40第五章 第四节 正方形的判定与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第四节　正方形的判定与性质 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 正方形的判定与性质 1.正方形：有一组邻边__________的矩形叫作正方形.  2.正方形的性质 (1)四个角都是__________，四条边都__________.  (2)对角线相等且________________，每条对角线平分一组对角.  (3)既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_______条对称轴.  　相等　 　直角　 　直角　 　互相垂直平分 　4　 5 3.正方形的判定 (1)有一组邻边__________的矩形是正方形.  (2)对角线互相__________的矩形是正方形.  (3)有一个角是__________的菱形是正方形.  (4)对角线__________的菱形是正方形.  　相等　 　垂直　 　直角　 　相等　 6 知识点2 正方形的判定思路 7 命题点　正方形的判定与性质3地3考　 例 【一题串考点·原创题】 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点 O.在下列四个条件中： ①∠ADB=∠ABD；②AC⊥BD；③AC平分∠BAD； ④AO=BO. (1)从中选择一个合适的条件，证明平行四边形ABCD是矩形； (2)若四边形ABCD是矩形，AB=2，∠ACB=30°，求BD的长； (3)从中选择一个合适的条件，证明平行四边形ABCD是菱形； (4)若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，求点O到AB的距离； (5)从中任选两个条件，证明平行四边形ABCD是正方形； (6)若正方形ABCD的面积为16，求OA的长. 8 【解题启发】 平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定与性质有什么不同？ 9 【规范解答】 解：(1)选条件④. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO. 又∵AO=BO，∴AO=BO=CO=DO，即AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. (2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD. ∵AB=2，∠ACB=30°，∴BD=AC=2AB=4. (3)选条件②. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形.(答案不唯一) 10 (4)如图，过点O作OE⊥AB于点E. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC. ∵AC=6，BD=8，∴AO=3，BO=4， ∴AB===5. ∵S△AOB=AB·OE=AO·BO， ∴OE===， ∴点O到AB的距离为. 11 (5)选条件①④. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠ABD， ∴AO=CO，BO=DO，AB=AD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 又∵AO=BO，∴AO=BO=CO=DO，即AC=BD， ∴菱形ABCD是正方形.(答案不唯一) (6)∵正方形ABCD的面积为16， ∴AB=BC=4，∴AC=AB=4，∴OA=AC=2. 12 练1 (2023·黑龙江龙东地区)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，试添加一个条件　　　　　　　　　　　，使得矩形ABCD为 正方形.  AB=AD(答案不唯一)　 13 练2 (2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， E为BC上一点，CE=7，点F为DE的中点.若△CEF的周长为32，则OF 的长为　　　　.  14 练3 (2023·宜宾)如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一 点，连接AM并延长交CD于点P.若PM=PC，则AM的长为　　　　　.  6-6　 15 练4 (2023·天津)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰 三角形ADE，EA=ED=. (1)△ADE的面积为　　　　；  (2)若点F为BE的中点，连接AF并延长， 与CD相交于点G，则AG的长为　　　　.  3 16 建议用时：10分钟 1.(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上， AF与DC交于点H.若AB=6，CE=2，则DH的长为(　　)　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C. D. B 1 3 5 题序 2 4 17 2.(2023·青岛)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中 点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，点N为EG的中点.若BG=3， CG=1，则线段MN的长度为(　　) A. B. C.2 D. B 1 3 5 题序 2 4 18 3.(2024·广西)如图，边长为5的正方形ABCD，点E，F，G，H分别为各边 中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形 MNPQ的面积为(　　) A.1 B.2 C.5 D.10 C 1 3 5 题序 2 4 19 4.(2024·黑龙江龙东地区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，请添加一个条件　　　　　　　　　　，使得菱形ABCD为正方形.  AC=BD(答案不唯一) 1 3 5 题序 2 4 20 5.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OE，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF. (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由. 1 3 5 题序 2 4 21 (1)证明：∵四边形ABCD为菱形，点E，F分别是AB，AD的中点，∴BE=DF，∠B=∠D，BC=DC. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(SAS). (2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形.理由如下： ∵点E，O，F分别是AB，AC，AD的中点， ∴AE=AF，AF=EO，AF∥EO，∴四边形AEOF是菱形. ∵AB⊥BC，∴AE⊥EO，∴四边形AEOF是正方形. 1 3 5 题序 2 4 22 $$