09专题九 二次函数综合题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 目 录 中考命题研究 专题分类突破 4 专题 类型 考频 命题趋势 二次函数综合题 线段(含周长)问题 5年18考 1.考什么 二次函数综合题，常以解答题的形式进行考查，主要考查二次函数表达式的求法、图象与性质，与一次函数、三角形、四边形的综合 2.怎么考 设问角度常有线段之间的数量关系、角度之间的关系、面积、周长、线段的最值、特殊四边形与特殊三角形的存在性问题等，与几何图形结合考查 面积问题 5年20考 特殊三角形 存在性问题 等腰三角形存在性问题 5年13考 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 5年10考 角度问题 5年9考 函数性质探究问题 5年4考 5 类型1线段(含周长)问题 例1 (2023·菏泽)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，4)，其对称轴为直线x=-. 6 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB'D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC、线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值. 7 【解题启发】 (1)知道抛物线的对称轴与y轴交点坐标，可以求出哪些系数？ (2)三角形翻折有哪些性质，如何利用这些性质确定点D的坐标？ (3)应该用哪种方法求解线段和最值？ 8 【规范解答】 解：(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，4)，∴c=4. ∵对称轴为直线x=-， ∴-=-，b=-3，∴抛物线的表达式为y=-x2-3x+4. 9 (2)如图，设对称轴与x轴交于点H. 令-x2-3x+4=0， 解得x1=1，x2=-4， ∴A(-4，0)，B(1，0)， ∴AB=1-(-4)=5. 由翻折可得AB'=AB=5. ∵对称轴为直线x=-， 10 ∴AH=--(-4)=，∴AB'=2AH， ∴∠AB'H=30°，∠B'AB=60°， ∴∠DAB=∠B'AB=30°. 在Rt△AOD中，OD=OA·tan 30°=， ∴D(0，). 11 (3)设BC所在直线的表达式为y1=k1x+b1. 把点B(1，0)，C(0，4)的坐标分别代入得 解得 ∴y1=-4x+4. ∵OA=OC，∴∠CAO=45°. ∵∠AEF=90°，∴直线PE与x轴所成夹角为45°. 12 设P(m，-m2-3m+4)， 设PE所在直线的表达式为y2=-x+b2， 把点P代入得b2=-m2-2m+4， ∴y2=-x-m2-2m+4， 令y1=y2，则-4x+4=-x-m2-2m+4， 解得x=， 13 ∴FG=yF=+4， PF=×=×(xF-xP)=(m2-m)， ∴FG+FP=+4+= -(m+)2+. ∵点P在直线AC上方， ∴-4<m<0， ∴当m=-时，FG+FP取最大值，最大值为. 14 【解题通法】 (1)线段最值： ①直线段：根据两点间纵坐标的差表示线段的长，通过二次函数的最值求解； ②斜线段：化斜为直.将未知的线段通过相似三角形或锐角三角函数转化为直线段，通过二次函数最值求解； 15 ③线段和最值：a.利用锐角三角函数将两条线段转化为一条线段求最值； b.解决形如“kPA+PB”最值问题的注意事项： 当k=1时，用“将军饮马”模型； 当0<k<1时，点P运动轨迹是直线时，用“胡不归”模型；点P运动轨迹是圆时，用“阿氏圆”模型. (2)周长最值：利用将军饮马模型求解，也可以通过相似三角形转化为线段最值问题求解. 16 练1 (2023·烟台)如图，抛物线 y=ax2+bx+5与x轴 交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4.抛物线 的对称轴直线x=3与经过点A的直线y=kx-1交于 点D，与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的表达式. (2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由. (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为☉B上一个动点，请求出PC+PA的最小值. 17 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=3，AB=4， ∴A(1，0)，B(5，0). 将点A(1，0)代入直线y=kx-1得k-1=0， 解得k=1， ∴直线AD的表达式为y=x-1. 将点A(1，0)，B(5，0)分别代入y=ax2+bx+5得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-6x+5. 