01专题一 规律探索题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 目 录 中考命题研究 专题分类突破 4 【编者按】专题讲练部分的考频统计为山东省16地市2020～2024年对考点或题型的考查频次统计. 5 专题 类型 考频 命题趋势 规律探索题 图形规律 图形累加规律探索 5年8考 1.考什么 一般以选择题或填空题的形式进行考查，规律的探索问题包括两类：图形规律、数式规律 2.怎么考 规律探索题也是归纳猜想型问题，其特点是给出几个具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而猜想并归纳出一般性的结论 图形成倍递变规律探索 点的坐标规律探索 数式规律 数字规律探索 5年9考 数字循环类规律探索 等式规律探索 6 类型1图形规律 考法❶　图形累加规律探索 例1 (2024·牡丹江)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成 的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三 角形，……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数为(　　)　　　　　　　　　　　 A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 B 7 【解题启发】 三角形的个数变化有什么规律？总结出第n个图案 有　　　　个三角形.  8 【解题通法】 (1)标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； (2)数图形个数：数出每组图形的个数； (3)找关系：将后一个图形与前一个图形进行对比，变化的和不变的分别是什么，猜想出图形变化规律，找到第n项(某项)的个数与序号n的关系. ①作差：一般适用于基础图形固定累加，通过作差观察累加个数，然后按照定量变化推导出关系式； ②作商：一般适用于基础图形递变累加，通过作商来观察图形个数； ③将图形个数与n进行对比，寻找是否存在与n有关的倍数、平方、平方加1、平方减1等关系； (4)验证：代入序号验证所归纳的结论是否正确. 9 练1 (2024·重庆B卷)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案 中有11个菱形，……按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是(　　) A.20 B.21 C.23 D.26 C 10 练2 (2024·重庆A卷)【跨学科·化学】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合 物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子， 白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如 图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子 的个数是(　　) A.20 B.22 C.24 D.26 B 11 考法❷　图形成倍递变规律探索 例2 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1， E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1， ∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，则正方形 A2 024B2 024C2 024D2 024 的边长是　　 　　.  ()2 023 12 【解题启发】 计算正方形A2B2C2D2的边长为　　　　，  计算正方形A3B3C3D3的边长为　　　　，  计算正方形A4B4C4D4的边长为　　　，……  你能找出它们之间的关系吗？ 13 【解题通法】 (1)记首次值：根据题意可记第一次变换前的线段长(周长或面积)为a； (2)计算变换值：通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后的线段长(周长或面积)……； (3)找关系：观察、归纳出后一个线段长(周长或面积)与前一个线段长(周长或面积)之间存在的倍数关系n，列出关系式； (4)得结论：第M次变换后，根据n，M，a之间的关系，求得线段长(周长或面积). 14 练3 (2024·达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、 外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD=∠CAB，∠E1BD=∠CBD， 在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线， 且∠E2AD=∠E1AB，∠E2BD=∠E1BD，……以此规律作下去. 若∠C=m°，则∠En=　　　　°.  15 考法❸　点的坐标规律探索 例3 (2024·齐齐哈尔)如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了 如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的 坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC=120°.将△OBC沿 x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对 应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的 花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……按此规律，△OBC滚动2 024次后停止 滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为　　　 　.  (1 349+674)　 16 【解题启发】 计算求得点A1的坐标为　　　，点A2的坐标为　　　　　　， 点A3的坐标为　　　　　　，……，你能找到滚动次数和点An之间的规律吗？  17 【解题通法】 (1)记首次值：根据题意可记第一次变换前关键点的坐标； (2)计算变换值：通过计算得到第一次变换后的坐标，第二次变换后的坐 标，第三次变换后的坐标，……； (3)找关系：观察、归纳出后一个坐标与前一个坐标之间存在的倍数关系， 列出关系式； (4)得结论：第n次变换后，根据坐标前后之间的关系式，得出结论， 并验证. 18 练4 (2023·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x-与x轴交 于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l 于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依 次作正方形A3B3C3C2，……，正方形A2 023B2 023C2 023C2 022，则点B2 023的 横坐标是　　 　　.  (1+)2 022 19 练5 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l1， l2.过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2， 过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…… 依次进行下去，则点A2 024的坐标为　　 　　.  (21 012，-21 012)　 20 类型2数式规律 考法❶　数字规律探索 例4 (2024·云南)按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5， …，第n个代数式是(　　)　　　　　　　　　　　 A.2xn B.(n-1)xn C.nxn+1 D.(n+1)xn 【解题启发】 系数依次为　　　　，可以发现第n个代数式的系数 是　　　　，而x的次数依次为　　　　，可以发现第n个代数式的x 的次数是　　　　.  D 21 练6 (2024·日照)在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于 给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的 一列有序数字.现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数： 2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4；…；第n次构造 后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记 an=2+x1+x2+x3+…+xk+4. 某小组经过讨论得出如下结论，错误的是(　　) A.a3=84 B.为偶数 C.an+1=3an-6 D.k=2n-1 D 22 练7 (2023·聊城)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3 开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3， 5)；(7，10)；(13，17)；(21，26)；(31，37)…如果另把每个数对中的第一 个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第n个 数对：　　　　 　　.  (n2+n+1，n2+2n+2)　 23 考法❷　数字循环类规律探索 例5 (2024·扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数： 1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都 等于它的前两个数之和，则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数 为(　　) A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 【解题启发】 将这一列数继续写下去，你发现这列数有什么样的变化规律？ D 24 【解题通法】 (1)找关系：计算每一个数字的值，根据结果找到循环周期n； (2)求余数：求第M个数字，则有M÷n=W……q(0≤q<n)： ①余数是q，则与1个循环周期内第q个数相同； ②若整除，则与1个循环周期内最后一个数相同； (3)得结论：结合得到的循环周期及倍数关系，确定数字末尾、点坐标、线段长、面积等结论. 25 练8 (改编题)已知a1为实数，规定运算：a2= 1-，a3=1-，a4=1-， a5=1-，...，an= 1-.按上述方法计算：当a1=3时，a2 024的值等于 　　　　.  26 考法❸　等式规律探索 例6 (2024·安徽节选)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x，y均为自然数)”的问题.指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： 27 N 奇数 4的倍数 表示结果 1=12-02 4=22-02 3=22-12 8=32-12 5=32-22 12=42-22 7=42-32 16=52-32 9=52-42 20=62-42 … … 一般结论 2n-1=n2- 4n=　　　  28 按上表规律，完成下列问题： (1)24=(　　)2-(　　)2；  (2)4n=　　　　 　.  【解题启发】 根据题目中整理的信息，你能推导出第n个等式吗？ 7 5 (n+1)2-(n-1)2　 29 练9 (2023·临沂)观察下列式子： 1×3+1=22； 2×4+1=32； 3×5+1=42； …… 按照上述规律，　　　　 　=n2.  (n-1)(n+1)+1　 30 练10 (2023·大庆)1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算 法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的 多项式中各项系数之和为　　　　.  128　 31 $$