06专题六 解直角三角形的实际应用题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 目 录 中考命题研究 专题分类突破 4 专题 类型 考频 命题趋势 解直角 三角形 的实际 应用题 俯角、仰角问题 5年28考 1.考什么 近几年对于解直角三角形的实际应用，连续考查 2.怎么考 通常在填空题或解答题中考查，解直角三角形的实际应用均为坡度、仰俯角、方向角结合考查，考查的模型多为三角形和四边形模型，难度中等 坡角、坡度 (坡比)问题 5年10考 方向角问题 5年10考 其他问题 5年16考 5 类型1俯角、仰角问题 例1 (2024·甘肃)甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD=EF=1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) 6 【解题启发】 应如何作辅助线构造直角三角形？怎样解直角三角形？ 【规范解答】 解：风电塔筒AH的高度约为105.6 m. 7 【解题通法】 解题方法 基本图形 方法解读 遇锐角作三角形内部垂线 (1)三角形中含有30°，45°，60°特殊角，在三角形内部作垂线，构造直角三角形； (2)构造“背靠背”型直角三角形，利用特殊角的三角函数值，求出未知线段的长度 8 解题方法 基本图形 方法解读 遇钝角反向延长作垂线 (1)三角形为钝角三角形，且钝角为120°，135°，150°，反向延长作垂线； (2)构造“母子”型直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解 遇75°，105°角，作垂线将其分解为两个特殊角 (1)三角形中含有75°，105°，可分解为含有30°，45°，60°的特殊角； (2)利用特殊角的三角函数值求解 9 解题方法 基本图形 方法解读 遇“组合图形”将其分割成特殊四边形与直角三角形 (1)不规则图形可以通过作辅助线，将图形分割成特殊四边形和直角三角形； (2)利用锐角三角函数求解 10 练1 (2024·通辽)在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从点C测得杨树底端点B的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的点D测得杨树顶端点A的仰角为45°，求杨树AB的高度.(精确到0.1米.AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上.参考数据：≈1.73) 解：杨树AB的高度约为6.2米.a 11 类型2坡角、坡度(坡比)问题 例2 (2023·仙桃)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米.参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 【解题启发】 斜面坡度i=3∶4，指的是哪两条线段的比值？ 【规范解答】 解：斜坡AB的长约为10.3米. 12 练2 某地根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯.如图1，起初工程师计划修建一段坡角为50°(即∠ABC=50°，∠BAC=40°)的爬梯AB，从安全角度考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，如图2，修建了AD，EF两段平行的爬梯，并在中间修建了1米的水平平台DE，点C，B，F三点共线，小明实地测量后得到AC为4米，CF为5米. (1)求修改后的爬梯坡角比修改前的坡角减缓了多少度； (2)求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离.(结果精确到0.1米.参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 13 解：(1)修改后的爬梯坡角比修改前的坡角减缓了5度. (2)修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离约为1.6米. 14 练3 (2024·威海)某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表(尚不完整). 15 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××　组员：×××、×××、××× 测量工具 竹竿、米尺 测量 示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿.D是竹竿上一点.线段DE的长度是点D到地面的 距离.∠α是要测量的倾斜角 测量数据   …… …… 16 (1)设AB=a，BC=b，AC=c，CE=d，DE=e，CD=f，BE=g，AD=h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏； (2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程； (3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数，你选择的按键顺序为　　　　.  17 解：(1)AB=a，AC=c，DE=e，CD=f. (2)如图，过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB=90°. ∵DE⊥CB，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM， ∴=，即=，∴AM=，∴sin α===. (3)① 18 类型3方向角问题 例3 (2024·宜宾)宜宾地标广场位于三江汇合口(左侧是岷江，右侧是金沙 江，正面是长江).某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的 两岸选择两个标点C，D，在地标广场上选择两个观测点A，B(点A，B， C，D在同一水平面，且AB∥CD).如图所示，在点A处测得点C在北偏西 18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏 西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB=100 m.求 长江口的宽度CD的值.(结果精确到1 m.参考数据：sin 18.17°≈0.31， cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 21.34°≈0.36，cos 21.34°≈ 0.93，tan 21.34°≈0.39) 19 【解题启发】 如何添加辅助线使线段AB与CD之间有关联？ 【规范解答】 解：长江口的宽度CD的值约为1 200 m. 20 练4 (2023·潍坊)如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向，一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富，若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？(结果保留根号) 解：输油管道的最短长度是(6-6)千米. 21 类型4其他问题 例4 (2024·苏州)图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆 AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10 cm，BC=20 cm，AD=50 cm. (1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑 杆CD的长度；(结果保留根号) (2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向 旋转角度α，且tan α=(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆 CD的长度.(结果保留根号) 22 【解题启发】 如何根据直角三角形的边角关系并结合图形添加适当的辅助线？ 23 【规范解答】 解：(1)可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm. (2)此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm. 24 练5 (2024·湖南)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 25 活动 过程 测绘 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°； ④用计算器计算得sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75， sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40 26 请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)： (1)求线段CE和BC的长度； (2)求底座的底面ABCD的面积. 27 解：(1)线段CE和BC的长度分别为7米、3米. (2)底座的底面ABCD的面积为18平方米. 28 练6 (2024·济南)城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表. 29 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器、红外测距仪等 过程 资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°，AE=8.5 m，CD=6.7 m 成果梳理 …… 30 请根据记录表提供的信息回答下列问题： (1)求点C到地面DE的距离； (2)求顶部线段BC的长. (结果精确到0.01 m.参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966， tan 15°≈0.268，sin 83°≈0.993，cos 83°≈0.122，tan 83°≈8.144) 31 解：(1)点C到地面DE的距离约为6.65 m. (2)顶部线段BC的长约为7.14 m. 32 $$