35第四章 第六节 解直角三角形及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第六节　解直角三角形及其应用 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则sin A=，cos A=，tan A=. 5 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α 　　　  　　  cos α 　　　  　　  tan α 　　　  　　　  1 6 知识点2 解直角三角形 1.解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程. 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边关系为　 　.  (2)三角的关系为 .  (3)边角关系为sin A=，cos A=，tan A=.  (设Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) a2+b2=c2　 ∠A+∠B=∠C 7 3.解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角. (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角. (3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角. (4)已知直角、两条直角边，求其他边和角. 8 知识点3 解直角三角形的应用 仰角、俯角问题 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角；视线在水平线下方的角叫作俯角 坡度(坡比)、 坡角问题 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比)；坡面与水平线的夹角叫作坡角.坡比i=tan α= 方向角问题 一般以观察者的位置为中心，正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角.通常表达成北(南)偏东(西)多少度 9 命题点1 锐角三角函数3地2考　 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则 sin A 的值为(　　) A. B. C. D. 【解题启发】 你能分清正弦、余弦与正切吗？ B 10 练1 (2024·临夏)如图，在△ABC中，AB=AC=5，sin B=，则BC的长 是(　　) A.3 B.6 C.8 D.9 B 11 命题点2 特殊角的三角函数值3地0考　 例2 在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足|sin A-|+(cos B-)2=0， 则∠C的度数是　　　　.  【解题启发】 30°，45°，60°的三角函数值分别是多少？ 120° 12 练2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin =　　　　.  13 命题点3 解直角三角形3地3考　 例3 已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE∶AB=3∶5.若CE=，cos∠ACD=，求tan∠AEC的值及CD的长. 【解题启发】 求tan∠AEC的值，要知道哪两条线段的长？ 14 【规范解答】 解：在Rt△ACD与Rt△ABC中， ∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠ACD，∴cos∠ABC=cos∠ACD=. 在Rt△ABC中，cos∠ABC==， 令BC=4k，AB=5k，则AC=3k. ∵BE∶AB=3∶5，∴BE=3k，则CE=k. ∵CE=，∴k=，AC=3，∴tan∠AEC==3. ∵cos∠ACD==，∴CD=. 15 练3 如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，=，点E是AB的中点， tan D=2，CE=1，求 sin∠ECB 的值和AD的长. 16 解：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°. ∵点E是AB的中点，CE=1， ∴BE=CE=1，AB=2CE=2，∴∠B=∠ECB. ∵=，∴设BC=3x，CD=2x. ∵tan D=2，∴=2，∴AC=4x. ∵在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5x， ∴sin∠ECB=sin B==.∵AB=5x=2，∴x=， ∴AD===2x=2×=. 17 练4 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E为边AC的中点， BC=14，AD=12，sin B=，求： (1)线段DC的长； (2)sin∠EDC的值. 18 解：(1)在△ABC中，∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC，∴sin B==. ∵AD=12，∴AB===15， ∴BD===9， ∴DC=BC-BD=14-9=5. (2)在Rt△ADC中，∵AD=12，DC=5，∴AC=13. ∵点E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C， ∴sin∠EDC=sin C==. 19 练5 如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2. (1)求证：AD=CD； (2)若tan B=3，求线段AB的长. 20 (1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE=90°. 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4， ∴∠DEA=60°，DE=AE=2. ∵EC=2，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C. 又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°， ∴∠C=30°=∠DAE，∴AD=CD. 21 (2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°. ∵AE=4，EC=2，∴AC=6. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°， ∠C=30°，∴AF=AC=3. 在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tan B=3， ∴BF==1，∴AB==. 22 命题点4 解直角三角形的实际应用3地2考　 考法❶　坡度、坡角问题 例4 (2022·烟台)如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通 道，已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB=0.75 m，斜坡AC的坡比 为1∶2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距 离ED=2.55 m，为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少 度？(结果精确到1°) 23 24 【解题启发】 斜坡AC的坡比为1∶2，是哪两条线段的比？为防止通道遮盖井盖，你应该怎么求得最小坡角？ 【规范解答】 为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12°. 25 【解题通法】 解直角三角形的实际应用题的一般步骤 (1)审题，把实际情境数据化，厘清细节； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数解直角三角形； (3)当明显缺乏直角三角形时，就需要作垂线，构造直角三角形，一般有以下几种作法： 26 练6 (2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度.(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈.计算结果用根号表示，不取近似值) 古树DE的高度为(40-10)m. 27 考法❷　仰角、俯角问题 例5 (2023·烟台)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325) 【解题启发】 如何作辅助线构造出直角三角形？ 28 【规范解答】 解：该风力发电机塔杆PD的高度约为32米. 29 练7 (2024·日照)潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景 区全貌.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB 的高度，测量方案如图所 示：无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶端A 的俯角为22°， 再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点 N，测得潮汐塔底端B 的俯角为 45°(点M，N，A，B 在同一平面内)，则潮汐塔AB的高度为(　　) (结果精确到1 m.