18 (2)存在. ∵直线AD的表达式为y=x-1，抛物线的对称轴直线x=3与x轴交于点E， ∴当x=3时，y=x-1=2，∴D(3，2). ①当∠DAM=90°时，设直线AM的表达式为y=-x+c， 将点A的坐标代入得-1+c=0，解得c=1， ∴直线AM的表达式为y=-x+1. 联立方程组 解得(舍去)或 ∴点M的坐标为(4，-3)； 19 ②当∠ADM=90°时，设直线DM的表达式为y=-x+d， 将点D(3，2)代入得-3+d=2，解得d=5， ∴直线DM的表达式为y=-x+5. 联立方程组 解得或 ∴点M的坐标为(0，5)或(5，0). 综上所述，点M的坐标为(4，-3)或(0，5)或(5，0). 20 (3)如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，PF，BP. ∵PB=2，∴=. ∵==，∴=. 又∵∠PBF=∠ABP，∴△PBF∽△ABP， ∴==，即PF=PA， ∴PC+PA=PC+PF≥CF， 21 ∴当C，P，F三点共线时，PC+PA的值最小，即线段CF的长. ∵OC=5，OF=OB-BF=5-1=4， ∴CF===， ∴PC+PA的最小值为. 22 练2 (2023·济宁)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为直线x=的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A.点P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D. (1)求抛物线的表达式. (2)若0<m<，当m为何值时，四边形CDNP是 平行四边形？ (3)若m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 23 解：(1)在直线y=-x+4中，当x=0时，y=4； 当y=0时，x=4， ∴B(4，0)，C(0，4). 设抛物线的表达式为y=a(x-)2+k， 把点B(4，0)，C(0，4)分别代入可得解得 ∴抛物线的表达式为y=-(x-)2+=-x2+3x+4. 24 (2)由题意知P(m，-m2+3m+4)，N(m，0)， ∴PN=-m2+3m+4. 当四边形CDNP是平行四边形时，PN=CD， ∴OD=-m2+3m+4-4=-m2+3m， ∴D(0，m2-3m). 设直线MN的表达式为y=k1x+m2-3m， 把点N(m，0)代入可得k1m+m2-3m=0， 解得k1=3-m， 25 ∴直线MN的表达式为y=(3-m)x+m2-3m. 又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为直线x=， ∴点P与点M关于直线x=对称， ∴M(3-m，-m2+3m+4)， ∴(3-m)2+m2-3m=-m2+3m+4， 解得m1=(不合题意，舍去)，m2=. 综上所述，当m=时，四边形CDNP是平行四边形. 26 (3)存在. 如图1，当-1<m<时，点P在x轴的上方. ∵MN=2ME，∴点E是MN的中点， ∴由(1)知M(3-m，-m2+3m+4)， N(m，0)， ∴E(). 27 又∵点E在直线BC上， ∴=-+4， 解得m=或(舍去)， ∴此时m的值为； 当m=-1时，点P在x轴上，此时点E与点M重合， ∴此种情况不存在； 28 如图2，当m<-1时，点P在x轴的下方，点E在射线NM上， 设线段NM的中点为R， ∴xR===， yR= =， ∴R(). ∵MN=2ME， 29 ∴点M为RE的中点， ∴xM= ，yM=， ∴E(-2m，-m2+m+6). ∵点E在直线BC上， ∴将点E的坐标代入y=-x+4整理得3m2-5m-13=0， 解得m=或(舍去)， ∴此时m的值为. 综上所述，存在m的值为或，使得MN=2ME. 30 类型2面积问题 例2 (2024·济宁)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(0，-3)，(-b，c)两点，其中a，b，c 为常数，且ab>0. 31 (1)求a，c的值. (2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图象与x轴交于点A，B(点 A 在点B 的左侧)，与y轴交于点C. ①求该二次函数的表达式，并直接写出点A，B 的坐标. ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC 交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使=？若存在，求此时点 P的横坐标；若不存在，请说明理由. 32 【解题启发】 (1)a，c的值与点的坐标有什么关系？ (2)①如何求b的值？ ②怎么用点P的横坐标表示△PCE和△CBE的面积？ 33 【规范解答】 解：(1)∵二次函数的图象过(0，-3)，(-b，c)两点， ∴c=-3，ab2-b2-3=-3， ∴(a-1)b2=0. ∵ab>0，∴a≠0，b≠0， ∴a-1=0，∴a=1. 34 (2)①∵a=1，c=-3， ∴y=x2+bx-3=(x+)2-(b2+3). ∵函数的最小值为-4， ∴-(b2+3)=-4，解得b2=4. ∵ab>0，a=1，∴b>0，∴b=2， ∴y=x2+2x-3. 