44方法专题十 “隐形圆”六大模型的运用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 模型1 定点定长辅助圆 【学会模型】 模型 条件 作法 结论 已知平面内一定点A和一动点B，AB长度固定 找定点，寻定长，现“圆”形 动点B在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上 已知AB=AC=AD 点B，C，D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 4 例1 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°， 则∠CAD的度数为(　　) 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.68° B.88° C.90° D.112° 【作图启发】 定点是　 　，定长是　 　，找出圆心　 　和 半径　 　，作圆即可.  B 5 【运用模型】 练1 如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2， 则BD2的值为(　　) A.14 B.15 C.18 D.12 【作图启发】 定点是　 　，定长是　 　，找出圆心　 和 半径　 　，作圆即可.  B 6 练2 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，P为BC边上的任意一点， 把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF.若AB=10，BC=12，则CF的 最小值为　　　　.  【作图启发】 定点是　 　，定长是　 　，找出圆心　 　和 半径　 　，作圆即可.  8 7 模型2 点圆最值 【学会模型】 问题 平面内两定点O，D，动点E到定点O的距离相等.若OD=d，☉O的半径为r，求DE的最大值或最小值 作法 以点O为圆心，OE为半径作☉O，连接OD，直线OD交☉O于点E 作图 结论 当点D在☉O外时，DE的最大值为d+r，DE的最小值为d-r 当点D在☉O上时，DE的最大值为2r，DE的最小值为0 当点D在☉O内时，DE的最大值为d+r，DE的最小值为r-d 8 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，点M是BC的中点，点P是A'B'的中点，连接PM.若BC=4，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 A.8 B.6 C.4 D.5 【作图启发】 连接PC，由题意可知，点P在以　 　为圆心，　 　为 半径的圆上运动.根据三角形三边关系可知　 ，进而求得PM的最 大值.  B 9 【运用模型】 练3 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点， 点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN， 连接A'C，则A'C 长度的最小值是(　　) A. B.-1 C. D.2 【作图启发】 由题意可知，点A'在以　 　为圆心，　 　为半径的右半圆上运动，A'C≥MC-MA'，当M，A'，C三点共线时，可求得A'C的最小值.  B 10 练4 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是AB边的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是　　　　.  【作图启发】 由题意可知，点B'在以　 　为圆心，　 　为半径的圆上运动，当E，B'，D三点共线时，可求出B'D的最小值.  2-2　 11 模型3 线圆最值 【学会模型】 问题 若OH=d，☉O的半径为r，在☉O上找一点P，使得PH有最大值和最小值 作法 过点O作OH⊥l，垂足为H，交☉O于点P，或反向延长交于点P 作图 结论 当直线l与☉O相离时，PH的最大值为d+r，最小值为d-r 当直线l与☉O相切时，PH的最大值为2r，最小值为0 当直线l与☉O相交时，PH的最大值为d+r，最小值为r-d 12 例3 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.点E是边AD的中点，点P是线 段AE上一动点.将△ABP沿BP折叠得到△A'BP，连接A'E，A'C.当△A'CE 的面积最小时，点A'到CE的距离为(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2 【作图启发】 由题意可知，点A'在以　 　为圆心，　 　为半径的圆上运动，当BA'的延长线垂直于EC时，△A'CE的面积最小，可求得点A'到CE的距离.  B 13 【运用模型】 练5 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E，F分别是AD，DC边上 的点，且EF=2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的 最小值为　　　　.  【作图启发】 由题意可知，点G在以　 　为圆心，1为半径的圆上运 动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P，交☉D于点G， 此时PA+PG的值最小，即A'G的长.  4 14 模型4利用圆周角定理构造辅助圆 【学会模型】 模型 条件 作法 结论 已知△ABC，∠C=90° 见直角，找斜边 (定长)，想直径， 定外心，现“圆”形 点C在以 AB 为直径的圆上 15 例4 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°， 则∠BAC的度数为　　　　.  【作图启发】 90°的圆周角为　 　，点　 　在圆上，直径 为　 　，确定圆心和直径作圆.  25° 16 【运用模型】 练6 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8， 点D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接 AH，则AH的最小值为　　　　.  【作图启发】 90°的圆周角为　 　，点　 　在圆上，直径为 　 　，确定圆心和直径作圆.  4-4 17 模型5利用定弦定角构造辅助圆 【学会模型】 模型 条件 作法 结论 已知△ABC，点C 是动点，且∠ACB为定角，且∠ACB为锐角，AB是一条定线段 见定角， 找对边(定长)， 想周角， 转心角， 现“圆”形 1.∠C=∠AOB； 2.点C在优弧AB上(点A，B除外) 已知△ABC，点C 是动点，且∠ACB为定角，且∠ACB为钝角，AB是一条定线段 1.∠C=180°-∠AOB； 2.点C在劣弧AB上(点A，B除外) 18 例5 如图，△ABC为等边三角形，AB=3.若点P为△ABC内一动点， 且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1.5 B. C. D.2 【作图启发】 定角是　　　 　，定弦是　　 　，圆周角是　 　，圆心是　 ， 确定圆心画圆. B 19 【运用模型】 练7 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边， 在矩形所在平面作直角三角形BEC，点F为CD的中点， 连接EF，则EF的最小值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 【作图启发】 定角是　 　，定弦是　 　，圆心是 　，确定圆心画圆.  B 20 练8 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=3，点P是△ABC内部 的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为　　　.  【作图启发】 定弦是　 　，定角是　 　，圆心是　 　， 确定圆心画圆.  -1 21 模型6利用四点共圆构造辅助圆 【学会模型】 模型 条件 作法 结论 如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90° 对角互补四边形， 见顶点， 找互补， 想底边， 定圆心， 现“圆”形 点A，B，C，D在以 AC 为直径的圆上 如图2，四边形ABCD 中，∠A+∠C=∠B+∠D=180° 点A，B，C，D在同一个圆上 如图3，△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90° 点A，B，C，D在以AB为直径的圆上 如图4，△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D 点A，B，C，D在同一个圆上 22 例6 如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC=∠ADC=45°，AC=6， 则AD的最大值为　　　.  【作图启发】 定角为　 　，定长为　　　，∠　 　=∠　 　， A，B，C，D四点共圆.  6 23 【运用模型】 练9 如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边CD的中点，点F是边 BC上的一个动点，连接AE，AF，作EP⊥AF于点P.当点P恰好落在 正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为　　　　.  【作图启发】 ∠　　　　=∠　　　　=90°，证点　　四点共圆.  24 $$