参考数据： sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93， tan 22°≈0.40) A.41 m B.42 m C.48 m D.51 m B 30 练8 (2024·泰安)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶 河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机 在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得 瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C， P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB为　　　　米.(参考数据： sin 40°≈，sin 63.6°≈，tan 50°≈，tan 63.6°≈2)  74 31 考法❸　方向角问题 例6 (2023·聊城)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、 龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向 520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.在明珠大剧院P测得角 楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P 在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离.(结果精确到1 m.参考数 据：sin 68.2°≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈2.50，sin 56.31° ≈0.832，cos 56.31°≈0.555，tan 56.31°≈1.50) 32 【解题启发】 如何构造辅助线使BC或BC的一部分在直角三角形中？ 【规范解答】 解：明珠大剧院到龙堤BC的距离为1 320 m. 33 练9 (2023·东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港， 然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离 为　　　　 km.  50　 34 练10 如图，灯塔C位于灯塔B的正东方向，两灯塔相距10 km，灯塔B位 于港口A的北偏东58°方向，距离港口A 30 km，一艘轮船从港口A出发， 沿正南方向航行到D处，测得灯塔C位于北偏东37°方向上，这时， D处距离灯塔C有多远？(结果取整数.参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58° ≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 解：D处距离灯塔C约59 km. 35 考法❹　其他问题 例7 (2023·枣庄)如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的 架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶 放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需 处.若已知：杠杆AB=6米，AO∶OB=2∶1，支架OM⊥EF，OM=3米，AB可 以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°，此时点 B到水平地面EF的距离为　 　　米.(结果保留根号)  【解题启发】 你能提取出 哪些已知条件？ (3+)　 36 练11 (2024·烟台)【跨学科·地理】 根据收集的素材，探索完成任务. 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76° sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25， sin 29°≈0.48，cos 29°≈0.87，tan 29°≈0.55， sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93， sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.01 37 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE为某时刻的太阳光线 38 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择　　　　日(填“冬至”或“夏至”)时，α为　　　(填“14°”或“29°”，“43°”或“76°”中的一个)进行计算  任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器 39 解：任务一：冬至　14° 任务二：如图，过点E作EF⊥AB于点F，则∠AFE=90°，EF=54米，BF=DE. 在Rt△AFE中，tan α=， ∴AF=EF·tan 14°≈54×0.25=13.5(米). ∵AB=11×3.3=36.3(米)， ∴DE=BF=AB-AF=36.3-13.5=22.8(米)， 22.8÷3.3≈6.9(层). 答：乙楼中7层(含7层)以下不能安装该品牌太阳能热水器. 40 建议用时：15分钟 1.(改编题)3tan 30°-2sin 60°的值等于(　　) A.0 B.-1 C. D.2 A 1 3 5 题序 2 4 6 41 2.(2024·淄博)如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平 地面上的影长BC为35 m，又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°， 则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 6 42 3.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C， D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为(　　) A. B. C. D. B 1 3 5 题序 2 4 6 43 4.(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在 建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得 AB=30 m.用高1 m(AC=1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为 30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是　　 　　m.  (15+1)　 1 3 5 题序 2 4 6 44 5.(2023·赤峰)为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的 一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线， 改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC=6千米，∠CAB= 60°，∠CBA=37°，则改造后公路AB的长约是　　　　千米.(精确到 0.1千米.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.73)  9.9 1 3 5 题序 2 4 6 45 6.(2024·青岛)“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高.从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制订了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题. 1 3 5 题序 2 4 6 46 方案 名称 滑梯安全改造 测量 工具 测角仪、皮尺等 方案 设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE=1 m，并将原来的滑梯CF改为EG.(图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上) 1 3 5 题序 2 4 6 47 测量 数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8 m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32° 解决 问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？(即求FG 的长) (参考数据：sin 32°≈，cos 32°≈，tan 32°≈，sin 42°≈， cos 42°≈，tan 42°≈) 解：调整后的滑梯会多占约为1.88 m长的一段地面. 1 3 5 题序 2 4 6 48 $$