43第六章 第三节 与圆有关的计算-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　与圆有关的计算 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 正多边形和圆 1.圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫作圆内接正多边形.这个圆叫作该正多边形的外接圆. 2.正多边形和圆的关系：把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各分点，就可以作出一个圆内接正n边形. 5 3.正多边形的有关概念 (1)正多边形的中心：正多边形外接圆的　　 　是这个正多边形的中心. (2)正多边形的半径：正多边形外接圆的　　 　叫作正多边形的半径. (3)正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的　　 　叫作 正边形的中心角.  (4)正多边形的边心距：正多边形的　　　　的半径叫作正多边形的边 心距.  圆心　 半径 圆心角 内切圆 6 【知识拓展】 正多边形中有关边的常用公式 (1)r2+()2=R2(r表示边心距，R表示半径，a表示边长)； (2)l=na(l表示周长，n表示边数，a表示边长)； (3)S正n边形=lr(l表示周长，r表示边心距). 7 知识点2 弧长及扇形的面积 1.弧长的计算公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=　　　　.  2.扇形面积的计算公式 (1)如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式 S扇形=　　　 　.  (2)比较扇形面积公式与弧长公式，用弧长来表示扇形的面积 S扇形=　　　.  πR πR2 lR 8 3.计算不规则面积的方法 方法1　等积转换法 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影=S矩形ACDF  当OE=EB时，S阴影=S扇形BOC 当CD∥AB时，S阴影=S扇形COD 9 方法2　构造和差法 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD S阴影=S△ODC-S扇形DOE S阴影=S扇形AOB-S△AOB S阴影=S扇形AOC+S△OCB 10 方法3　直接和差法 图形 面积计算方法 S阴影=S△ACB-S扇形CAD S阴影=S△AOB-S扇形COD 11 图形 面积计算方法 S阴影=S扇形EAF-S△ADE S阴影=S扇形BAB'+S半圆AB'-S半圆AB=S扇形BAB' S阴影=S半圆= 12 知识点3 圆锥及其侧面展开图 1.圆锥的母线长和侧面积 如图是一个圆锥的侧面展开图，其中r是圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高，l是圆锥的母线. (1)圆锥底面周长，等于侧面开展扇形弧长，展开扇形的弧长为2πr； (2)圆锥母线长等于侧面展开扇形半径，则圆锥的母线l=　 　　；  (3)圆锥侧面积等于侧面展开扇形面积，圆锥的侧面积 S侧面积=　 　；若展开图的圆心角为α，则α=　　 　.  πrl ×360° 13 2.圆锥的全面积：圆锥的侧面积与底面积的和叫作圆锥的全面积， 则S全面积=___________.  　πr(l+r)　 14 命题点1 正多边形与圆3地1考　 例1 (2024·济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于☉O， 则它的内切圆半径为(　　)　　　　　　　　 A.1 B.2 C. D. 【解题启发】 正六边形的内角度数是多少？ D 15 练1 (2023·临沂)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合， 旋转角的大小不可能是(　　) A.60° B.90° C.180° D.360° B 16 练2 (2022·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点M在上， 则∠CME的度数为(　　)　　 A.30° B.36° C.45° D.60° D 17 命题点2 与弧长有关的计算3地0考　 例2 (2023·吉林)【日常生活情境】 如图1，A，B表示某游乐场摩天轮上 的两个轿厢.图2是其示意图，点O是圆心，半径r为15 m，A，B是圆上的 两点，圆心角∠AOB=120°，则的长为　　　　m.(结果保留π)   【解题启发】 弧长公式是　　　　　　.  10π　 18 练3 (2023·张家界) 【数学文化】 “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工 业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为 圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等 边三角形ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于(　　) A.π B.3π C.2π D.2π- B 19 练4 (2023·青岛)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°.若☉O的半径为5，则的长为(　　) A.π B.π C.π D.π C 20 命题点3 与扇形面积有关的计算3地1考　 考法❶　直接计算 例3 (2023·泰安)如图， ☉O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB， OC，OA.若∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是(　　) A.π B.π C.π D.π 【解题启发】 扇形面积的计算公式是什么？ C 21 练5 (2024·青岛)如图，A，B，C，D是☉O上的点，半径OA=3， =，∠DBC=25°，连接AD，则扇形AOB的面积为(　　) A.π B.π C.π D.π A 22 考法❷　割补法 例4 (2023·滨州)如图，某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成， 且三个等圆☉O1，☉O2，☉O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影 部分的面积之和为(　　) A.