42第六章 第二节 与圆有关的位置关系-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第二节　与圆有关的位置关系 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 4 知识点1 点、直线与圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则点与圆的位置关系如下表： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 图　　示 d_______r d_______r d_______r 　>　 　=　 　<　 5 2.直线和圆的位置关系 设☉O的半径为r，圆心到直线的距离为OP=d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 相切 相交 图　　示 d与r的关系 d_______r  d_______r  d_______r  交点个数 没有交点 1个交点 2个交点 　>　 　=　 　<　 6 知识点2 切线的判定与性质 1.切线：直线和圆有__________公共点时，这条直线叫作圆的__________， 这个唯一的公共点叫作切点.  2.切线的性质：圆的切线__________于经过切点的半径.  3.切线的判定 (1)定义判定：和圆有__________公共点的直线是圆的切线.  (2)数量关系：圆心到直线的距离等于________的直线是圆的切线.  (3)定理：经过半径的外端并且__________于这条半径的直线是圆的切线.  　唯一　 　切线　 　垂直　 　唯一　 　半径 　垂直　 7 4.切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫作 这点到圆的切线长. 5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 __________，这一点和圆心的连线__________两条切线的夹角.  　相等　 　平分　 8 知识点3 三角形的内切圆 1.与三角形三边都__________的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心 叫作三角形的内心.  2.三角形的内心是三角形的三条______________的交点，它到三角形 三边的距离相等.  3.三角形的内心都在三角形的内部. 　相切　 　角平分线　 9 【知识拓展】 三角形内切圆半径与三角形三边关系 　　若已知☉O是△ABC的内切圆，三角形三边长分别为a，b，c，面积为S，圆的半径为r，则r=.特别地，当△ABC是直角三角形，∠C=90°时，r=(a+b-c). 10 命题点1 点、直线与圆的位置关系3地0考　 例1 (2023·宿迁)在同一平面内，已知☉O的半径为2，圆心O到直线l的 距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　　) A.2 B.5 C.6 D.8 【解题启发】 满足什么条件时直线与圆相离？相切？相交？ B 11 练1 (2022·吉林)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4. 以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在☉A内且点B在☉A外时， r的值可能是(　　)　 A.2 B.3 C.4 D.5 C 12 命题点2 三角形的内切圆3地0考　 例2 (2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　　) A.d=a+b-c B.d= C.d= D.d=|(a-b)(c-b)| 【解题启发】 三角形的内切圆有什么性质？ D 13 练2 (2024·自贡)在Rt△ABC中，∠C=90°，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF，AF=　　　　，BD=　　　　；若AC=3，BC=4，则☉O半径长为　　　　；  (2)如图2，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是☉O的切线. 14 (1)解：AD　BE　1 (2)证明：如图，过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF. ∵∠ANM=90°=∠ACB，∠A=∠A，AM=AB， ∴△AMN≌△ABC(AAS)，∴AN=AC. ∵AD=AF，∴AN-AD=AC-AF，即DN=CF. 同(1)可知，CF=OE，∴DN=OE. ∵∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN， ∴四边形OHND是矩形， ∴OH=DN，∴OH=OE，即OH是☉O的半径. ∵OH⊥MN，∴MN是☉O的切线. 15 命题点3 与切线的性质有关的证明及计算 3地2考 例3 如图，四边形ABCD内接于☉O， AB为☉O的直径，CE是☉O的切线，CE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CH⊥AB于点H，连接BD交CH于点G. (1)求证：BC=CD； (2)若sin∠DBA=，CG=10，求☉O的半径. 【解题启发】 (1)在同一个圆中，哪些定理能证明弦相等？ (2)在有锐角三角函数的前提下，考虑作什么图形来解题？ 16 (1)证明：如图，连接OC交BD于点F. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°. ∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠ADB=90°， ∴BD∥CE. ∵CE是☉O的切线，∴∠OCE=90°， ∴∠OFD=90°， 即OC⊥BD，∴=，∴BC=CD. 17 (2)解：∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°. 由(1)知∠OFD=∠CFB=∠OFB=90°，∴∠GHB=∠CFB. ∵∠CGF=∠BGH，∴∠DBA=∠FCG. ∵sin∠DBA=， ∴sin∠FCG=，即=. ∵CG=10，∴FG=6，CF=8. 在Rt△OFB中，sin∠DBA=，∴=. 设OF=3x，则OB=OC=5x， ∴CF=OC-OF=2x，∴2x=8，∴x=4， ∴OB=20，即☉O的半径为20. 18 【规范解答】 练3 (2024·泰安)如图，AB是☉O的直径，AH是☉O的切线，C为☉O上任 意一点，点D为的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点 F.若DF=1，tan B=，则AE的长为　　　　.  19 练4 (2024·天津)已知△AOB中，∠ABO=30°，AB为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C. (1)如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小； (2)如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA=3，求线段OF的长. 20 解：(1)∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO. ∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，∠ABO=30°， ∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°. ∵直线MN与☉O相切于点C，CE为☉O的直径， ∴∠ECM=90°. ∵AB∥MN，∴∠CDB=∠ECM=90°， ∴∠BOE=90°-∠ABO=60°. ∵∠BCE=∠BOE，∴∠BCE=30°. 21 (2)如图，连接OC. 同(1)得∠COB=90°. ∵CG⊥AB，∴∠FGB=90°. ∵∠ABO=30°， ∴∠BFG=90°-∠ABO=60°， ∴∠CFO=∠BFG=60°. 在Rt△COF中，tan∠CFO=，OC=OA=3，∴OF===. 22 命题点4 与切线的判定有关的证明及计算 3地2考 【核心母题】 (2024·东营)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，点E在☉O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是☉O的切线； (2)若CD=，∠ABC=60°，求线段AF的长. 23 【解题启发】 (1)可以用哪种方法证明位置关系？ (2)你能想到利用什么三角形？可以利用边角关系吗？ 