37第五章 第一节 多边形与平行四边形-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一节　多边形与平行四边形 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 多边形 1.定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面 图形叫作多边形；各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 2.多边形的内、外角和：n(n≥3)边形的内角和是　　　　　，外角和是 　　　.正n边形每个内角的度数是　　　　　　　，每个外角的度数是 　　　　.  (n-2)·180°　 360°　 5 3.多边形的对角线：连接多边形　　　　的两个顶点的线段叫作多边形 的对角线.从n(n≥4)边形的一个顶点可作　　　　条对角线，可分成(n-2) 个三角形，n边形对角线总条数为　　　　　条.  不相邻　 (n-3)　 0 6 4.对称性 当n(n≥3)为奇数时，正n边形是轴对称图形，对称轴有n条；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有n条，对称中心是正多边形的中心. 7 知识点2 平面图形的镶嵌 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌. 8 知识点3 平行四边形 1.定义：两组对边分别__________的四边形，叫作平行四边形.  　平行　 9 2.平行四边形的判定与性质 项目 性质 判定 边 平行四边形的对边 ____________ (1)两组对边分别__________的四边形；  (2)两组对边分别__________的四边形；  (3)一组对边________________的四边形  角 平行四边形的对角______ 两组对角分别______的四边形 对角线 平行四边形的对角线 __________ 对角线____________的四边形  对称性 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是______________ 平行且相等 　平行　 　相等　 　平行且相等　 相等 相等 互相平分 互相平分　 对角线的交点 10 3.平行四边形的面积 (1)平行四边形的面积=　　　　　.  (2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积　　　.  (3)如果两条直线相互平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离. 底×高　 相等 11 命题点1 多边形的相关计算3地0考　 例1 (2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平 面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°， 则n的值为(　　)　　　　　 A.12 B.10 C.8 D.6 【解题启发】 正多边形的内角和公式是什么？ A 12 练1 (2023·自贡)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一 幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB= 15°，算出这个正多边形的边数是(　　)　　　　　　　　　　 A.9 B.10 C.11 D.12 D 13 练2 (2023·枣庄)如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上.若∠1=44°，则∠2的度数为(　　) A.14° B.16° C.24° D.26° B 14 练3 若n边形的内角和与外角和相加为1 800°，则这个n边形从一个 顶点出发能作　　　条对角线.  7 15 练4 (2024·威海)如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH， 垂足为I.若∠EFG=20°，则∠ABI=　　　　.  50° 16 命题点2 平行四边形的判定与性质3地2考　 考法❶　平行四边形的判定 例2 (2024·湖南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， 　　　　.  请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作 为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题： (1)求证：四边形BCDE为平行四边形； (2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长. 17 【解题启发】 (1)按照自己选择的条件判定平行四边形时，需要用到哪些判定定理？ (2)看到垂直可以联想到哪个知识点？ 18 【规范解答】 (1)选择①. 证明：∵∠B=∠AED，∴BC∥DE. ∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形. (任选一个证明即可) (2)解：由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE=BC=10. ∵AD⊥AB，∴∠A=90°， ∴AE===6. 19 【方法指导】 判定平行四边形的一般思路 20 练5 (2023·广安)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥ AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AF=CE，∠BAC=∠DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 21 证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°. ∵AF=CE，AE=AF-EF，CF=CE-EF，∴AE=CF. 又∵∠BAC=∠DCA，∴△AEB≌△CFD(ASA)， ∴AB=CD. ∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 22 练6 (2023·杭州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积. 23 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. ∵BE=FD，∴OB-BE=OD-FD，∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形. (2)解：∵S△ABE=2，BE=EF，∴S△AEF=S△ABE=2. ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△CFO=S△CEF=S△AEF=×2=1. 24 练7 (2024·武汉)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件， 使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由) 25 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D. ∵AF=CE，∴AD-AF=BC-CE，即DF=BE. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△C 26 (2)添加AF=BE(答案不唯一). 如图，连接EF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE， 当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形. 27 考法❷　平行四边形的性质 例3 (2024·山东)如图，E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC=5，CE=1， 连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为(　　) A. B.3 C. D.4 【解题启发】 你能用几种方法解答此题？平行四边形的性质有哪些？ B 28 练8 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD 的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是(　　) A. 16 cm B. 12 cm C. 8 cm D. 4 cm C 29 练9 (2023·聊城)如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F， 连接BF.若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为　　　　.  24 30 练10 (2022·烟台)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A=40°，求∠ABE的度数. 31 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°. ∵∠A=40°，∴∠ADC=140°. ∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=∠ADC=70°， ∴∠AFD=∠CDF=70°. ∵DF∥BE，∴∠ABE=∠AFD=70°. 32 建议用时：10分钟 1.(2023·兰州)如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个 正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示 意图，它的一个外角∠1的度数为(　　)　　　　　　　　 A.45° B.60° C.110° D.135° A 1 3 5 7 题序 2 4 6 33 2.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(　　) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 34 3.(2023·重庆B卷)若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角 之和为　　　　　.  800° 1 3 5 7 题序 2 4 6 35 4.(2023·福建)如图，在▱ABCD中，点O为BD的中点，EF过点O且分别 交AB，CD于点E，F.若AE=10，则CF的长为　　　　.  10 1 3 5 7 题序 2 4 6 36 5.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，AB=12，CF=3，则CE=　　　　.  12 1 3 5 7 题序 2 4 6 37 6.(2022·临沂)如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两 点，添加下列条件中的一个：①BM=EN；②∠FAN=∠CDM；③AM= DN；④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是　　　　. (填上所有符合要求的条件的序号)  ①②④　 1 3 5 7 题序 2 4 6 38 7.(2023·扬州)如图，点E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点， 连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N. (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积. 1 3 5 7 题序 2 4 6 39 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC. ∵点E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点， ∴AE=AB=CD=CG，AE∥CG， ∴四边形AECG为平行四边形，∴AN∥CM. 同理可得四边形AFCH为平行四边形， ∴AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形. 1 3 5 7 题序 2 4 6 40 (2)解：如图，连接HG，AC，EF. ∵点H，G为AD，CD的中点，∴HG是△ACD的中位线， ∴HG∥AC，HG=AC， ∴△HNG∽△CNA，∴==，∴==， 同理可得=， ∴S△ANH+S△FMC=(S△ANC+S△AMC)=S▱AMCN=2， ∴S▱AFCH=S△ANH+S△FMC+S▱AMCN=2+4=6. ∵AH=AD，∴S▱ABCD=2S▱AFCH=12. 1 3 5 7 题序 2 4 6 41 $$