41第六章 第一节 圆的有关概念与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一节　圆的有关概念与性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 圆的有关概念 1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.其中，定点就是圆心，定长就是半径. 5 2.与圆有关的概念 (1)弧：圆上任意____________的部分叫作圆弧，简称弧.  (2)弦：连接圆上任意两点的__________叫作弦.  (3)直径：经过__________的弦叫作直径.  (4)等圆：半径相等的两个圆叫作等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合 的弧叫作等弧. (5)圆心角：顶点在__________的角叫作圆心角.  (6)圆周角：顶点在__________，两边分别与圆还有另一个交点像这样的 角，叫作圆周角.  　两点间　 　线段　 　圆心　 　圆心　 　圆上　 6 知识点2 圆的有关性质 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过__________的直线(或任意 一条直径所在的直线)，有__________条对称轴.  (2)圆是中心对称图形，对称中心为________.  　圆心　 　无数　 圆心　 7 2.圆心角、弧、弦之间的关系 项目 文字叙述 几何语言表述 几何图形 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧__________，所对的 弦也__________ 若∠AOB=∠COD， 则=_______， AB=________  推论 在同圆或等圆中，如果两条弧 相等，那么它们所对的圆心角 ________，所对的弦________ 若=，则 ∠AOB=________， AB=________  在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角 ______，所对的优弧和劣弧分别 __________ 若AB=CD，则∠AOB=________，==  　相等　 　相等　   　 　CD　 相等　 相等　  ∠COD 　CD　 相等 　相等　  ∠COD 8 3.垂径定理及其推论 项目 文字叙述 几何语言描述 图形示例 定理 垂直于弦的直径________弦， 并且________弦所对的两条弧  若AB⊥CD，则CE=DE= ___CD，=______， =  如图，AB为☉O的直径，AB，CD相交于点E 推论 ①平分弦(不是直径)的直径 ________于弦，并且________ 弦所对的两条弧  若CE=DE=CD，则 AB___CD， =___，=  ②弦的垂直平分线经过________， 并且平分弦所对的两条弧  若CE=DE，则AB____CD， ==  ③平分弦所对的一条弧的直径垂 直平分弦，并且______另一条弧  平分　 平分　 垂直　 平分　 ⊥ 圆心　 平分 ⊥ 9 4.圆周角定理及其推论 (1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的__________， 即∠ABC=∠AOC.  (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角________，即∠ABC=∠ADC.  ②直径所对的圆周角是__________，即∠ACB=∠DAC=90°；90° 的圆周角所对的弦是__________.  　一半　 　相等 　直角　 　直径　 10 【方法指导】 　　在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，常常会因为漏解而导致错误.例如： 11 5.圆内接多边形 (1)圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个 多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. (2)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角__________；  ②圆内接四边形的任意一个角的外角都等于它的____________.  　互补　 　内对角　 12 (3)拓展：①圆内接四边形的外角等于其内对角.如图1，∠DAE=∠C. ②连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形.如图 2，△ACF ∽△BDF，△ABF∽△CDF(注意：解答题不能直接使用). 13 ③如图3，AB为△ABC 和△ABD的公共边，且点C，D在AB的同侧，∠C=∠D，则点A，B，C，D在同一个圆上. ④如图4，在四边形ABCD 中，∠ADC+∠ABC=180°，则点A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD 的外接圆的圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点. 14 知识点3 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点 的圆叫作三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三边_______________ 的交点，叫作三角形的外心.  　垂直平分线　 15 命题点1 弧、弦、圆心角之间的关系3地0考　 例1 如图，点A，B，C，D在☉O上，∠AOC=140°，点B是的 中点，则∠D的度数是( )　　　　　　　　 A.70° B.55° C.35.5° D.35° 【解题启发】 你能找到圆弧所对的圆心角和圆周角吗？ D 16 练1 (人教版九上P89T5改编)如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB=54°， 则∠ADC的度数为(　　) A.27° B.34° C.50° D.54° A 17 命题点2 垂径定理及其推论3地0考　 例2 (2023·东营)【数学文化】 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算 术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一 寸，锯道长一尺.问：径几何？”转换为现在的数学语言就是：如图， CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10 寸，则直 径CD的长度是　　　　寸.  【解题启发】 看到垂直，能想到什么图形？ 26 18 【解题通法】 圆中常见辅助线的作法 (1)如图①，连半径，构造等腰三角形. 19 (2)如图②③，构造直角三角形. 20 (3)垂径定理的“知二推三”. 如图，因为圆是轴对称图形，所以图中五个条件，①=，②=，③AE=BE，④AB⊥CD，⑤“CD是直径”，只要满足其中的两个，就能证明另外三个也一定成立，由③⑤推其他结论时，一定强调AB不是直径. 21 练2 (2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则☉O的半径长为(　　) A.4 B.4 C.5 D.5 B 22 练3 在☉O中，直径AB=15，弦DE⊥AB于点C.若OC∶OB=3∶5， 则DE的长为(　　) A.6 B.9 C.12 D.15 C 23 命题点3 圆周角定理及其推论3地3考　 例3 (2023·枣庄)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A=48°，∠APD=80°，则∠B的度数为(　　) A.32° 　　B.42° C.48° 　　D.52° 【解题启发】 图中有几对相等的圆周角？ A 24 练4 如图，AB是☉O的直径，点C，D，E都在☉O上，则∠1+∠2 等于(　　) A.100° B.90° C.80° D.60° B 25 练5 (2024·泰安)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，BA平分∠CBD.