34方法专题九 “手拉手”模型-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 模型　“手拉手”模型 【学会模型】 类型 图形 条件 结论 “手拉手” 全等 1.△ABC和 △ADE 均为等腰三角形； 2.点A为公共点； 3.∠BAC=∠DAE 1.△BAD≌△CAE； 2.BD=CE； 3.∠BFC=∠BAC 1.△ABC和△CED 均为等边三角形； 2.点C为公共点 1.△BCE≌△ACD； 2.BE=AD； 3.∠AFB=60° 4 类型 图形 条件 结论 “手拉手” 全等 1.△ABC和△CED 均为等腰直角三角形； 2.点C为公共点 1.△BCE≌△ACD； 2.BE=AD； 3.∠AFB=90° 1.四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形； 2.点C为公共点 1.△BCG≌△DCE； 2.BG=DE； 3.∠BHE=90° 5 类型 图形 条件 结论 “手拉手” 相似 已知在△ABC中，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转 1.△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC； 2.两条拉手线BD，CE交于点F，则∠BFC=∠BAC 6 例 如图，△ACD和△ABE均为等腰直角三角形，其中AC=AD=2，AB=AE=2，∠BAE=∠DAC=90°，点B在CD的延长线上，连接CE. (1)求△ABC的面积； (2)求tan∠CBE的值. 【解题启发】 你能找出图中的全等三角形吗？ 7 【规范解答】 解：(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F. ∵△ACD是等腰直角三角形，AC=2， ∴AF=AC·sin 45°=. 在Rt△ABF中，∵AB=2，AF=， ∴BF===3. ∵△ADC为等腰直角三角形，AF⊥CD， ∴CF=DF=AF=，∴BC=BF+CF=4， ∴S△ABC=BC·AF=×4×=4. 8 (2)∵△ABE，△ADC为等腰直角三角形， ∴∠BAE=∠DAC=90°，AB=AE，AD=AC， ∴∠BAD+∠DAE=90°，∠DAE+∠CAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△EAC中， ∴△BAD≌△EAC(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠AEC. ∵∠1=∠2，且∠ABD+∠1+∠BAE=180°， ∠AEC+∠2+∠BCE=180°，∴∠BCE=∠BAE=90°. ∵BD=BC-CD=BC-2CF=2， ∴CE=2，∴tan∠CBE==. 9 【运用模型】 练1 如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5.将△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ的位置. (1)求PQ的长； (2)求∠APB的度数. 10 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，BA=BC. 由旋转可知△ABP≌△ACQ， ∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，∴∠PAQ=∠BAC=60°， ∴△APQ是等边三角形，∴PQ=AP=3. (2)由(1)知∠AQP=60°. ∵△ABP≌△ACQ，∴BP=CQ=4，∠APB=∠AQC. ∵PC=5，∴PQ2+CQ2=CP2， ∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°， ∴∠AQC=∠PQC+∠AQP=150°，∴∠APB=150°. 11 练2 如图1，在钝角三角形ABC中，∠ABC=30°，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180). (1)如图2，当0<α<180时，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC. (2)如图3，直线CE，AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数. 12 (1)证明：∵点D为边AB的中点，点E为边BC的中点， ∴=，∴=. 由旋转可知∠DBE=∠ABC，∴∠DBA=∠EBC， ∴△BDA∽△BEC. 13 (2)解：∠AGC的大小不发生变化，∠AGC=30°. 理由如下：如图，设AB交CG于点O. 由(1)可得△BDA∽△BEC， ∴∠DAB=∠ECB. ∵∠DAB+∠AOG+∠G=180°， ∠ECB+∠COB+∠ABC=180°， ∠AOG=∠COB， ∴∠AGC=∠ABC=30°. 14 练3 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)若AE=2，CE=3，求BE的长； (3)求∠BEC的度数. 15 (1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). 16 (2)解：∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE. ∵△ADE 是等边三角形，∴DE=AE. ∵DE+BD=BE，∴AE+CE=BE，∴BE=2+3=5. (3)解：∵△ADE 是等边三角形， ∴∠ADE=∠AED=60°， ∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°. ∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC=∠ADB=120°， ∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°. 17 练4 【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图1所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF=90°. 【初步探究】 (1)如图2，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：　　　　　　　；  18 【类比探究】 (2)如图3，将(1)中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF=90°，且==，其他条件不变.判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由. 19 解：(1)BF=DE，BF⊥DE (2)=. 理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°. ∵∠ECF=90°，∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF， ∴∠BCF=∠DCE. ∵==，∴△BCF∽△DCE，∴==. 20 $$