07专题七 圆的综合题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 目 录 中考命题研究 专题分类突破 4 专题 类型 考频 命题趋势 圆的综合题 与切线的判定有 关的证明及计算 5年6考 1.考什么 圆的综合题常以解答题的形式进行考查，设问方式常为切线的判定、线段的长度、求圆的半径、求阴影部分的面积等 2.怎么考 设问通常为2～3问，难度中等偏上，常与全等三角形、相似三角形、勾股定理等知识结合考查，需要作出相应的辅助线解决问题 与切线的性质有 关的证明及计算 5年2考 与圆有关的动态 问题的证明及计算 5年4考 与圆的基本性质有 关的证明及计算 5年6考 5 类型1与切线的判定有关的证明及计算 例1 (2024·雅安)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA=∠B. (1)求证：PC是☉O的切线； (2)若sin B=，求证：AC=AP； (3)若CD⊥AB于点D，PA=4，BD=6，求AD的长. 6 【解题启发】 (1)判定圆的切线的方法有哪些？ (2)看见锐角三角函数，你首先想到什么？在什么三角形中才能应用锐角三角函数？ (3)利用什么方法才能求出线段的长？ 7 (1)证明：如图，连接OC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠BCO+∠OCA=90°. ∵OB=OC，∴∠B=∠BCO. ∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠BCO， ∴∠PCA+∠OCA=90°，∴OC⊥PC. 又∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线. 8 (2)证明：∵sin B=，∴∠B=30°，∴∠PCA=∠B=30°. 由(1)知∠ACB=90°， ∴∠CAB=60°，∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°， ∴∠PCA=∠P，∴AC=AP. 9 (3)解：设AD=x. 易得△BDC∽△CDA，∴=， ∴CD2=AD·BD=6x. ∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，∴△PAC∽△PCB， ∴=，∴PC2=PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x). 在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2， ∴(4+x)2+6x=4(10+x)，整理得x2+10x-24=0， 解得x1=2，x2=-12(舍去)，∴AD=2. 10 【规范解答】 练1 (2024·广元)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，☉O经 过A，C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC 于点E. (1)求证：DE为☉O的切线； (2)若AC=4，tan∠CFD=2，求☉O的半径. 11 (1)证明：如图，连接OD. ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°， ∴∠COD=2∠CAB=90°. ∵DE∥CF， ∴∠COD+∠EDO=180°， ∴∠EDO=180°-∠COD=90°. ∵OD为☉O的半径， ∴DE为☉O的切线. 12 (2)解：如图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵△ACB为等腰直角三角形，AC=4， ∴AB=4，∴CH=AH=2. ∵tan∠CFD=2，∴=2，∴FH=. 在Rt△CFH中， ∵CF2=CH2+FH2，∴CF=. 设半径为r. 在Rt△FOD中，∵tan∠CFD==2， ∴=2，∴r=. 13 练2 (2024·兰州)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，D为☉O上一点，BC=BD，延长BA至点E，使得∠ADE=∠CBA. (1)求证：ED是☉O的切线； (2)若BO=4，tan∠CBA=，求ED的长. 14 (1)证明：如图，连接OD. ∵AB为☉O的直径， ∴∠BCA=∠BDA=90°，OB=OD， ∴∠DBA=∠BDO. 在Rt△BCA和Rt△BDA中， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)，∴∠CBA=∠DBA. 又∵∠ADE=∠CBA，∴∠ADE=∠DBA=∠BDO. ∵∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°， ∴∠ADE+∠ADO=90°，即ED⊥OD. ∵OD为☉O的半径， ∴ED是☉O的切线. 15 (2)解：∵BO=4，∴AB=2OB=8，∴EB=AE+8. ∵tan∠CBA=，∠CBA=∠DBA，∴tan∠DBA=. 在Rt△ABD中，tan∠DBA==， ∴设AD=a，BD=2a. ∵∠ADE=∠DBA，∠E=∠E，∴△EAD∽△EDB， ∴==，即==. 16 由=，得EA=ED， 由=，得2ED=EA+8， ∴2ED=ED+8，∴ED=. 17 练3 (2024·齐齐哈尔)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F. (1)求证：CF是☉O的切线； (2)若sin∠CFB=，AB=8，求图中阴影部分的面积. 18 (1)证明：如图，连接OC. ∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°. ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC. ∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB， ∴∠EBC=∠DBC， ∠E=∠BDC=90°， ∴∠OCB=∠CBE，∴OC∥BE，∴∠FCO=∠E=90°. ∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 19 (2)解：∵sin∠CFB=，∴∠CFB=45°. ∵∠FCO=90°，∴∠COF=CFO=45°， ∴CF=OC=AB=4. 又∵∠CDO=90°，∴∠OCD=∠COD=45°， ∴CD=OD=OC=2， ∴S阴影=S扇形AOC-S△COD=-×2×2=2π-4. 20 类型2与切线的性质有关的证明及计算 例2 (2024·深圳)如图，在△ABD中，AB=BD，☉O为△ABD的外接圆，BE为☉O的切线，AC为☉O的直径，连接DC并延长交BE于点E. (1)求证：DE⊥BE； (2)若AB=5，BE=5，求☉O的半径. 21 【解题启发】 (1)切线的性质、圆周角定理、中垂线的判定和性质是什么？ (2)灵活运用矩形的性质及直角三角形中三边的关系，如何找到它们之间的等量关系？ 22 【规范解答】 (1)证明：如图，连接BO并延长交AD于点H，连接OD. ∵AB=BD，OA=OD， ∴BH垂直平分AD， ∴∠BHD=90°. ∵BE为☉O的切线， ∴OB⊥BE， ∴∠OBE=90°. ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴四边形BEDH为矩形，∴∠E=90°，∴DE⊥BE. 23 (2)解：∵BH垂直平分AD，∴AH=DH=AD. ∵四边形BEDH为矩形，∴DH=BE=5. 在Rt△BDH中，BD=AB=5，DH=5， ∴BH==5. 设☉O的半径为r，则OH=5-r，OD=r. 在Rt△ODH中，(5-r)2+52=r2， 解得r=3，即☉O的半径为3. 24 练4 (2024·贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE. (1)写出图中一个与∠DEC相等的角：　　　　；  (2)求证：OD⊥AB； (3)若OA=2OE，DF=2，求PB的长. 25 (1)解：∠DCE(答案不唯一) (2)证明：如图，连接OC. ∵PC与半圆相切于点C， ∴∠OCD=90°， ∴∠DCE+∠ACO=90°. ∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO. ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEO， ∴∠CAO+∠AEO=90°，∴∠AOE=90°，∴OD⊥AB. 26 (3)解：∵OA=2OE， ∴设OE=x，AO=2x，∴EF=OF-OE=x， ∴DC=DE=x+2，OD=2x+2. 在Rt△CDO中，OC2+CD2=OD2， ∴(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2， 解得x=4或x=0(不合题意，舍去)， ∴OD=10，OC=OB=8，CD=6. 27 ∵∠DOP=∠OCD=90°， ∴∠D+∠DOC=∠DOC+∠COP=90°， ∴∠D=∠COP，∴△CDO∽△COP， ∴=，∴=，∴PO=， ∴PB=PO-OB=-8=. 28 练5 (2024·大庆)如图，△ABC为☉O的内接三角形，AB为☉O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在☉O上.连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作☉O的切线交BP于点G. (1)求证：AG∥CD； (2)求证：PA2=PG·PB； (3)若sin∠APD=，PG=6.求tan∠AGB的值. 29 (1)证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD， ∴AB⊥CD. ∵AB为☉O的直径，AG为☉O的切线， ∴AG⊥AB，∴AG∥CD. 30 (2)证明：∵AG为☉O的切线，∴AG⊥AB. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°-∠DAB=∠GAD. 由折叠可得∠ABD=∠ABC， ∴∠CBD=2∠ABD. ∵四边形ADBC是☉O的内接四边形， ∴∠PAD=180°-∠CAD=∠DBC=2∠ABD， ∴∠PAG=∠PAD-∠GAD=2∠ABD-∠ABD=∠ABD. 又∵∠APG=∠BPA，∴△APG∽△BPA， ∴=，即PA2=PG·PB. 31 (3)解：∵sin∠APD==，∴设AD=a，则AP=3a， ∴PD==2a， ∴tan∠APD===. 由折叠可得AC=AD=a， ∴PC=PA+AC=3a+a=4a. 在Rt△PCB中，tan∠CPB==， ∴BD=CB=PC=a. ∵AD⊥BD，GA⊥AB，∴∠AGB=90°-∠GAD=∠DAB， ∴tan∠AGB=tan∠DAB===. 32 类型3与圆有关的动态问题的证明及计算 例3 (2024·日照)如图1，AB 为☉O的直径，AB=12，C是☉O上异于A，B 的任一点，连接AC，BC，过点 A 作射线AD⊥AC，D 为射线AD上一点，连接CD. 【特例感知】 (1)若BC=6，则 AC=　　　　；  (2)若点C，D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B，求证：四边形ABCD 是平行四边形； 33 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=，连接OD. (3)如图2，当CD 与☉O 相切时，求OD 的长度； (4)求OD长度的取值范围. 34 【解题启发】 (1)圆中见到直径，首先会考虑什么？ (2)根据已知条件，能否利用三角形全等找边角关系？ (3)是否需作辅助线，题干中给出的三角函数值如何使用？ (4)OD的取值范围可以直接求出来吗？若不能，需借助哪条线段来求？ 