令y=0，则x2+2x-3=0， 解得x1=-3，x2=1，∴A(-3，0)，B(1，0). 35 ②存在. 设直线AC的表达式为y=kx+t. ∵A(-3，0)，C(0，-3)， ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3. 设P(m，m2+2m-3)，则E(m，-m-3)，D(m，0). 当点P在点A右侧时，∴DE=m+3. ∵AB=4， 36 ∴S△ABE=AB·DE=2(m+3)，S△ABC=AB·OC=6， ∴S△CBE=S△ABC-S△ABE=6-2(m+3)=-2m. S△PCE=OD·PE=(-m)·[-m-3-(m2+2m-3)]=. ∵=，∴=， 解得m1=，m2=， ∴此时点P的横坐标为或； 37 当点P在点A的左侧时，如图. ∴DE=-m-3. ∵AB=4， ∴S△ABE=AB·DE=2(-m-3)， S△ABC=AB·OC=6， ∴S△CBE=S△ABC+S△ABE=6+2(-m-3)=6-2m-6=-2m， 38 S△PCE=OD·PE=(-m)·[m2+2m-3-(-m-3)]=-. ∵=，∴=， 解得m3=，m4=(不符合题意，舍去)， 此时点P的横坐标为. 综上所述，存在点P，使=，点P的横坐标为或或. 39 练3 (2023·山西)如图，二次函数y=-x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点C. 40 (1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标. (2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m. ①当PD=OC时，求m的值. ②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值. 41 解：(1)当y=0时，-x2+4x=0， 解得x1=0，x2=4. ∵点A在x轴正半轴上， ∴点A的坐标为(4，0). 设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 将A，B两点的坐标(4，0)，(1，3)分别代入 y=kx+b得解得 ∴直线AB的函数表达式为y=-x+4. 将x=0代入y=-x+4得y=4， ∴点C的坐标为(0，4). 42 (2)①由题意可得P(m，-m2+4m)，D(m，-m+4)， ∴PE=-m2+4m，DE=-m+4，OE=m. ∵点C的坐标为(0，4)，∴OC=4. ∵PD=OC，∴PD=2. 如题图1，当点P在直线AB上方时， PD=PE-DE=-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4. ∵PD=2，∴-m2+5m-4=2， 解得m1=2，m2=3. 43 如题图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE-PE=-m+4-(-m2+4m)=m2-5m+4. ∵PD=2，∴m2-5m+4=2， 解得m=. ∵0<m<1，∴m=. 综上所述，m的值为2或3或 . 44 ②由①得OE=m，PE=-m2+4m，DE=-m+4. ∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1，3)， ∴OQ=1. ∵点P在直线AB上方，∴EQ=m-1. ∵PE⊥x轴于点E，∴∠OQF=∠OEP=90°， ∴FQ∥DE，∠OFQ=∠OPE，∴△FOQ∽△POE， ∴=，∴=，∴FQ==-m+4， 45 ∴FQ=DE，∴四边形FQED为平行四边形. ∵PE⊥x轴，∴四边形FQED为矩形. ∴S=EQ·FQ=(m-1)(-m+4)=-(m-)2+. ∵-1<0，1<m<4，∴当m=时，S的最大值为. 46 类型3特殊三角形存在性问题 考法❶　等腰三角形存在性问题 例3 (2024·达州)如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3，0)和点 B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点. 47 (1)求抛物线的表达式. (2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M.若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC=2S△DMC，求点P的坐标. (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 48 【解题启发】 (1)怎样利用待定系数法求抛物线表达式？ (2)若先求得C，M，D三点的坐标，如何转化S△PMC=2S△DMC的关系？ (3)等腰三角形的性质是什么？如何利用其性质来求解？需不需要分类讨论？ 49 【规范解答】 解：(1)由题意得y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx-3，解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)由抛物线的表达式知点C(0，-3)，D(-1，-4)，抛物线的对称轴为直线x=-1. 