若∠AOD=50°，则∠A的度数为(　　) A.65° B.55° C.50° D.75° A 26 练6 (2023·武汉)如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC； (2)若AB=4，BC=，求☉O的半径. 27 (1)证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC， ∠ACB=2∠BAC，∴∠AOB=2∠BOC. (2)解：如图，过点O作半径OD⊥AB交AB于点E，连接BD， ∴AE=BE. ∵∠AOB=2∠BOC，∠DOB=∠AOB， ∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC. ∵AB=4，BC=，∴BE=2，DB=. 28 在Rt△BDE 中，∠DEB=90°， ∴DE==1. 在Rt△BOE中，∠OEB=90°，OD=OB， OB2=OE2+BE2=(OB-1)2+22， 解得OB=，即☉O的半径是 . 29 命题点4 三角形的外接圆3地2考　 例4 (2024·山东)如图，△ABC是☉O的内接三角形.若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=　　　　.   【解题启发】 平行线的性质有哪些？与∠CAB有关的角有哪些？ 40° 30 练7 (2023·淄博)如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交☉O于点E. 若AD=2，DE=3，则☉O的半径为(　　) A. B. C.2 D.3 A 31 练8 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是 △ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值 是　　　　.  32 命题点5 圆内接四边形3地0考　 例5 (2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边，延长 线相交于点E，F.若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则∠A 的度数为(　　) A.42° B.41°20' C.41° D.40°20' 【解题启发】 圆内接四边形有什么性质？ C 33 练9 (2024·滨州)如图，四边形ABCD内接于☉O.若四边形OABC是菱形，则∠D=　　　　°.  60 34 练10 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E. (1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE； (2)若BC=3，☉O的半径为2，求sin∠BAC. 35 (1)证明：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠ADE=∠ABC. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE. (2)解：如图，连接CO并延长交☉O于点F，连接BF， 则∠FBC=90°. 在Rt△BCF中，CF=4，BC=3， ∴sin F==. ∵∠F=∠BAC，∴sin∠BAC=sin F=. 36 建议用时：15分钟 1.(2023·广西)如图，点A，B，C在☉O上，∠C=40°，则∠AOB的度数 是(　　) A.50° B.60° C.70° D.80° D 1 3 5 7 题序 2 4 6 37 2.如图，在☉O中，AB⊥AC，AB=6，AC=8，点D是的中点，则CD 的长为(　　) A.2 B.2 C.3 D.4 A 1 3 5 7 题序 2 4 6 38 3.弦AB把圆的周长分成1∶5两部分，则弦AB所对的圆周角度数为 　　　　　　　　　　.  150°或30°　 1 3 5 7 题序 2 4 6 39 4.(2023·永州)如图，☉O是一个盛有水的容器的横截面，☉O的半径为 10 cm.水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为　　　cm.  16 1 3 5 7 题序 2 4 6 40 5.如图，在半径为的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是　　　　.  2 1 3 5 7 题序 2 4 6 41 6.(2023·成都)如图，以△ABC的边AC为直径作☉O，交BC边于点D，过点C作 CE∥AB交☉O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE. (1)求证：AC=BC； (2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长. 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 (1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE， ∴∠BAC=∠ACE=∠ADE. ∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC. 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 (2)解：设BD=x. ∵AC是☉O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°. ∵tan B=2， ∴=2，即AD=2x. 根据(1)中的结论可得AC=BC=BD+DC=x+3. 在Rt△ADC中，由勾股定理可得AD2+DC2=AC2， 即(2x)2+32=(x+3)2， 解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4， ∴AB==2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F. ∵CB=CA，∴∠ACB=180°-2∠B. (1)中已证明∠B=∠ACE， ∴∠ECF=180°-∠ACB-∠ACE=∠B. ∵EF⊥CF， ∴tan∠ECF=tan B=2，即=2. ∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE， ∴∠BAD=∠EDF， 1 3 5 7 题序 2 4 6 45 ∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-∠BAD=∠B， ∴tan∠DEF=tan B=2，即=2. 设CF=a，则DF=DC+CF=3+a，∴EF=2a， ∴=2，解得a=1，∴EF=2，DF=4， ∴DE==2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 46 7.如图，在☉O中，B是☉O上的一点，∠ABC=120°，弦AC=2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC. (1)求☉O半径的长； (2)试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系， 并证明你的结论. 1 3 5 7 题序 2 4 6 47 解：(1)如图1，连接OA，OC，过点O作OH⊥AC于点H. ∵∠ABC=120°， ∴∠AMC=180°-∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠AMC=120°， ∴∠AOH=∠AOC=60°. ∵AC=2，∴AH=AC=， ∴OA===2，∴☉O的半径为2. 图1 1 3 5 7 题序 2 4 6 48 (2)AB+BC=BM.理由如下： 如图2，在BM上截取BE=BC，连接CE. ∵∠ABC=120°，BM平分∠ABC， ∴∠ABM=∠CBM=60°. ∵BE=BC，∴△EBC是等边三角形， ∴CE=CB=BE，∠BCE=60°， ∴∠BCD+∠DCE=60°. 图2 1 3 5 7 题序 2 4 6 49 ∵∠ACM=60°，∴∠ECM+∠DCE=60°， ∴∠ECM=∠BCD. ∵∠CAM=∠CBM=60°，∠ACM=∠ABM=60°， ∴△ACM是等边三角形，∴AC=CM， ∴△ACB≌△MCE(SAS)，∴AB=ME. ∵ME+EB=BM，∴AB+BC=BM. 1 3 5 7 题序 2 4 6 50 $$