47第七章 第三节 图形的对称、平移、旋转与位似-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　图形的对称、平移、旋转与位似 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 4 知识点1 轴对称与轴对称图形 1.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够____________， 那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴.  2.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴. 3.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段相等，对应角相等. 完全重合　 5 4.简单的轴对称图形 (1)线段是轴对称图形，____________________________________是它的 对称轴. (2)角是轴对称图形，____________________是它的对称轴.  (3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形______________、底边上的 中线、____________重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰 三角形的对称轴.  线段的垂直平分线和它本身所在的直线 角平分线所在的直线 顶角的平分线 底边上的高 6 知识点2 中心对称与中心对称图形 1.中心对称：在平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫作对称中心. 2.中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 3.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分. 7 常见的轴对称、中心对称图形： (1)轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等. (2)中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、 圆等. (3)既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、 正六边形、圆等. 8 知识点3 图形的平移与旋转 1.图形的平移 (1)平移的概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变化称为平移. (2)平移的性质 ①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. ②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等. 9 (3)用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或左平移a个单位长度，可得到 对应点(_________，y)或(________，y)，将点(x，y)向上或下平移b个单位 长度，可得到对应点(x，_________)或(x，________).  　x+a　 　x-a　 　y+b　 　y-b　 10 2.图形的旋转 (1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，图形的这种变化称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. (2)旋转的性质 ①旋转不改变图形的形状和大小； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角； ④对应线段相等，对应角相等. 11 知识点4 图形的位似 1.位似多边形：如果两个相似多边形每组对应顶点P，P'的连线都经过同 一点O，且有OP'=k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形， 点O叫作______________，k就是这两个相似多边形的____________.  　位似中心　 　相似比　 12 2.位似图形的性质 (1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__________， 面积之比等于__________________.  (2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标 都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形__________，位似中心是 ______________，它们的相似比为________.  (3)位似图形的对应边平行(或共线)且成比例，对应角相等. 相似比　 　相似比的平方　 　位似　 　坐标原点　 　|k|　 13 命题点1 轴对称与中心对称图形3地2考　 例1 【原创题】 下列2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形 又是中心对称图形的是(　　) 【解题启发】 轴对称图形与中心对称图形有什么区别？ C 14 练1 (2024·滨州)数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线 ”“三叶玫瑰线”和“笛卡儿心形线”.其中不是轴对称图形的是(　　) B 15 练2 (2024·泰安)下面图形中，中心对称图形的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 16 练3 (2024·山东)用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) D 17 命题点2 图形的平移3地2考　 例2 (2023·滨州)如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分 别为A(6，3)，B(6，0)，O(0，0).若将△ABO向左平移3个单位长度得到 △CDE，则点A的对应点C的坐标是　　　　.  (3，3)　 18 【解题启发】 点的平移的变化规律是右移横坐标　　　　，左移横坐 标　　　　；上移纵坐标　　　　，下移纵坐标　　　　.  19 练4 (2023·淄博)在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边 的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是　　　　.  6 20 练5 (2024·东营)如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC， 若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为　　　　cm.  30 21 命题点3 图形的位似3地0考　 例3 (2023·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为 A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作 与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是(　　)　　　　　　　　 A.(2，4) B.(4，2) C.(6，4) D.(5，4) 【解题启发】 如何利用相似比求坐标？ C 22 【易错警示】 位似图形与相似图形 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.位似中心是对应点连线的交点，可能在图形外也可能在图形内或图形上. 23 练6 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O的坐标为(0，0)， 顶点B的坐标为(6，4).若矩形OA'B'C'与矩形OABC关于原点O位似， 且矩形OA'B'C'的周长为矩形OABC周长的，则点B'的坐标为(　　) A.(3，2) B.(-3，-2) C.(3，2)或(-3，6) D.(3，2)或(-3，-2) D 24 练7 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)， 以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标 是(　　) A.-2a+3 B.-2a+1 C.-2a+2 D.-2a-2 A 25 命题点4 网格中的图形变化作图3地0考　 例4 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上. (1)在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形. 【解题启发】 画轴对称图形、中心对称图形、旋转图形应注意哪些要点？ 26 解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. 27 (2)画出下列其中一个即可. (3)如图所示，△A'B'C即为所求. 28 命题点5 图形的旋转3地2考　 【核心母题1】 (2023·菏泽)如图，E是正方形ABCD内的一点， 将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF.若∠ABE=55°， 则∠EGC=　　　　度. 　 　　　　　　　　 【解题启发】 ∠EGC可以看作是哪两个角度的和？ 