π cm2 B.π cm2 C.π cm2 D.π cm2 【解题启发】 你能发现图形中有哪些相等的量？ C 23 练6 (2023·广元)如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是上 一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若CD=CE，则图中阴影部 分面积为(　　) A. B. C. D. B 24 考法❸　和差法 例5 (2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个 直径端点与半圆O的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积 是(　　) A.π- B.π C.π- D.π- 【解题启发】 怎么将不规则的阴影部分图形转化为规则图形的和或差进行求解？ A 25 练7 (2024·东营)中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校组 织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇. 如图，OA=20 cm，OB=5 cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条(竹条宽度 忽略不计)的夹角∠AOC=120°.现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画 所在纸面的面积为(　　) A.π cm2 B.75π cm2 C.125π cm2 D.150π cm2 C 26 练8 (2024·日照)如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点O是对角 线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF， 点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为(　　) A.- B.π- C.- D.无法确定 A 27 命题点4 与圆锥有关的计算3地1考　 例6 (2024·烟台)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心， 以FB的长为半径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个 圆锥的底面半径为　　　　.  【解题启发】 扇形和圆锥之间的关系有哪些？ 28 练9 (2022·济宁)已知圆锥的母线长8 cm，底面圆的直径为6 cm，则这个 圆锥的侧面积是(　　) A.96π cm2 B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 练10 (2022·东营)用一张半圆形铁皮， 围成一个底面半径为4 cm的圆锥 形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm 练11 (2022·聊城)若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开 图圆心角的度数为　　　　.  D B 120°　 29 建议用时：10分钟 1.(2023·荆州)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O是这段弧 所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于点D.若AC=300 m， BD=150 m，则 的长为(　　) A.300π m B.200π m C.150π m D.100π m B 1 3 5 题序 2 4 30 2.(2023·新疆生产建设兵团)如图，在☉O中，若∠ACB=30°，OA=6， 则扇形OAB(阴影部分)的面积是(　　) A.12π B.6π C.4π D.2π B 1 3 5 题序 2 4 31 3.(2023·云南)数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底 面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为　　　分米.  1 3 5 题序 2 4 32 4.(2024·吉林)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制 的铅球场地设计图如图所示，该场地由☉O和扇形OBC组成，OB，OC 分别与☉O交于点A，D.OA=1 m，OB=10 m，∠AOD=40°，则阴影部 分的面积为　　　　　m2.(结果保留π)  11π 1 3 5 题序 2 4 33 5.(2024·山东)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2.以点A为圆心，以AD为半径作 交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作 交BC于点F，连接FD交 于另一点G，连接CG. (1)求证：CG为 所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积.(结果保留π) 1 3 5 题序 2 4 34 (1)证明：如图，连接BG. 根据题意可知AD=AE，BE=BF. ∵AB=BC，∴CF=AE=AD. ∵AB=BC=2AD=2，∴BF=BE=AD=AE=CF=1. ∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠BFD=∠DAB=60°. ∵BG=BF，∴△BFG是等边三角形， ∴GF=BF=FC，∴点G在以BC为直径的圆上， ∴∠BGC=90°，∴CG为所在圆的切线. 1 3 5 题序 2 4 35 (2)解：如图，过点D作DH⊥AB于点H. 由图可得S阴影=S▱ABFD-S扇形AED-S扇形BEG-S△BFG. 在Rt△AHD中，AD=1，∠DAB=60°， ∴DH=AD·sin∠DAB=1×=， ∴S▱ABFD=AB·DH=2×=. 1 3 5 题序 2 4 36 由题可知扇形ADE和扇形BGE全等， ∴S扇形AED=S扇形BGE===， S△BFG=GF·DH=×1×=， ∴S阴影=S▱ABFD-S扇形AED-S扇形BEG-S△BFG=---=-. 1 3 5 题序 2 4 37 $$