如图，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL=2CG，过点L作直线P1P2∥AC交抛物线于点P1，P2，则点P1，P2为所求点. 50 由点A，C坐标得直线AC的表达式为y=-x-3. ∵DG∥AC， ∴直线DG的表达式为y=-(x+1)-4=-x-5， ∴G(0，-5)，∴CG=-3-(-5)=2， ∴CL=4，∴L(0，1)， ∴直线P1P2的表达式为y=-x+1. 51 联立 解得或 ∴点P的坐标为(1，0)或(-4，5). (3)点N的坐标为(-1，)或(-1，-)或(-1，-1)或(-1，-3+). 52 【解题通法】 构造“两圆一线”模型 问题 若A(3，0)，B(0，4)，在坐标轴上求点C使得△ABC为等腰三角形(分三种情况讨论) 图形 53 找点 当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作☉A，则☉A与坐标轴的交点即为所求点C.如图1，有C1，C2，C3三个点 当BA=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作☉B，则☉B与坐标轴的交点即为所求点C.如图2，有C4，C5，C6三个点 当CA=CB时，作线段AB的中垂线l，则直线l与坐标轴的交点即为所求点C.如图3，有C7，C8两个点 求点坐标 分别表示出点A，B，C的坐标，再表示出线段AB，BC，AC的长度，由①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC列方程解出坐标 54 练4 (2024·齐齐哈尔节选)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的另一个交点为B(-1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E、点F. (1)求抛物线的表达式； (2)D是x轴上的任意一点，若△ACD是 以AC为腰的等腰三角形，请直接写出 点D的坐标； (3)当EF=AC时，求点P的坐标. 55 解：(1)直线y=x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的坐标分别为(4，0)，(0，-2)， ∴抛物线的表达式为y=a(x-4)(x+1)=a(x2-3x-4). 将C(0，-2)代入得-4a=-2，则a=， ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2. 56 (2)设D(m，0). ∵A(4，0)，C(0，-2)， ∴AC2=20，AD2=(m-4)2，CD2=m2+4. 当△ACD是以AC为腰的等腰三角形时， 则AC=AD或AC=CD， 即20=(m-4)2或20=m2+4， 解得m=4±2或4(舍去)或-4， ∴点D的坐标为(4+2，0)或(4-2，0)或(-4，0). 57 (3)设P(n，n2-n-2)，∴E(n2-3n，n2-n-2). ∵E，C，F，A四点共线，EF=AC， ∴xF-xE=xA-xC， ∴n-(n2-3n)=4-0， 解得n=2，∴P(2，-3). 58 考法❷　直角三角形存在性问题 例4 (2022·滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，BC. (1)求线段AC的长； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标； (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标. 59 【解题启发】 (1)根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标分别为　　　　；  (2)设出点P的坐标为　　　　，利用PA=　　　　　建立方程求解；  (3)分几种情况进行讨论？ 60 【规范解答】 解：(1)∵抛物线为y=x2-2x-3， 令y=0，解得x1=-1，x2=3，∴A(-1，0)，B(3，0). 令x=0，解得y=-3，∴C(0，-3)， ∴AO=1，CO=3，∴AC==. 61 (2)抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1. 设P(1，t)，则PA2=(1+1)2+(t-0)2=4+t2， PC2=(1-0)2+(t+3)2=1+(t+3)2. ∵PA=PC，∴4+t2=1+(t+3)2，解得t=-1， ∴点P的坐标为(1，-1). 62 (3)设M(m，m2-2m-3)， 则BM2=(m-3)2+(m2-2m-3-0)2=(m-3)2+(m2-2m-3)2， CM2=(m-0)2+(m2-2m-3+3)2=m2+(m2-2m)2， BC2=(3-0)2+(0+3)2=18. 