49方法专题十二 “将军饮马”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 类型1 两点一线 【学会模型】 衍生模型 图形 问题 作法 结论 异侧两点求线段和最小值 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上求一点P，使PA+PB的值最小 连接AB，与直线l的交点即为P PA+PB的最小值为AB的长 同侧两点求线段和最小值 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上求一点P，使PA+PB的值最小 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P PA+PB的最小值为AB'的长 4 衍生模型 图形 问题 作法 结论 同侧两点求线段差最大值 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上求一点P，使|PA-PB|的值最大 连接AB并延长，与直线l的交点即为P 此时|PA-PB|的最大值为线段AB的长 异侧两点求线段差最大值 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上求一点P，使|PA-PB|的值最大 作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P 此时|PA-PB|的最大值为线段AB'的长 5 例1 (2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0， 2)，过点B作y轴的垂线l，点P为直线l上一动点，连接PO，PA，则 PO+PA的最小值为　　　　.  【作图启发】 找点　　　　关于直线l的对称点　　　　， 连接　　　　交直线l于点P.  5 6 【运用模型】 练1 如图，菱形ABCD的点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ABC=120°， 点A(-3，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小 值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.5 C.2 D. A 7 练2 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，点O为对角线AC的中点， 点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ-OQ 的最大值为　　　　.  8 练3 (2023·泸州)如图，点E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，点P 是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时， 的值是　　　　.  9 练4 (2024·内江)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上 一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，点P是 BD上一动点，连接PE，PC，则PE+PC的最小值为　 .  2 10 类型2 一点两线 【学会模型】 图形 问题 作法 结论 在直线l1上求点A，在直线l2上求点B，使PA+AB的值最小 作点P关于直线l1的对称点P'，作P'B⊥l2于点B，交直线l1于点A PA+AB的最小值为线段P'B的长 在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 分别作点P关于两直线的对称点P'和P″，连接P'P″，与两直线交点即为点M，N △PMN周长的最小值为线段 P'P″ 的长 11 例2 (2024·绥化)如图，已知∠AOB=50°，P为∠AOB内部一点，点M为 射线OB、点N为射线OA上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则 ∠MPN=　　　　.  【作图启发】 两个动点为　　　　，作点　　　　关于OA，OB的对 称点分别为　　　　与　　　　，连接　　　　　，当点　　　　共 线时，△PMN的周长最小.  80°　 12 【运用模型】 练5 如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一点P，OP=6，点M是OA上 一动点，点N是OB上一动点，则△PMN周长的最小值为(　　) A.6 B.3 C.6 D.6 C 13 练6 在△ABC 中，AB=BC，点D在AC上，BD=6 cm，点E，F 分别是 AB，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm，则∠ABC= 　　　　.  30° 14 类型3 两点两线 【学会模型】 图形 问题 作法 结论 在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小 分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N 四边形PQMN周长的最小值为线段Q'P'+QP的长 点A为直线l1上一定点，点B为直线l2上一定点，在直线l2上求点M，在直线l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小 作点A关于直线l2的对称点A'，作点B关于直线l1的对称点B'，连接A'B'交直线l2于点M，交直线l1于点N AM+MN+NB的最小值为线段A'B'的长 15 例3 如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P， Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周 长取最小值时，四边形AEPQ的面积是(　　) A. B. C. D. B 16 【作图启发】 作点　　　　关于　　　　的对称点，作点　　　　关于　　　　的对称点，　　　+　　　　+　　　　+　　　　即为四边形AEQP周长的最小值，S四边形AEPQ=　　　　-　　　　-　　　　-　　　　.  17 【运用模型】 练7 如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC， CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN 的度数为(　　) A.80° B.90° C.100° D.130° C 18 练8 如图，∠AOB=50°，∠BOC=30°，OM=12，ON=4.点P，Q分别 是OA，OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是　　　　.  4　 19 类型4三个动点 【学会模型】 图形 问题 作法 结论 已知点D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点，求△DEF的周长的最小值 先将点 D视为定点，利用“一点两线”模型作出△DEF周长的最小值，对应的线段D'D″.当CD最小，即CD⊥AB时，△DEF的周长最小 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 当CD⊥AB时，CD最小. 两点之间，线段最短.最小值为D'D″的长 20 例4 如图，在等边三角形ABC中，AB=4，点P，M，N分别是BC，CA，AB上的动点. (1)PM+MN的最小值为　　　　；  (2)求PM+MN+NP的最小值. 21 【作图启发】 (1)作　　　　关于　　　　的对称点　　　　，连接　　　　，此时 PM+PN的值最小，最小值为　　　　的长；  (2)先将点　　　视作定点，作点　　　　关于　　　　的对称点 　　，再作　　　关于　　　　的对称点　　，连接线段　　　，PM+MN+NP的最小值即为线段　　　的长.  22 【规范解答】 解：(1)2 (2)如图，分别作点N关于AC，BC的对称点N1，N2，连接N1N2，过点C作CH⊥AB于点H. 由对称可知∠N1CN2=2∠ACB=120°， ∴MN+MP+NP=N1M+MP+PN2≥N1N2=CH=6， ∴MN+MP+NP的最小值是6. 23 【运用模型】 练9 (2022·连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形， 延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC. (1)求证：四边形DBCE为菱形； (2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM+PN的最小值. 24 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC.∵DE=AD，∴DE=BC. ∵点E在AD的延长线上，∴DE∥BC， ∴四边形DBCE是平行四边形. ∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形. 25 (2)解：如图，作点N关于BE的对称点N'，过点D作DH⊥BC于点H. 由菱形的对称性知点N关于BE的对称点N'在DE上， ∴PM+PN=PM+PN'， ∴当P，M，N'三点共线时， PM+PN'=MN'=PM+PN. ∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长， 即PM+PN的最小值为DH的长. 在Rt△DBH中，∠DBC=60°，DB=2， ∴DH=DB·sin∠DBC=2×=， ∴PM+PN的最小值为. 26 类型5两定点一定长 【学会模型】 衍生模型 图形 问题 作法 结论 异侧两定点 一定长 点A，B为两直线两侧两定点，在直线m上找一点P，在直线n上找一点Q，且PQ长度恒定，在直线m，n上求P，Q两点，使AP+PQ+QB的值最小 过点A作AA'∥PQ，且AA'=PQ，则四边形AA'QP为平行四边形，AA'=PQ.连接A'B 交直线 n于点 Q 此时PQ即为所求，AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ 27 衍生模型 图形 问题 作法 结论 同侧两定点 一定长 点A，B为直线l同侧两定点，定长线段 PQ在直线l上运动，求点Q的位置，使AP+PQ+QB的值最小 将点A沿着与直线l平行的方向平移一个PQ的长至点A'.作点A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q 此时，点Q即为所求，AP+PQ+QB的最小值为A″B+PQ 28 例5 (2022·自贡)如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点G是AD的中点， 线段EF在边AB上左右滑动.若EF=1，则GE+CF的最小值为　　　.  【作图启发】 作点　　　　关于AB的对称点　　　，在CD上截取 　　　　，连接　　　　，此时GE+CF的值最小.  3 29 【运用模型】 练10 (2022·内江)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E，F分别是 AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是　　　　.  10 30 练11 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A(0，6)， 与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO=30°，点M，N是该直线上的两个动 点，且MN=2，连接OM，ON，则△MON周长的最小值为　　 　　.  2+2　 31 $$