50方法专题十三 “胡不归”与“阿氏圆”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 模型1 “胡不归”模型 【学会模型】 模型 图示 问题 结论 “胡不归”模型 已知点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，点P在直线l上运动，如何确定点P的位置，使kAP+BP(0<k<1)的值最小 以定点A为顶点作∠CAP，使得sin∠CAP==k，即PC=kAP，过点B作BD⊥AD，交直线l于点P'，则kAP+BP=P'D+P'B=BD时最小 4 模型 图示 问题 结论 解题步骤 1.找：找带有系数k的线段； 2.构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形； 3.转化：化折为直，将kAP转化为PC； 4.求解：使得kAP+BP=PC+PB≥BP'+P'D=BD，利用垂线段最短求值. 注：当系数k=时，构造含30°角的直角三角形；当系数k=时，构造含60°角的直角三角形；当系数k=时，构造含45°角的直角三角形 5 例1 如图，▱ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，点P为边CD上 的一动点，则PB+PD的最小值等于　　　.  【解题启发】 一找：找出带系数k的线段为　　　；二构：构造以线段　　　　为斜边的直角三角形；三转化：将带系数k的线段转化为　　　　；四求解：利用“垂线段最短”转化为求　　　　　的长.  4 6 【运用模型】 练1 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4.若点D是BC 边上的动点，则 2AD+DC的最小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.8 C.10 D.12 D 7 练2 如图，菱形ABCD的边长为6，∠B=120°.P是对角线AC上一点 (不与端点A重合)，则AP+PD的最小值为　　　　.  3 8 练3 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4.点D，E分别是 边AB，AC上的动点，且CE=2AD，则BE+2CD的最小值为　　　　.  2 9 模型2 “阿氏圆”模型 【学会模型】 模型 图示 问题 辅助线作法 结论 “阿氏圆”模型 已知点P是半径为r的☉O 上的一动点，点A，B为☉O 外两定点，当r，k满足r=k·OA(0<k<1)时，求形如“kAP+BP”线段长度的最小值 在线段OA上截取OC，使得OC=k·r，连接BC，OP，BC与☉O的交点即为点P的位置 kAP+BP= P'C+P'B= BC时最小 10 模型 图示 问题 辅助线作法 结论 解题步骤 1.找：找带有系数k的线段； 2.构：在线段OA上取一点C，构造△PCO∽△APO； ①在线段 OA上截取OC，使得OC=k·r； ②连接PC，OP，利用==k，证明△PCO∽△APO； 3.转化：通过相似三角形的对应边成比例，将kAP转化为 PC； 4.求解：连接BC，使得kAP+BP=PC+BP≥BP'+P'C=BC.利用“两点之间线段最短”转化为求BC的长 注意 点P为动点，解决线段(kPA+PB)最值问题的注意事项： 当k=1时，用“将军饮马”模型； 当0<k<1时，点P运动轨迹是直线时，用“胡不归”模型；点P运动轨迹是圆时，用“阿氏圆”模型 11 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，CA=6，☉C半径为2， 点P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+BP的最小值为　　　　　.  12 【解题启发】 一找：找出带系数k的线段为　　　；二取： 在　　　　上取一点使线段　　　比半径r的值为k；三转化：将带 系数k的线段转化为　　　　；四求解：利用“两点之间线段最短” 转化为求　　　　　的长.  13 【运用模型】 练4 如图，☉O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，☉O半径为 6，点A(0，3)，点B(5，0)，点P在上移动，连接PA，PB，则2PA+ PB的最小值为　　　　.  13 14 练5 如图，在等边三角形ABC中，AB=12，☉C半径为6，点P为圆上 一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为　　　　.  3 15 练6 如图，扇形COD中，点O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，P是 上一点，则2PA+PB的最小值为　　　.  16 $$