39第五章 第三节 菱形的判定与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　菱形的判定与性质 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 菱形的判定与性质 1.菱形：有一组邻边__________的平行四边形叫作菱形.  2.菱形的性质 (1)菱形的四条边都__________.  (2)菱形的对角__________.  (3)菱形的两条对角线互相______________，每条对角线平分一组对角.  (4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_______条对称轴.  　相等　 　相等　 　相等　 　垂直平分　 　2　 5 3.菱形的判定 (1)有一组邻边__________的平行四边形是菱形.  (2)四条边__________的四边形是菱形.  (3)对角线互相__________的平行四边形是菱形.  　相等　 　相等　 　垂直　 6 知识点2 菱形的判定思路 7 命题点　菱形的判定与性质3地2考　 例 (2023·日照)如图，平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE=DE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=10，tan∠BAC=2，求四边形ABCD的面积. 8 【解题启发】 (1)想一想菱形的判定思路是什么？ (2)看见锐角三角函数，首先想到什么？ 9 【规范解答】 (1)证明：如图，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵BE=DE，∴OE⊥BD，即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 10 (2)解：由(1)知，AC⊥BD， ∴∠AOB=90°. ∵tan∠BAC=2，∴=2，即BO=2AO. 在Rt△AOB中，∵AB=10，AO2+BO2=AB2， ∴AO2+(2AO)2=102，解得AO=2， ∴BO=4，∴AC=2AO=4，BD=2BO=8. 由(1)知，四边形ABCD是菱形， ∴S菱形ABCD=AC·BD=×4×8=80. 11 练1 (2024·济宁)如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O， 点E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为(　　)　　　　　　　　 A.6 B.8 C.10 D.12 A 12 练2 (2024·威海)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在 BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G.下列结论错误 的是(　　) A.若=，则EF∥BD B.若AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，则EF∥BD C.若EF∥BD，CE=CF，则∠EAC=∠FAC D.若AB=AD，AE=AF，则EF∥BD D 13 练3(2024·淄博)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，点E在BC的延长线上，OE与CD相交于点F.若∠ACD=2∠OEC， =，则菱形ABCD的面积为　　　　.  96 14 练4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE⊥CD交BC的延长线于点F，且CE=DE，连接DF，AC. (1)求证：四边形ACFD是菱形； (2)若AE=，∠BAC=75°，∠ADE=60°，求BF的长. 15 (1)证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠EFC，∠EDA=∠ECF. ∵CE=DE，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AE=FE， ∴四边形ACFD是平行四边形. 又∵AE⊥CD，∴四边形ACFD是菱形. 16 (2)解：如图，过点A作AH⊥BF于点H. ∵AE⊥CD，∠ADE=60°，AE=，∴AD==2. ∵四边形ACFD是菱形， ∴CF=AD=AC=2，∠ACF=∠ADF=2∠ADE=120°， ∴∠ACB=60°. ∵∠BAC=75°，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=45°. 在Rt△AHC中，AH=AC·sin∠ACH=， CH=AC·cos∠ACH=1. 在Rt△ABH中，BH==， ∴BF=BH+CH+CF=+1+2=3+. 17 建议用时：10分钟 1.(2023·湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD.若∠1=20°， 则∠2的度数为(　 )　　　　　　　　 A.20° B.60° C.70° D.80° C 1 3 5 题序 2 4 6 18 2.(2024·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC 于点E，则AE的长是(　　) A. B.6 C. D.12 A 1 3 5 题序 2 4 6 19 3.(2024·上海)在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC=　　　　.  57° 1 3 5 题序 2 4 6 20 4.(2024·贵州)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点， 连接AE，AF.若sin∠EAF=，AE=5，则AB的长为　　　　.  1 3 5 题序 2 4 6 21 5.(2024·呼伦贝尔)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若平行四边形ABCD的周长为22， CE=1，∠BAD=120°，求AE的长. 1 3 5 题序 2 4 6 22 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠AFO=∠EBO. ∵点O是BF的中点，∴OB=OF. 在△AOF和△EOB中， ∴△AOF≌△EOB(ASA)，∴OA=OE. ∵OB=OF，∴四边形ABEF是平行四边形. ∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形. 1 3 5 题序 2 4 6 23 (2)解：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°. ∵∠BAD=120°，∴∠ABE=60°. ∵AB=BE，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB. ∵AD=BC，AF=BE，∴EC=DF=1. ∵DF∥EC，∴四边形EFDC是平行四边形，∴CD=EF. ∵AB+BC+CD+AD=22， ∴AB+BE+1+CD+AF+1=22，∴4AB=20，∴AE=AB=5. 1 3 5 题序 2 4 6 24 6.(北师大版九上P27T8改编)已知，如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F. (1)求证：四边形AEDF是菱形； (2)若AF=10，AD=16，求四边形AEDF的面积. 1 3 5 题序 2 4 6 25 (1)证明：∵AB∥DF，AC∥DE， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC. 又∵AC∥DE，∴∠ADE=∠DAC， ∴∠ADE=∠BAD，∴EA=ED，∴四边形AEDF是菱形. 1 3 5 题序 2 4 6 26 (2)解：如图，连接EF交AD于点O. ∵四边形AEDF是菱形， ∴OF=EF，AO=AD=8，AD⊥EF， ∴在Rt△AOF中， 由勾股定理得OF===6，∴EF=12， ∴S四边形AEDF=EF·AD=×12×16=96. 1 3 5 题序 2 4 6 27 $$