+6)， ∴DE=-m2+3m，FG=-n2+3n，∴-m2+3m=-n2+3n， 即(m-n)(m+n-3)=0. ∵m-n≠0，∴m+n-3=0，∴n=3-m. ∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO=3，BO=6， ∴AB==3. 1 题序 2 15 如图，过点G作GK⊥DC于点K， ∴KG∥AC，∴∠EGK=∠BAC， ∴=cos∠EGK=cos∠BAC=， 即=， ∴EG=(n-m)=(3-2m). ∵DE=EG，∴-m2+3m=(3-2m)， ∴m2-(3+2)m+3=0， 1 题序 2 16 解得m1=(不合题意，舍去)， m2=，∴m=， ∴点D的横坐标为 . 1 题序 2 17 $$