31方法专题六 全等、相似三角形五大基础模型-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 模型1 平移型全等 【学会模型】 图形 特征 结论 有一组边共线或部分重合，另一组边平行且相等 在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，利用平行线的性质找到对应角相等.利用全等三角形判定定理，证明△ABC≌△DEF 4 例1 如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA=FB，AB=CD. (1)求证：∠E=∠F； (2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数. 【解题启发】 已知EA=FB，EA∥FB，你能得到的等角是　　　　　，根据  AB=CD你能得到的等边是　　　　　.  5 【规范解答】 (1)证明：∵EA∥FB，∴∠A=∠FBD. ∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，∴AC=BD. 在△EAC和△FBD中， ∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E=∠F. (2)解：∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA=∠D=80°. ∵∠A=40°，∴∠E=180°-40°-80°=60°. 6 【运用模型】 练1 如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC. (1)求证：△AOD≌△OBC； (2)若∠ADO=35°，求∠DOC的度数. 7 (1)证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO=OB. ∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B. 又∵OD=BC，∴△AOD≌△OBC(SAS). (2)解：∵△AOD≌△OBC，∴∠OCB=∠ADO=35°. ∵OD∥BC，∴∠DOC=∠OCB=35°. 8 练2 如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数. 9 (1)证明：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF. 在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：∵△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°， ∴∠ACB=∠F=85°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°. 10 模型2 轴对称型全等 【学会模型】 轴对称模型 图形特征 结论 图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点 此类模型必有一个公共角或公共边，如图1～图3，△ABE≌△ACD；如图4，△ABC≌△CDA 11 例2 如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°. (1)求证：AC=BD； (2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数. 【解题启发】 你能利用全等三角形的哪个判定定理进行证明？ 12 【规范解答】 (1)证明：∵∠C=∠D=90°， ∴△ACB和△BDA都是直角三角形. 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴AC=BD. (2)解：∵∠ABC=35°，∴∠CAB=90°-35°=55°. 由(1)可知△ACB≌△BDA，∴∠BAD=∠ABC=35°， ∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=55°-35°=20°. 13 【运用模型】 练3 如图，已知AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，BE交CD于点O，连接AO. 求证：∠BAO=∠CAO. 14 证明：在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OB=OC. 在△ABO和△ACO中， ∴△ABO≌△ACO(SAS)，∴∠BAO=∠CAO. 15 练4 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)判断△BOC的形状，并说明理由. 16 (1)证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)解：△BOC是等腰三角形. 理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE， ∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形. 17 模型3 “A”字型相似 【学会模型】 图形 特征 证明过程 结论 “A”字型的变形： “A”字型图形的两个三角形有一个公共角 再找一对相等的角或夹这个公共角的两边对应成比例，就可证明这两个三角形相似 △ADE∽△ABC或△ADE∽△ACB 注意：“A”字型中，当没有说明对应角的关系时，需要分∠AED=∠B或∠AED=∠C两种情况讨论 18 例3 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BA，BC上，且==， 则△DBE与四边形ADEC的面积的比为　　　　.  【解题启发】 你能利用“A”字型相似三角形模型解决问题吗？ 19 【运用模型】 练5 在△ABC中，AB=6，BC=12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上 一个动点，当BQ=　　　　时，△BPQ与△BAC相似.  或6　 20 练6 如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高. (1)当∠A=60°时，求证：ED=BC； (2)当 =时，探究 的值. 21 (1)证明：∵∠A=60°，BD⊥AC，∴AD=AB. ∵∠A=60°，CE⊥AB，∴AE=AC，∴==. 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴==， ∴ED=BC. (2)解：∵∠A=∠A，BD⊥AC，CE⊥AB， ∴△ABD∽△ACE，∴=. 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴==. 22 模型4 “8”字型相似 【学会模型】 图形 特征 证明过程 结论 “8”字型的变形： 两个三角形有一个公共顶点，且夹这个角的两边互为延长线 再证另一组对角相等或夹这个角的两边对应成比例 1.图1、图2： △ABO∽△DCO； 2.图3： △ABO∽△DCO； 3.图4： △ABF∽△ACE； △BEG∽△CFG 注意：如图1、图2中，当没有说明对应角的关系时，需要分∠B=∠C或∠B=∠D两种情况讨论 23 例4 如图，在△ABC中，E是边AC上的一点，且AE∶CE=1∶2，过点C 作CD∥AB交BE的延长线于点D.若△ABE的面积等于4，则△BCD的面 积等于(　　) 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.8 B.16 C.24 D.32 【解题启发】 你能用“8”字型相似三角形模型解决问题吗？ C 24 【运用模型】 练7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B， 且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N. 若AC=2，则MN的长为　　　　.  25 练8 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=4， BD=8，点E在边AD上，AE=AD，连接BE交AC于点M. (1)求AM的长； (2)求tan∠MBO的值. 26 解：(1)在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∴△AEM∽△CBM，∴=. ∵AE=AD，∴AE=BC， ∴==，∴AM=CM=AC=1. (2)∵AO=AC=2，BO=BD=4，AC⊥BD， ∴∠BOM=90°，OM=OA-AM=2-1=1， ∴tan∠MBO==. 27 练9 (2024·烟台模拟)如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，DE，DB分别与AC相交于点F，O. (1)求的值； (2)若DB⊥BC，FO=，BC=，求EF的长. 28 解：(1)如图，连接OE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD. ∵点E为AB的中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥AD，OE=AD，∴△ADF∽△OEF，∴==2. 29 (2)由(1)知AF=2OF=2，∴CO=AO=AF+OF=3. ∵DB⊥BC，BC=，∴BO==2. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DO=BO，AB=CD， ∴BD=2BO=4， ∴CD==3，∴AB=CD=3. ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=90°. ∵点E是AB的中点，∴DE=AB=. 由(1)知△ADF∽△OEF，∴==， ∴EF=DE=. 30 模型5 “母子”型(“双垂线”型是其特例) 【学会模型】 图　　形 特　　征 “母子”型图形(通常有一个公共顶点)，由于小三角形包含在大三角形中，故称为“母子”型 证明过程 再找一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例 结　　论 1.图1：△ABC∽△ACD或△BCD∽△BAC； 2.图2：△ABC∽△ACD或△BCD∽△BAC或△ACD∽△CBD； 3.图3：△ABC∽△EBA 31 例5 如图，在△ABC中，∠ABD=∠C.若AB=4，AD=2，则边CD的长 是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.4 C.6 D.8 【解题启发】 你能用“母子”型相似三角形模型解决问题吗？ C 32 【运用模型】 练10 如图，已知等腰三角形ADC中，AD=AC，B是线段DC上的一点，连接AB，且有AB=DB. (1)求证：△ADB∽△CDA； (2)若DB=2，BC=3，求AD的值. 33 (1)证明：∵AD=AC，∴∠D=∠C. ∵AB=DB，∴∠D=∠DAB，∴∠DAB=∠D=∠C. 又∵∠D=∠D，∴△ADB∽△CDA. (2)解：∵△ADB∽△CDA，∴=. ∵DB=2，BC=3，∴CD=5，∴AD2=BD·CD=2×5=10， ∴AD=(负值已舍去). 34 练11 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠DEC. 求证： (1)△ADE∽△ACD； (2)CD2=DE·BC. 35 证明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD， ∠DEC=∠A+∠ADE，∴∠ADE=∠ACD. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD. (2)∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD. ∵∠BDC=∠DEC，∴△DEC∽△CDB， ∴=，∴CD2=DE·BC. 36 $$