36综合与实践专题二 三角形的综合-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 专题知识整合 专题题组训练 4 构造含30°，45°，60°的直角三角形 图形特征 辅助线作法 通用结论 若题中已知30°，45°，60°，常通过作垂线构造直角三角形 若∠C=30°，则AC=2AD=CD； 若∠C=45°，则AC=AD=CD； 若∠C=60°，则AC=AD=2CD 5 构造含30°，45°，60°的直角三角形 图形特征 辅助线作法 通用结论 若题中已知30°，45°，60°，常通过作垂线构造直角三角形 若∠C=30°，则CD=2AD=AC； 若∠C=45°，则CD=AD=AC； 若∠C=60°，则CD=AD=2AC 若∠C=30°，则BC=2BD=CD； 若∠C=45°，则BC=BD=CD； 若∠C=60°，则BC=BD=2CD 6 构造含30°，45°，60°的直角三角形 图形特征 辅助线作法 通用结论 若题中无30°，45°，60°，常通过寻找直角构造直角三角形 利用截长补短构造特殊角，若想使∠BAD=30°，则作BD=AB；若想使∠BAD=45°，则作BD=AB；若想使∠BAD=60°，则作BD=AB 7 1.(2024·山东)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 8 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB=60米，∠PAB=79°，∠PBA=64°.画出示意图，如图1. 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离. (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98， cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) 9 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方 案：如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD=DE，∠DEF=∠DAP，当F，D，P三点在同一条直线上时，只需测量EF即可. (2)乙小组的方案用到了　　　　.(填写正确答案的序号)  ①解直角三角形　　　　　②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案. 10 解：(1)如图，过点A作AC⊥PB于点C. ∵∠PAB=79°，∠PBA=64°， ∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=37°. 在Rt△ABC中，AB=60米， ∴AC=AB·sin 64°≈60×0.90=54(米). 在Rt△ACP中，AP=≈=90(米). 答：A，P两点间的距离是90米. (2)② 11 2.(2024·滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C. ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC，即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方法. 小军 小民 证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形， 根据勾股定理得… 12 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 13 解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ADB和△ADC中， ∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B=∠C. 14 (2)小军的证明过程： 如图，分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE=BA，CF=CA. ∵AB+BD=AC+CD，∴BE+BD=CF+CD，∴DE=DF. ∵AD⊥BC，∴∠ADE=∠ADF=90°. 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF(SAS)，∴∠E=∠F. 15 ∵BE=BA，CF=CA，∴∠E=∠BAE，∠F=∠CAF. ∵∠ABC=∠E+∠BAE，∠ACB=∠F+∠CAF， ∴∠ABC=∠ACB. 小民的证明过程： ∵AD⊥BC，∴△ADB 与△ADC均为直角三角形. 根据勾股定理得AD2+BD2=AB2，AD2+CD2=AC2， ∴AB2-BD2=AC2-CD2， ∴(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD) ∵AB+BD=AC+CD，①∴AB-BD=AC-CD.② ∵①+②得AB=AC，∴∠B=∠C. 16 3.(2023·扬州节选)【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°角的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C，∠ADB=∠A'D'C=90°，∠B=∠C=30°，设AB=2. 17 【操作探究】 如图，先将△ADB和△A'D'C的边AD，A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°≤α≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC. (1)当α=60°时，BC=　　　　；当BC=2时，α=　　　　　°.  (2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积. 18 解：(1)2　30或210 (2)如图. ∵∠ADB=90°，∠B=30°，AB=2，∴AD=1. ∵α=90°，∴∠BAC=60°+60°-90°=30°， ∴∠QAD=∠BAD-∠BAC=30°， ∴DQ==， ∴S△ADQ=×1×=. ∵∠D'=∠D'AD=∠D=90°，AD=AD'， 19 ∴四边形ADPD'是正方形，∴DP=AD=1， ∴S△APD=×1×1=，∴S△APQ=-， 同理S△APR=-， S四边形ARPQ=S△APQ+SAPR=-+-=1-， ∴两块三角板重叠部分图形的面积为1-. 20 $$