08专题八 反比例函数综合题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 目 录 中考命题研究 专题分类突破 4 专题 类型 考频 命题趋势 反比例函数综合题 反比例函数与 一次函数的综合 5年25考 1.考什么 反比例函数的综合是近两年山东中考的热点.反比例函数常与一次函数、几何图形等相结合，以解答题的形式考查数学核心素养以及利用综合知识解决问题的能力 2.怎么考 反比例函数的综合题的考查一般与直线、三角形、四边形相结合，涉及求面积、线段的最值问题、特殊三角形、四边形的存在性问题等.设问一般为2～3小问，难度中等偏上 反比例函数与 几何变换的综合 5年7考 反比例函数与常见 图形存在性问题 的综合 5年3考 5 类型1反比例函数与一次函数的综合 例1 (2024·东营)如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(-3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D. (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)根据图象直接写出不等式mx+n>的解集. (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP=4S△OBD，求点P的坐标. 6 【解题启发】 (1)怎么用待定系数法求表达式？ (2)不等式mx+n>的解集，表现在函数图象上，谁的图象在上方 ？ (3)怎么求△OCP和△OBD的面积？ 7 【规范解答】 解：(1)将点B(1，3)代入反比例函数y=得3=， ∴k=3， ∴反比例函数的表达式为y=. 将点A(-3，a)代入反比例函数y=得a==-1， ∴点A的坐标为(-3，-1). 将点A和点B的坐标分别代入y=mx+n得 解得 ∴一次函数的表达式为y=x+2. 8 (2)-3<x<0或x>1. (3)将x=0代入y=x+2得y=2，∴点D的坐标为(0，2)， ∴S△OBD=×2×1=1，∴S△OCP=4S△OBD=4. 将y=0代入y=x+2，得x=-2，∴点C的坐标为(-2，0)， ∴S△OCP=×2|yP|=4，解得|yP|=4. ∵点P在第三象限，∴yP=-4. 将yP=-4代入y=得xP=-， ∴点P的坐标为(-，-4). 9 练1 如图，直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，在直线上取点A(2，a)，过点A作反比例函数y=(x>0)的图象. (1)求a的值及反比例函数的表达式. (2)P为反比例函数y=(x>0)图象上的一点. 若S△POB=2S△AOB，求点P的坐标. (3)在x轴上是否存在点Q，使得∠BOA=∠OAQ？ 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 10 解：(1)把点A(2，a)代入直线y=2x+2得 a=2×2+2=6，∴A(2，6). 把点A(2，6)代入反比例函数y=得k=12， ∴反比例函数的表达式为y=. (2)当x=0时，y=2x+2=2×0+2=2，∴B(0，2)，∴OB=2， ∴S△AOB=OB·xA=×2×2=2，∴S△POB=2S△AOB=4. ∵S△POB=OB·xP=×2xP=4，∴xP=4. 将xP=4代入y=得y=3，∴点P的坐标为(4，3). 11 (3)存在.理由如下： ①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作AQ1∥y轴交x轴于点Q1， 则∠BOA=∠OAQ1，∴Q1(2，0)； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如图，设AQ2与y轴交于点D(0，b). ∵∠BOA=∠OAQ2，∴AD=OD，∴22+(6-b)2=b2， 解得b=，∴D(0，). 12 设直线AQ2的表达式为y=mx+n. 将点A，D的坐标分别代入y=mx+n得 解得 ∴直线AQ2的表达式为y=x+. 当y=0时，x=-，∴点Q2的坐标为(-，0). 综上所述，点Q的坐标为(2，0)或(-，0). 13 类型2反比例函数与几何变换的综合 例2 (2023·菏泽)如图，已知坐标轴上两点A(0，4)，B(2，0)，连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=在第一象限的图象于点C(a，1). (1)求反比例函数y=和直线OC的表达式. (2)将直线OC向上平移 个单位长度，得到直线l， 求直线l与反比例函数图象的交点坐标. 14 【解题启发】 (1)怎么求出反比例函数和正比例函数的表达式？ (2)根据平移规律，怎么求出平移后的表达式？ 15 【规范解答】 解：(1)如图，过点C作CD⊥x轴于点D， 则∠CDB=90°. ∵C(0，1)，∴CD=1. ∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBD=90°. ∵∠CDB=90°， ∴∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠BCD=∠ABO， ∴△ABO∽△BCD，∴=. 16 ∵A(0，4)，B(2，0)，∴OA=4，OB=2，∴=， ∴BD=2，∴OD=OB+OD=2+2=4，∴C(4，1). 将点C(4，1)代入反比例函数y=中得k=4，∴y=. 设直线OC的表达式为y=mx， 将点C(4，1)代入y=mx得1=4m，解得m=， ∴直线OC的表达式为y=x. 17 (2)由题意可得直线l的表达式为y=x+， 联立解得或 ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(2，2)或(-8，-). 