35 【规范解答】 (1)解：6 (2)证明：∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°， ∴AD∥BC. ∵∠ADC=∠B，AC=CA，∴△ADC≌△CBA(AAS)， ∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 36 (3)解：在Rt△ACD中，∵tan∠ADC=， ∴∠ADC=60°，∠ACD=30°. 如图，连接OC. ∵CD是☉O的切线，∴OC⊥CD， ∴∠ACD+∠ACO=90°. 又∵∠ACO+∠OCB=90°， ∴∠ACD=∠OCB， ∴∠B=∠ACD=30°. 37 在Rt△ABC中，AC=AB·sin 30°=6， 在Rt△ACD中， CD==4， ∴在Rt△COD中， OD===2. 38 (4)解：如图， 过点A作射线AF⊥AB， 作射线OF 满足∠AOF=60°，射线AF 与OF 交于点F，连接OC，CF. 在Rt△AOF中，AF=OA·tan 60°=OA. ∵tan∠ADC=，∴AC=AD. ∵AF=OA，∴==. ∵∠DAC=∠OAF=90°， ∴∠DAC+∠CAO=∠OAF+∠CAO， 39 即∠DAO=∠CAF，∴△CAF∽△DAO， ∴==， 即CF=DO. 在Rt△AOF中，∵OA=6，AF=OA=6， ∴OF==12. 又∵|OF-OC|≤CF≤OF+OC， ∴6≤CF≤18，∴2≤OD≤6. 40 练6 (2023·济宁)如图，已知AB是☉O的直径，CD=CB，BE切☉O于点 B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF. (1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE. (2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN. 请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论. 41 (1)证明：∵CF⊥OE，OC是☉O的半径， ∴CF是☉O的切线. ∵BE是☉O的切线，∴BF=CF. ∵EF=2BF，∴EF=2CF，∴sin E==， ∴∠E=30°，∠EOB=60°. ∵CD=CB，∴=，∴OC⊥BD. 42 ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°=∠EBO. ∵∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°， ∴∠E=∠ABD=30°，∴AD=AB=BO，∠DAB=60°. 在△ADB和△OBE中， ∴△ADB≌△OBE(AAS). 43 (2)解：MN=BM+DN. 理由如下：如图，延长ND至点H，使得DH=BM，连接CH，BD. ∵∠MBC+∠NDC=180°， ∠HDC+∠NDC=180°， ∴∠HDC=∠MBC. ∵CD=CB，DH=BM， ∴△HDC≌△MBC(SAS)， ∴∠DCH=∠BCM，CH=CM. 44 由(1)可得∠ABD=30°. 又∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120°. ∵∠MCN=60°， ∴∠BCM+∠NCD=120°-∠MCN=60°， ∴∠DCH+∠NCD=∠NCH=60°， ∴∠NCH=∠MCN. ∵NC=NC，∴△CNH≌△CNM(SAS)， ∴HN=MN，∴MN=DN+DH=DN+BM， 即MN=BM+DN. 45 练7 (2024·淄博)在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习. 【操作发现】 小明作出了☉O的内接等腰三角形ABC，AB=AC，并在BC边上任取一点D(不与点B，C重合)，连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，如图1. 小明发现，CE与☉O的位置关系是　　　　.请说明理由.  【实践探究】 连接DE，与AC相交于点F，如图2.小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值.请求出当AB=3，BC=6时，CF长的最大值. 46 【问题解决】 在图2中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD∶DB与点F分线段DE所成的比DF∶FE始终相等.请予以证明. 47 【操作发现】解：相切 理由如下：如图，连接CO并延长交☉O于点M，连接AM. ∵CM是☉O的直径，∴∠MAC=90°，∴∠AMC+∠ACM=90°.∵∠ABC=∠AMC，∴∠ABC+∠ACM=90°. ∵△ACE由△ABD绕点A逆时针旋转得到， ∴∠ABC=∠ACE，∴∠ACE+∠ACM=90°， ∴∠MCE=90°. ∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线. 48 【实践探究】 解：∵△ACE由△ABD绕点A逆时针旋转得到， ∴∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE， ∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠ABC=∠ADE. ∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. 49 设BD=x，则DC=BC-BD=6-x. ∵∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠FDC，∴∠BAD=∠FDC， ∴△ABD∽△DCF，∴=，即=， 解得CF=-(x-3)2+. ∵0<x<6，-<0， ∴当x=3时，CF取最大值，最大值为. 50 【问题解决】证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H，过点E作EK⊥AC于点K， ∴∠DHF=∠EKF=90°. ∵∠DFH=∠EFK，∴△DHF∽△EKF，∴=. ∵===，S△ABD=S△ACE， ∴=. 