当△BCM为直角三角形时，分以下三种情况： ①当CM2+BC2=BM2时，m2+(m2-2m)2+18=(m-3)2+(m2-2m-3)2， 解得m1=0(舍去)，m2=1， ∴M(1，-4)； 63 ②当BM2+BC2=CM2时，(m-3)2+(m2-2m-3)2+18=m2+(m2-2m)2， 解得m1=-2，m2=3(舍去)，∴M(-2，5)； ③当BM2+CM2=BC2时，(m-3)2+(m2-2m-3)2+m2+(m2-2m)2=18， 解得m1=0(舍去)，m2=3(舍去)，m3=，m4=， ∴M(，-)或(，-). 综上所述，点M的坐标为(1，-4)或(-2，5)或(，-)或 (，-). 64 【解题通法】 构造“K”形相似 问题 若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为y轴上一点，求点C使得△ABC为直角三角形 图形 65 找点 当点A为直角顶点时，构造△CAD∽△ABE，可得 = 当点B为直角顶点时，构造△BCE∽△ABD，可得 = 当点C为直角顶点时，构造△ACD∽△CBE，可得 = 求点 坐标 1.由点A，B的横、纵坐标及线段间比例关系可得点C的坐标； 2.由勾股定理列式计算：①当点A为直角顶点时，AB2+AC2=BC2； ②当点B为直角顶点时，AB2+BC2=AC2； ③当点C为直角顶点时，AC2+BC2=AB2 66 练5 (2024·遂宁)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，-3)，P，Q为抛物线上的两点. (1)求二次函数的表达式. (2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标. (3)设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 67 解：(1)由题意得y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3). 将点C(0，-3)代入得-3a=-3，解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 68 (2)易知抛物线的对称轴为直线x=1. ∵点P，C关于抛物线对称轴对称， ∴P(2，-3).设Q(n，n2-2n-3)， 则OP2=13，OQ2=n2+(n2-2n-3)2，PQ2=(2-n)2+(-n2+2n)2. ∵∠OPQ=90°，∴OP2+PQ2=OQ2， ∴13+(2-n)2+(-n2+2n)2=n2+(n2-2n-3)2， 整理得3n2-8n+4=0， 解得n1=，n2=2(舍去)，∴n=，∴Q(，-). 69 (3)存在. 由题意知点P(m，m2-2m-3)，则点Q(m+1，m2-4). 如图，设直线PQ交x轴于点H. 由点P，Q的坐标得直线PQ的表达式为y=(2m-1)x-m2-m-3， 令y=0，则x=，∴OH=， 则S=S△OHP-S△OHQ=OH· (yQ-yP)=×(m2-4-m2+2m+3)=(m2+m+3)=(m+)2+≥. ∵>0，S存在最小值，∴最小值为. 70 考法❸　等腰直角三角形存在性问题 例5 (2024·泰安)如图，抛物线C1：y=ax2+x-4的图象经过点D(1，-1)，与x轴交于点A、点B. 71 (1)求抛物线C1的表达式. (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上. (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 72 【解题启发】 (1)求抛物线表达式有哪几种方法？ (2)如何判断一个点是否在抛物线上？ (3)等腰直角三角形的性质是什么？如何利用其性质求点坐标？ 73 【规范解答】 解：(1)将点D(1，-1)代入抛物线C1的表达式得-1=a+-4，解得a=， ∴抛物线C1的表达式为y=x2+x-4. (2)由题意得C2：y=(x-1)2+(x-1)-4+3=(x-)2-， 当x=1时，y=×(1-)2-=-1， 故点D在抛物线C2上. 74 (3)存在. 令x2+x-4=0， 解得x1=，x2=-2， ∴A(，0)，B(-2，0). 75 ①当∠BDP为直角时，如图，过点D作DE⊥BD且DE=BD，则△BDE为等腰直角三角形，过点D作DH⊥EH，DG⊥BG，垂足分别H，G. ∵∠BDG+∠EDH=90°， ∠EDH+∠DEH=90°， ∴∠BDG=∠DEH. ∵∠DGB=∠EHD=90°， ∴△DGB≌△EHD(AAS)， 76 ∴BG=DH=1，DG=EH=1+2=3， ∴点E(2，2). 当x=2时，y=×(2-)2-=2， ∴点E在抛物线C2上， ∴点P即为点E，其坐标为(2，2)； 77 ②当∠DBP为直角时，如图， 同理可得△DHB≌△BGE(AAS)， ∴DH=3=BG，BH=1=GE， ∴点E(-1，3). 当x=-1时，y=×(-1-)2-=3， ∴点E在抛物线C2上， ∴点P即为点E，其坐标为(-1，3)； 78 ③当∠BPD为直角时，如图. 设点E(x，y)， 同理可得△EHB≌△DGE(AAS)， ∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x， 解得x=0且y=1，即点E(0，1). 当x=0时，y=×(0-)2-=-≠1， ∴点E不在抛物线C2上. 