24 【解题模板】 (1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直. (2)“作垂直，证半径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径.在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”. 25 【规范解答】 (1)证明：如图，连接OC. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA. ∵点C是的中点，∴=， ∴∠OAC=∠DAC， ∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD. ∵AE⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. 26 (2)解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∵∠ABC=60°， ∴∠BAC=90°-∠ABC=30°，∴∠DAC=30°. ∵CD=，∴AD=CD=3. ∵∠F=90°-(∠BAC+∠DAC)=30°，∴AF=2AD=6. 27 【变式1】 弦切角模型 (2023·张家界)如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD. (1)求证：CF是☉O的切线； (2)若直径AD=10，cos B=，求FD的长. 28 (1)证明：如图，连接OC. ∵AD是☉O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°. 又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD. 又∵∠DCF=∠CAD，∴∠DCF+∠OCD=90°，∴OC⊥FC. 又∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 29 (2)解：∵∠B=∠ADC，cos B=，∴cos∠ADC=. ∵在Rt△ACD中，cos∠ADC==，AD=10， ∴CD=AD·cos∠ADC=10×=6， ∴AC==8，∴=. ∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F， ∴△FCD∽△FAC，∴===. 设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10. 又∵FC2=FD·FA，即(4x)2=3x(3x+10)， 解得x=(负值已舍去)，∴FD=3x=. 30 【变式2】 平行线+角平分线模型 (2024·威海)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且BC=CD.E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°. (1)求证：EF是☉O的切线； (2)若BE=2，CE=4，求AF的长. 31 (1)证明：如图，连接OC. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA. ∵BC=CD，∴=， ∴∠DAC=∠CAB=∠DAB， ∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC， ∴∠OCE=∠F. ∵EH平分∠FEG，∴∠FEG=2∠HEG， ∴∠F=∠FEG-∠FAE=2∠HEG-2∠CAB =2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°， ∴∠OCE=∠F=90°. ∵OC是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 32 (2)解：设☉O的半径为r，则OE=OB+BE=r+2. ∵OC2+CE2=OE2，即r2+42=(r+2)2，解得r=3， ∴EA=AB+BE=2r+2=8，OE=5. ∵AD∥OC，∴△EFA∽△ECO， ∴=，即=，解得AF=. 33 【变式3】 双切线模型 (2023·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心，OD为半径作☉O，恰好过点E. (1)求证：AC是☉O的切线； (2)若CD=12，tan∠ABC=，求☉O的半径. 34 (1)证明：如图，连接OE. 由题意可知OD=OE，∴∠OED=∠ODE. ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ODE，∴∠OED=∠CDE， ∴OE∥CD. 又∵∠ACB=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC. 又∵OE是☉O的半径，∴AC是☉O的切线. 35 (2)解：如图，过点D作DF⊥AB于点F. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB=90°，∴CD=DF. ∵CD=12，tan∠ABC=，∴BF==16， ∴BD==20，∴BC=CD+BD=32， ∴AC=BC·tan∠ABC=24， ∴AD==12. ∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD， ∴=，即==， 解得EO=15-3， ∴☉O的半径为15-3. 36 建议用时：15分钟 1.(改编题)已知平面内有☉O和点P，若☉O上一动点到点P的距离的 最大值和最小值分别为8 cm和2 cm，则☉O的半径为(　　) A.5 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.无法确定 C 1 3 5 题序 2 4 6 37 2.(2023·重庆A卷)如图，AC是☉O的切线，点B为切点，连接OA，OC. 若∠A=30°，AB=2，BC=3，则OC的长度是(　　) A.3 B.2 C. D.6 C 1 3 5 题序 2 4 6 38 3.(2023·滨州)如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，且∠APB=56°. 若C是☉O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为　　　　　　　.  62°或118°　 1 3 5 题序 2 4 6 39 4.(2024·青岛)如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交 AB，AC于点D，E.过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长 线于点N.若ON=10，cos∠ABC=，则半径OC的长为　　　　.  6 1 3 5 题序 2 4 6 40 5.(2023·绍兴)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作☉O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E. (1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数； (2)若OB=2，BD=1，求CE的长. 1 3 5 题序 2 4 6 41 解：(1)∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC=90°， ∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°. (2)∵CD是☉O的切线，OC是☉O的半径，∴∠OCD=90°. 在Rt△OCD中，∵OC=OB=2，OD=OB+BD=3， ∴CD==. ∵∠OCD=∠AEC=90°，∴OC∥AE， ∴=，即=，∴CE=. 1 3 5 题序 2 4 6 42 6.(2024·济宁)如图，△ABC 内接于☉O，D 是BC上一点，AD=AC.E是☉O外一点，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠ACB，连接BE. (1)若AB=8，求AE的长； (2)求证：EB是☉O的切线. 1 3 5 题序 2 4 6 43 (1)解：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，∴∠EAD=∠BAC. ∵AD=AC，∠ADE=∠ACB，∴△EAD≌△BAC(ASA)， ∴AE=AB=8. 1 3 5 题序 2 4 6 44 (2)证明：如图，连接OB，OA. ∵∠AOB=2∠ACB，OA=OB， ∴∠ABO=(180°-2∠ACB)=90°-∠ACB. ∵AE=AB，∠BAE=∠CAD，AD=AC， ∴∠AEB=∠ABE=∠ACB， ∴∠OBE=∠ABE+∠ABO=∠ACB+90°-∠ACB=90°. ∵OB是☉O的半径，∴EB是☉O的切线. 1 3 5 题序 2 4 6 45 $$