51 类型4 与圆的基本性质有关的证明及计算 例4 (2024·烟台)如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE. (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数； (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明； (3)若CI=2，DI=，求△ABC的周长. 52 【解题启发】 (1)圆内接四边形的性质有哪些？ (2)什么是内心？能否利用内心的性质转换角的关系？ (3)三角形的内切圆有哪些性质？如何将三角形的周长转化为已知线段的长度？ 53 【规范解答】 解：(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°. ∵∠ABC=25°，∴∠CAB=90°-25°=65°. ∵四边形ABEC是☉O的内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB=180°，∴∠CEB=180°-∠CAB=115°. 54 (2)DI=AD=BD. 证明：如图，连接AI. ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI=∠ACB=45°， ∴=，∴∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD. ∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI=∠DIA，∴DI=AD=BD. 55 (3)如图，过点I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P. ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴AQ=AF，CF=CP，BQ=BP. ∵CI=2，∠IFC=90°，∠ACI=45°， ∴CF=CI·cos 45°=2=CP. ∵DI=AD=BD，DI=，∠ADB=90°， ∴AB===×=13， ∴C△ABC=AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+BP=AB+AQ+2CF+BQ=2AB+2CF =2×13+2×2=30. 56 练8 (2024·包头)如图，AB是☉O的直径，BC，BD是☉O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE>BE)，连接OC，CE，且∠BOC=2∠BCE. (1)如图1，若BE=1，CE=，求☉O的半径； (2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC.(请用两种证法解答) 57 (1)解：如图，过点O作OH⊥BC于点H. ∵OC=OB，OH⊥BC， ∴∠COH=∠BOH，CH=BH. ∵∠BOC=2∠BCE， ∴∠BOH=∠BCE. ∵∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠BCE+∠OBH=90°，∴∠CEB=90°， ∴BC===，∴CH=BH=. ∵cos∠OBH==，∴=， ∴OB=3，∴☉O的半径为3. 58 (2)证明：证法一：如图，过点O作OK⊥BD于点K，则 BK=DK. ∵BD=2OE，∴OE=BK. ∵∠CEO=∠OKB=90°，OC=OB， ∴Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)， ∴∠COE=∠OBK，∴OC∥BD. 59 证法二：如图，过点O作OK⊥BD于点K，则BK=DK. ∵BD=2OE，∴OE=BK. ∵cos∠COE=，cos∠OBK=， OC=OB， ∴cos∠COE=cos∠OBK， ∴∠COE=∠OBK，∴OC∥BD. 60 练9 (2024·福建)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F. (1)求的值； (2)求证：△AEB∽△BEC； (3)求证：AD与EF互相平分. 61 (1)解：∵AB=AC，AB是☉O的直径，∴AC=2AO. ∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC 中，tan∠AOC==2. ∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE 中，tan∠AOC==2， ∴=. 62 (2)证明：如图，过点B作 BM∥AE，交EO的延长线于点M， ∴∠BAE=∠ABM， ∠AEO=∠BMO=90°. ∵AO=BO， ∴△AOE≌△BOM(AAS)， ∴AE=BM，OE=OM. ∵=，∴AE=2OE=EM=BM， ∴∠MEB=∠MBE=45°， 63 ∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°， ∠BEC=180°-∠MEB=135°，∴∠AEB=∠BEC. ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°，∴∠ABM=∠CBE， ∴∠BAE=∠CBE，∴△AEB∽△BEC. 64 (3)证明：如图，连接DE，DF. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO. ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴BC=2BD，∠DAB=45°. 由(2)知△AEB∽△BEC， ∴===，∠EAO=∠EBD， ∴△AOE∽△BDE，∴∠BED=∠AEO=90°， ∴∠DEF=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴AF∥DE. 由(2)知∠AEB=135°，∴∠AEF=180°-∠AEB=45°. ∵∠DFB=∠DAB=45°，∴∠DFB=∠AEF，∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形，∴AD与EF互相平分. 65 $$