综上所述，点P的坐标为(2，2)或(-1，3). 79 【解题通法】 问题 图形 找点 求点坐标 若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，求点C使得△ABC为等腰直角三角形 以∠ACB为直角为例，构造“K”形全等，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为H，K △OAH≌△BOK， 则⇒ 80 练6 (2022·枣庄)如图1，已知抛物线L：y=x2+bx+c的图象经过点A(0， 3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线 段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点. 81 (1)求抛物线的关系式. (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当△OPE面积最大时，求出点P的坐标. (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围. (4)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 82 解：(1)把点A(0，3)，B(1，0)分别代入y=x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的关系式为y=x2-4x+3. 83 (2)∵OE平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE. ∵AC∥x轴，∴∠AEO=∠BOE，∴∠AOE=∠AEO， ∴AE=OA=3， ∴E(3，3)，∴直线OE的表达式为y=x. 如图，过点P作PQ∥y轴交OE于点Q. 设P(m，m2-4m+3)，则Q(m，m)， ∴S△OPE=×3[m-(m2-4m+3)]=-(m2-5m+3)=-(m-)2+， ∴当m=时，△OPE的面积最大，此时点P的坐标为(，-). 84 (3)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1， ∴顶点坐标为(2，-1). ∵直线OE的表达式为y=x，当x=2时，y=2， ∴当抛物线顶点落在OE上时，h=2-(-1)=3，当抛物线顶点落在AE上时，h=3-(-1)=4， ∴3≤h≤4. (4)点P的坐标为()或()或()或(). 85 类型4特殊四边形存在性问题 例6 (2023·枣庄)如图，抛物线 y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，C(0，3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D. 86 (1)求该抛物线的表达式. (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值. (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以点D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 87 【解题启发】 (1)怎样运用待定系数法求抛物线的表达式？ (2)如何求线段和的最小值？你学过解决这类问题的方法吗？ (3)根据平行四边形的对角线互相平分，能分几种情况求解？ 88 【规范解答】 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，C(0，3)两点， ∴解得 ∴该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 89 (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴M(1，4). 设直线AM的表达式为y=kx+m. 将点A(-1，0)，M(1，4)分别代入得解得 ∴直线AM的表达式为y=2x+2. 当x=0时，y=2，∴D(0，2). 90 如图，作点D关于x轴的对称点D'， 连接D'M， 则D'(0，-2)，MH+DH=MH+D'H≥D'M， ∴当M，H，D'三点共线时，MH+DH有最小值， 最小值为D'M的长. ∵D'(0，-2)，M(1，4)， ∴D'M==， 即MH+DH的最小值为. (3)存在.点Q的坐标为(1，3)或(1，1)或(1，5). 