80 29 【解题模板】 常见的三种旋转模型 图形 结论 等腰直角三角形模型 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合，则得到的△PCP'为等腰直角三角形 等边三角形模型 如图，在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合，则得到的△APP'为等边三角形 正方形模型 如图，在正方形ABCD中，P为正方形内部一点，将△ABP 绕点B按顺时针方向旋转 90°，使得BA与 BC重合，则得到的△PBP'为等腰直角三角形 30 【变式1】 等边三角形中的旋转 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转 一定角度，使得∠ABD=∠CBD'，连接CD'.若∠ADB=100°，则∠DD'C 为(　　) A.30° B.60° C.50° D.40° D 31 【变式2】 等腰直角三角形中的旋转 如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，BC=7.点D在BC上， 且BD∶CD=2∶5.连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°， 得到线段AE，连接ED，EB，则△EBD的面积是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 B 32 【变式3】 正方形中的旋转 如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF，延长AE交CF于点G，连接DE.若DA=DE，请猜想线段CG与GE的数量关系，并加以证明. 33 解：结论：CG=GE. 证明：如图，过点D作DH⊥AE，垂足为H， 则∠DHA=90°，∴∠DAH+∠ADH=90°. ∵DA=DE，∴AH=AE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA，∠DAB=90°， ∴∠DAH+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADH. 34 在△AEB和△DHA中， ∴△AEB≌△DHA(AAS)，∴AH=BE. 易知四边形BFGE是正方形，∴BE=EG=FG，∴AH=FG. 由旋转的性质可得CF=AE，∴GF=CF， ∴CG=GF，∴CG=GE. 35 命题点6图形的折叠3地2考　 【核心母题2】 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上.若AB=6，BC=8，求BF的长. 【解题启发】 图形折叠前后的对应角、对应线段有哪些？它们有什么关系？ 36 【解题模板】 (1)与折叠有关的角度计算：将折痕看作角平分线，借助等角、邻补角、互余等进行计算； (2)与折叠有关的线段计算(周长或面积)：将折痕所在的直线看作对称轴，对应点连线被折痕垂直平分，从而考虑运用勾股定理、相似进行计算； (3)口诀：折叠“特四”在一起，全等变化先分析，等量代换入直角，勾股定理来解题. 37 【规范解答】 解：∵点C'是AB边的中点，AB=6，∴BC'=3. 由折叠的性质知C'F=CF=BC-BF=8-BF. 在Rt△C'BF中，BF2+BC'2=C'F2， ∴BF2+32=(8-BF)2，解得BF=. 38 【变式1】 三角形中的折叠 (2024·常州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，点D是 边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点 C落在BD上的点F处，则CE=　　　　.  39 【变式2】 特殊四边形中的一次折叠 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=16，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求四边形CDEF的周长. 40 解：如图，连接BE，BD，设EF与BD相交于点O. ∵将矩形ABCD纸片折叠，使点B与点D重合， ∴EF垂直平分BD，∠BFE=∠DFE， ∴ED=EB，FB=FD，EF⊥BD，∴∠EDB=∠EBD. ∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE， ∴∠DEF=∠DFE，∴DF=DE， ∴DE=EB=BF=FD，∴四边形DEBF为菱形. 在Rt△ABD中，BD===20. 设BE=x，则DE=x，AE=16-x. 41 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2， ∴122+(16-x)2=x2，解得x=，∴BE=DE=. ∵S菱形DEBF=S△DEB，∴×EF·DB=DE·AB， ∴EF×20=×12，∴EF=15， ∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+CF=CD+EF+BC=12+15+16=43. 42 【变式3】 两次折叠 如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，AB=，∠BAE=30°.折叠后，点B落在EC1边上的B1处，点C落在AD边上的C1处.求BC的长. 43 解：由折叠的性质得△ABE≌△AB1E， ∴BE=B1E，∠B=∠AB1E=90°. ∵∠BAE=30°，AB=，∴AE=2BE. 又∵AB2+BE2=AE2，即()2+BE2=(2BE)2， ∴BE=1(负值已舍去)，AE=2. ∵∠BAE=30°，∴∠EAB1=30°. 44 又∵∠BAD=90°，∴∠B1AC1=30°=∠EAB1. ∵∠AB1E=∠AB1C1=90°，AB1=AB1， ∴△AB1C1≌△AB1E(ASA)，∴AC1=AE. 又∵∠EAC1=∠EAB1+∠B1AC1=60°， ∴△AEC1是等边三角形，∴EC1=AE=2， ∴EC=EC1=2，∴BC=2+1=3. 45 建议用时：10分钟 1.(2023·菏泽)剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案 中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 6 46 2.(2023·聊城)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(-2， 1)，B(-1，3)，C(-4，4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把 △A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2，1)，则点A2的坐标为(　　) A.(1，5) B.(1，3) C.(5，3) D.(5，5) B 1 3 5 题序 2 4 6 47 3.(2023·天津)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE， 点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD， 则下列结论一定正确的是(　　) A.∠CAE=∠BED B.AB=AE C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD A 1 3 5 题序 2 4 6 48 4.(2024·雅安)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E 处，BE与AD交于点F.若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是　　　　.  1 3 5 题序 2 4 6 49 5.(2024·济宁)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(3，4)，C(1，4). (1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1.画出 平移后的图形，并直接写出点B1的坐标. (2)将△A1B1C1绕点 B1逆时针旋转 90°得△A2B1C2， 画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长. 1 3 5 题序 2 4 6 50 解：(1)B1(3，2) 如图，△A1B1C1即为所求. (2)如图，△A2B1C2即为所求. ∵=π，∴点C1运动到点C2所经过的路径长为π. 1 3 5 题序 2 4 6 51 6.(2023·仙桃)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM. (1)求证：∠AMB=∠BMP； (2)若DP=1，求MD的长. 1 3 5 题序 2 4 6 52 (1)证明：点B，M关于线段EF对称，由折叠的性质可知∠MBC=∠BMP. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC， ∴∠MBC=∠AMB，∴∠AMB=∠BMP. 1 3 5 题序 2 4 6 53 (2)解：设MD=x，则AM=3-x，设AE=y，则EM=EB=3-y. 在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2， ∴y2+(3-x)2=(3-y)2，∴y=-x2+x，即AE=-x2+x. ∵∠ABC=∠EMN=90°，∴∠AME+∠DMP=90°. 又∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AEM=∠DMP，∠A=∠D， ∴△DMP∽△AEM， ∴=，即=，整理得x2=2x， 解得x=或x=0(舍去)，∴MD=. 1 3 5 题序 2 4 6 54 $$