18 练2 (2023·济宁)如图，正比例函数y1=x和反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2). (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线OA向上平移3个单位长度后，与y轴交于点B， 与y2=(x>0)的图象交于点C，连接AB，AC， 求△ABC的面积. 19 解：(1)将点A(m，2)代入正比例函数y1=x得m=2，解得m=4，∴A(4，2). 把点A(4，2)代入反比例函数y2=(x>0)得=2， 解得k=8， ∴反比例函数的表达式为y2=. 20 (2)将直线OA向上平移3个单位长度后， 其表达式为 y=x+3， 当x=0时，y=3，∴点B的坐标为(0，3). 设直线AB的表达式为yAB=tx+n， 将A(4，2)，B(0，3)两点分别代入可得 解得 21 ∴直线AB的表达式为yAB=-x+3. ∵点C是直线OA向上平移3个单位长度后与反比例函数的交点， ∴联立方程组解得(舍去)或 ∴点C的坐标为(2，4). 22 如图，过点C作CM⊥x轴，交AB于点N. 在yAB=-x+3中， 当x=2时，y=， ∴CN=4-=， ∴S△ABC=××4=3. 23 练3 (2024·济南)已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2，a)，B是线段OA上(不与点A重合)的一点. (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y=(x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90° 得到点E，当点E恰好落在y=(x>0)的 图象上时，求点E的坐标. 24 解：(1)将点A(2，a)代入y=3x得a=3×2=6， ∴A(2，6). 将点A(2，6)代入 y=得6=，解得k=12， ∴反比例函数的表达式为 y=. (2)设点B(m，3m)，则点D(m+3，3m)， 将点D(m+3，3m)代入y=得3m(m+3)=12， 解得 m1=1，m2=-4 (舍去)， ∴B(1，3). 25 (3)如图，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H， 过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB=∠BFA=90°， ∴∠HEB+∠EBH=90°. ∵点A绕点B顺时针旋转 90°， ∴∠ABE=90°，BE=BA， ∴∠EBH+∠ABF=90°， ∴∠BEH=∠ABF， 26 ∴△EHB≌△BFA(AAS)， ∴EH=BF，BH=AF. 设点B(n，3n)，则EH=BF=6-3n，BH=AF=2-n， ∴点E(6-2n，4n-2)，∴(4n-2)(6-2n)=12， 解得 n1=，n2=2， ∴点E(3，4)或(2，6)(舍去)，此时点E(3，4). 27 类型3反比例函数与常见图形存在性问题的综合 例3 如图，一次函数y1=k1x+4与反比例函数y2=的图象 交于点A(2，m)和B(-6，-2)，与y轴交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点A作AD⊥x轴于点D，P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC∶S△ODE=5∶1时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M是直线OP上的一个动点，当△MBC是以BC为斜边的直角三角形时，求点M的坐标. 28 【解题启发】 (1)怎样用待定系数法求函数表达式？ (2)如何求直线OP的表达式？ (3)以BC为斜边的直角三角形有几种情况？ 29 【规范解答】 解：(1)将点B(-6，-2)代入y2=得-2=， 解得k2=12，∴2m=12，解得m=6， ∴A(2，6)，反比例函数的表达式为y2=. 将点A(2，6)代入y1=k1x+4得2k1+4=6， 解得k1=1， ∴一次函数的表达式为y1=x+4. 30 (2)如图. ∵一次函数的表达式为y1=x+4，当x=0时，y=4， ∴C(0，4)，∴OC=4. ∵S四边形ODAC∶S△ODE=5∶1， ∴×(4+6)×2=5××2DE， 31 解得DE=2，∴E(2，2)， ∴直线OP的表达式为y=x. 联立 解得x=2(负值已舍去)， ∴P(2，2). 32 (3)如图，取BC的中点G，连接MG. ∵∠BMC=90°， ∴GM=BC. ∵B(-6，-2)，C(0，4)， ∴G(-3，1)， ∴GC==3， ∴GM=3. 33 设M(x，x)， ∴(x+3)2+(x-1)2=(3)2， 解得x1=-1+，x2=-1-， ∴M(-1+，-1+)或(-1-，-1-). 34 练4 (2024·宜宾)如图，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1，4)，B(n，-1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)利用图象，直接写出不等式ax+b<的解集. (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标. 35 解：(1)将点A(1，4)代入反比例函数表达式得k=4×1， ∴反比例函数的表达式为y=. 将点B(n，-1)代入y=得n=-4， ∴B(-4，-1). 将点A(1，4)，B(-4，-1)分别代入一次函数y=ax+b得 解得 ∴一次函数的表达式为y=x+3. 36 (2)0<x<1或x<-4. (3)设C(m，)，D(x，0). 当AB为对角线时，由中点坐标公式得4+(-1)=， 解得m=，则C(，3)； 当AC或AD为对角线时，同理可得4+=-1或4=-1， 解得m=±， ∴C(-，-5)或(，5). 综上所述，点C的坐标为(，3)或(-，-5)或(，5). 37 $$