91 【解题通法】平移法或中点坐标公式法 已知 三个点 两个点 问题 已知平面上不共线三个点A，B，C，求一点P，使得A，B，C，P四个点组成平行四边形 已知平面上两个点A，B，求两点P，Q，使得A，B，P，Q四个点组成平行四边 形(题目中P，Q的位置有具体限制) 92 已知 三个点 两个点 找点 连接AB，AC，BC，分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所求的点P 分两种情况讨论：①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P，Q的位置；②若AB为平行四边形的对角线，取AB的中点，绕线段中点旋转AB，确定P，Q的位置 93 已知 三个点 两个点 求点坐标 ①分别求出直线P1P2，P2P3，P3P1的表达式，再求出交点即为点P；②可由点的平移来求坐标 ①平移法：通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；②中点坐标公式法：▱APBQ的四个点A，P，B，Q的坐标满足xA+xB=xP+xQ，yA+yB=yP+yQ 94 练7 (2024·绥化)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A(3，4)，B(0，1). 95 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC. 在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=tan∠ACB？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标. 96 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(3，4)，B(0，1)， ∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+1. (2)存在.理由如下： ∵BC∥x轴，B(0，1)，∴点C的纵坐标为1， ∴1=-x2+4x+1， 解得x1=0(舍去)，x2=4， ∴C(4，1). 97 如图，过点A作AQ⊥BC于点Q，设直线CP交y轴于点M. 在Rt△ACQ中，∵A(3，4)，∴Q(3，1). ∵tan∠BCP=tan∠ACB， ∴tan∠BCP=×=×=. ∵BC=4，∠CBM=90°， ∴=tan∠BCP=， ∴BM=BC=×4=2， ∴|yM-1|=2，∴yM=3或-1， ∴M1(0，3)，M2(0，-1)， 98 ∴直线CM1的表达式为y=-x+3，直线CM2的表达式为y=x-1. 联立解得或(舍去) ∴P1()； 99 联立解得或(舍去) ∴P2(-，-). 综上所述，满足条件的点P的坐标为()或(-，-). (3)点F的坐标为(-1，3)或(1，-2)或(3，4-)或(3，4+). 100 类型5角度问题 例7 (2024·武汉)抛物线y=x2+2x-交x轴于A，B两点(点A在点B的右边)，交y轴于点C. 101 (1)直接写出点A，B，C的坐标. (2)如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q.若BC平分线段PQ，求点P的坐标. (3)如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG.若∠EGF=90°，求直线DE的表达式. 102 【解题启发】 (1)知道抛物线的表达式，怎么求抛物线与坐标轴的交点坐标？ (2)平分线段PQ，你能找到什么数量关系？ (3)特殊角为90°，你能想到什么方法求解？ 103 【规范解答】 解：(1)A(1，0)，B(-5，0)，C(0，-). (2)设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0). 把点A(1，0)，C(0，-)分别代入得解得 ∴直线AC的表达式为y=x-. ∵PQ∥AC，∴设直线PQ的表达式为y=x+b'. 104 设P(t，t2+2t-)，∴t2+2t-=t+b'， ∴b'=t2-t-， ∴直线PQ的表达式为y=x+t2-t-. 令x=0得y=t2-t-， ∴Q(0，t2-t-). ∵BC平分线段PQ， ∴PQ的中点(t2+t-)在直线BC上. 105 由B(-5，0)，C(0，-)得直线BC的表达式为y=-x-， ∴t2+t-=--， 解得t=-2或t=0(舍去)， ∴P(-2，-). 106 (3)如图，过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S， ∴∠T=∠S=∠EGF=90°， ∴∠EGT=90°-∠FGS=∠GFS， ∴△ETG∽△GSF，∴=， ∴ET·SF=GS·TG. ∵点D与原点O关于C(0，-)对称，∴D(0，-5). 107 设直线EF的表达式为y1=k1x，直线ED的表达式为y2=k2x-5. 联立得k1x=x2+2x-， ∴x2+(2-k1)x-=0. 联立 得k2x-5=x2+2x-， ∴x2+(2-k2)x+=0. 108 设xE=e，xF=f，xG=g， ∴ef=-5，eg=5，e+g=2k2-4， ∴f=-g，ET=e2+2e--(g2+2g-)=(e+g+4)(e-g)， SF=f2+2f--(g2+2g-) =(f+g+4)(f-g). ∵ET·SF=GS·TG， 109 ∴(e+g+4)(e-g)·(f+g+4)(f-g)=(f-g)(g-e)， ∴(e+g+4)(e-g)·(-g+g+4)(-g-g) =(-g-g)(g-e)， ∴e+g=-5， ∴2k2-4=-5， 解得k2=-， ∴直线DE的表达式为y=-x-5. 