38第五章 第二节 矩形的判定与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第二节　矩形的判定与性质 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 矩形的判定与性质 1.矩形：有一个角是__________的平行四边形叫作矩形.  2.矩形的性质 (1)矩形的对边________________.  (2)矩形的四个角都是__________.  (3)矩形的对角线__________.  (4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_______条对称轴.  　直角　 　平行且相等　 　直角　 　相等　 　2　 5 3.矩形的判定 (1)有一个角是__________的平行四边形是矩形.  (2)对角线__________的平行四边形是矩形.  (3)有三个角是__________的四边形是矩形.  　直角　 　相等　 　直角　 6 知识点2 矩形的判定思路 7 命题点　矩形的判定与性质3地3考　 例 【一题串考点·原创题】 四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点. (1)若AC=EC，如图1，求证：△BCD≌△CBE； (2)若AC=EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形； (3)连接DE，交AC于点F，交BC于点P，如图2，求证：DF2=EF·FP； (4)若AB=AD，F是AB上的一点，AF=BE，EG⊥AC于点G，如图3，求证：△DGF是等腰直角三角形； (5)在(4)的情况下，如图3，且AF=BE=1， DG=，求CG的长. 8 【解题启发】 想一想全等三角形、平行四边形、相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，如何证明以上问题？ 9 【规范解答】 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠CBE=180°-∠ABC=90°，∴∠BCD=∠CBE=90°. ∵AC=EC，∴BD=CE. ∵BC=CB，∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL). (2)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD且AB∥CD，CB⊥AE. 又∵AC=EC，∴AB=BE，∴BE=CD且BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形. 10 (3)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△CPF∽△ADF，△CDF∽△AEF，∴==， ∴=，∴DF2=EF·FP. (4)证明：∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形. ∵EG⊥AC，∴∠E=∠GAE=45°，∴GE=GA. 又∵AF=BE，∴AB=FE，∴FE=AD. 又∵∠DAC=∠E=45°，∴△EGF≌△AGD(SAS)， ∴GF=GD，∠FGE=∠DGA， ∴∠DGF=∠DGA+∠AGF=∠EGF+∠AGF=∠AGE=90°， ∴△DGF是等腰直角三角形. 11 (5)解：∵∠FGD=90°，FG=DG=， ∴DF2=FG2+DG2=()2+()2=10. ∵∠DAF=90°，AF=BE=1， ∴EF=AD=CD===3， ∴AE=AF+EF=1+3=4，AC===3. ∵GE2+GA2=AE2=42=16，且GE=GA， ∴2GA2=16，∴GA=2， ∴CG=AC-GA=3-2=，∴CG的长为. 12 练1 (2023·滨州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F 分别是线段OB，OA上的点.若AE=BF，AB=5，AF=1，BE=3，则BF的 长为　　　　.  13 练2 (2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC=90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD=BC. (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3，AC=5，求四边形ABCD的面积. 14 (1)选择①，证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形. (任选1个证明即可) (2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°. ∵AB=3，AC=5，∴BC==4， ∴S四边形ABCD=AB·BC=3×4=12. 15 练3 (2024·青岛)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF.   (1)求证：四边形ABCD是平行四边形. (2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值. 16 (1)证明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 17 (2)解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. ∵AB=BO，∴AB=BO=AO， ∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO=60°. ∵BE⊥AC，∴∠BEA=90°，∴∠ABE=90°-60°=30°， 即∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， ∴=tan 60°=. 18 建议用时：10分钟 1.(2022·邵阳)已知矩形的一边长为 6 cm，一条对角线的长为10 cm， 则矩形的面积为　　　　cm2.  48 1 3 题序 2 4 19 2.(2022·武威)如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=9 cm，点E，F分别 在边AB，BC上，AE=2 cm，BD，EF交于点G.若点G是EF的中点，则BG 的长为　　　　cm.  1 3 题序 2 4 20 3.(2023·岳阳)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从①∠1= ∠2、②AM=DM、③∠3=∠4三个选项中选择一个合适的选项作为 已知条件，使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是　　　　(填序号)；  (2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形. 1 3 题序 2 4 21 解：(1)①(或②) (2)添加条件①，▱ABCD为矩形. 证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴∠A=∠D. 又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°， ∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形.(任选1个证明即可) 1 3 题序 2 4 22 4.(2024·新疆生产建设兵团)如图，△ABC的中线BD，CE交于点O， 点F，G分别是OB，OC的中点. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)当BD=CE时，求证：▱DEFG是矩形. 1 3 题序 2 4 23 证明：(1)∵BD和CE是△ABC的中线， ∴点E和点D分别为AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC. 同理可得，FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG， ∴四边形DEFG是平行四边形. 1 3 题序 2 4 24 (2)∵四边形DEFG是平行四边形， ∴OE=OG，OD=OF. 又∵点F，G分别是OB，OC的中点， ∴OF=FB，OG=GC，∴OE=OG=GC，OD=OF=BF， ∴DF=BD，EG=CE.∵BD=CE，∴DF=EG. 又∵四边形DEFG是平行四边形， ∴平行四边形DEFG是矩形. 1 3 题序 2 4 25 $$