32方法专题七 “一线三等角”模型-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 模型　“一线三等角”模型 【学会模型】 类型 图形 图形特征 结论 同侧“一线 三等角” 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP(无线段相等时，则△APC∽△BDP) 4 类型 图形 图形特征 结论 异侧“一线 三等角” 三点在一条直线上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP(无线段相等时，则△APC∽△BDP) 5 例 (2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，E是边 BC上一点，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C. (1)求证：∠EAD=∠EDA； (2)若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积. 【解题启发】 在BC上的三个等角是　　　　　，你能得到其他什么信息？  6 【规范解答】 (1)证明：∵∠B=∠AED，∴180°-∠B=180°-∠AED， 即∠BEA+∠BAE=∠BEA+∠CED，∴∠BAE=∠CED. 在△BAE和△CED中， ∴△BAE≌△CED(AAS)， ∴AE=ED，∴∠EAD=∠EDA. 7 (2)解：如图，过点E作EF⊥AD于点F. 由(1)知AE=ED.∵∠AED=∠C=60°，∴∠AEF=∠DEF=30°. ∵DE=4，∴DF=DE=2， ∴AD=2DF=4，EF===2， ∴S△AED=AD·EF=×4×2=4. 8 【运用模型】 练1 (2024·淄博模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA=110°时，∠EDC=　　　　，∠AED=　　　　.  (2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由. 9 解：(1)30°　70° (2)当DC=3时，△ABD≌△DCE.理由如下： ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE， ∠B=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠CDE，且AB=CD=3，∠B=∠C=40°， ∴△ABD≌△DCE(ASA). 10 练2 如图，D是等边三角形ABC的边BC上一点，连接AD，以AD为边作等边三角形ADE，DE与AC交于点F. (1)求证：△ABD∽△DCF； (2)若AB=6，CD=2BD，求CF的长. 11 (1)证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠B=∠C=∠ADE=60°. ∵∠ADC=∠ADE+∠FDC=∠B+∠DAB， ∴∠DAB=∠FDC，∴△ABD∽△DCF. (2)解：∵AB=6，CD=2BD，∴BD=2，CD=4. ∵△ABD∽△DCF，∴=，即=，解得CF=. 12 练3 已知∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E. (1)如图1所示. ①写出线段CD和BE的数量关系；(直接写结论，不写证明过程) ②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并证明. (2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由. 13 解：(1)①CD=BE. ②数量关系：AD=BE+DE. 证明：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B. 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE. ∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE. 14 (2)②中的结论不成立.数量关系：DE=AD+BE. 理由如下：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B. 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE. ∵DE=CD+CE=BE+AD，∴DE=BE+AD. 15 练4 如图，正方形ABCD的边长等于，点P是BC边上的一个动点，∠APB，∠APC的平分线PE，PF分别交AB，CD于E，F两点，连接EF. (1)求证：△BEP∽△CPF； (2)当∠PAB=30°时，求△PEF的面积. 16 (1)证明：∵PE平分∠APB，PF平分∠APC， ∴∠APE=∠APB，∠APF=∠APC， ∴∠APE+∠APF=(∠APB+∠APC)=90°， ∴∠EPF=90°，∴∠EPB+∠BEP=∠EPB+∠FPC=90°， ∴∠BEP=∠CPF. 又∵∠B=∠C=90°，∴△BEP∽△CPF. 17 (2)解：∵∠PAB=30°， ∴∠BPA=60°，∴∠BPE=30°. 在Rt△ABP中，∠PAB=30°，AB=， ∴BP=1，∴PC=-1. 在Rt△BPE中，∠BPE=30°，BP=1， ∴BE=，EP=.∵△BEP∽△CPF， ∴=，即=，∴PF=2-2， ∴S△PEF=PE·PF=2-. 18 练5 【感知】如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，∠A=∠B=∠DPC=90°.易证△DAP∽△PBC.(不需要证明) 【探究】如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，∠A=∠B=∠DPC.若 PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长. 【拓展】如图3，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，连接CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长. 19 解：【探究】 ∵∠DPB是△APD的外角， ∴∠DPB=∠A+∠PDA， 即∠DPC+∠CPB=∠A+∠PDA. ∵∠A=∠DPC，∴∠PDA=∠CPB. 又∵∠A=∠B，∴△DAP∽△PBC，∴=. ∵PD=4，PC=8，BC=6，∴=，解得AP=3. 【拓展】 4或. 20 $$