110 练8 抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)、点B(3，0)，顶点为C. (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m， 求m的取值范围. 111 解：(1)由题意知抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，点B(3，0)， 代入得解得 ∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴点C的坐标为(1，4). 112 (2)如图，过点C作CM⊥AB于点M. 设点D(t，0)， 则DM=t-1，DC=DA=t+1. 在Rt△CMD中， 42+(t-1)2=(t+1)2，解得t=4， ∴D(4，0). 113 过点P作PN⊥AB于点N，则PN∥CM， ∴△DPN∽△DCM. 设点P的坐标为(n，-n2+2n+3)， ∴=， 解得n=或n=1(舍去)， ∴点P的坐标为(). 114 (3)如图. ∵P()，C(1，4)，A(-1，0)， ∴PC=，AC=2. ∵DA=DC， ∴∠DAC=∠DCA. ∵∠CEF=∠CAB+∠AFE， ∠PEF=∠CAB， 115 ∴∠CEP=∠AFE，∴△EPC∽△FEA，∴=， ∴PC·AF=AE·CE，∴(m+1)=AE·(2-AE)， ∴m=-AE2+AE-1=-(AE-)2+. 当AE= 时，m取得最大值为. ∵0<AE<2， ∴-1<m≤. 116 类型6函数性质探究问题 例8 (2024·威海)已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为 (x1，0)，(x2，0)，且x1<x2. (1)若抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)， (x4，0)，且x3<x4.试判断下列每组数据的大小：(填写“<”“=”或“>”) ①x1+x2　　　　x3+x4；  ②x1-x3　　　　x2-x4；  ③x2+x3　　　　x1+x4.  (2)若x1=1，2<x2<3，求b的取值范围； (3)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为，求b的值. 117 【解题启发】 (1)x1，x2，x3，x4与x轴的交点有什么关系？ (2)x1，x2的值与b有什么关系？ (3)在一定范围内，抛物线的最值与对称轴有什么关系？ 118 【规范解答】 解：(1)①=　②<　③> (2)∵x1=1，2<x2<3，∴3<x1+x2<4， ∴3<-b<4，∴-4<b<-3. (3)抛物线y=x2+bx+c(b<0)顶点坐标为(-)，对称轴为直线x=->0. 当x=0时，y=c； 当x=1时，y=1+b+c. 119 ①当-≥1时，即b≤-2，此时在x=0处取得最大值，x=1处取得最小值，有 c-(1+b+c)=，解得b=-(不符合题意，舍去)； ②当<-<1时，即-2<b<-1，此时在x=0处取得最大值，顶点取得最小值， 有c-=，解得b=(舍去)或b=-； 120 ③当-=时，即b=-1，此时在x=0或1处取得最大值，x=处取得最小值，经计算可得最大值与最小值的差为，与题目矛盾，∴b=-1不符合题意； ④当0<-<时，即-1<b<0，此时在x=1处取得最大值，顶点取得最小值，有1+b+c-=，解得b=-或b=-(舍去). 综上所述，b的值为-或-. 121 练9 (2024·安徽)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线 y=-x2+2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值； (2)点A(x1，y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x1+t，y1+h)在抛物线 y=-x2+bx上. (ⅰ)若h=3t，且x1≥0，t>0，求h的值； (ⅱ)若x1=t-1，求h的最大值. 122 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为，y=-x2+2x的顶点横坐标为1， ∴-1=1，∴b=4. (2)∵点A(x1，y1)在抛物线y=-x2+2x上， ∴y1=-+2x1. ∵点B(x1+t，y1+h)在抛物线y=-x2+4x上， ∴y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t)， 即-+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t)， ∴h=-t2-2x1t+2x1+4t. 123 (Ⅰ)∵h=3t，∴3t=-t2-2x1t+2x1+4t，∴t(t+2x1)=t+2x1. ∵x1≥0，t>0，∴t+2x1>0， ∴t=1，∴h=3. (Ⅱ)将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t， ∴h=-3t2+8t-2=-3(t-)2+. ∵-3<0，∴当t=，即x1=时，h取最大值，最大值为. 124 $$