30第四章 第五节 相似三角形-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第五节　相似三角形 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 比例线段及其性质 1.线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，则这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n. 2.比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. 5 3.比例线段的性质 (1)如果=，那么　 　.  (2)如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么=　　　　.  (3)如果==…=(b+d+…+n≠0)，那么=. 4.平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. ad=bc 6 5.黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)， 如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分 割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金比为≈0.618. 7 知识点2 相似多边形 1.相似多边形：各角分别对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作相似比. 2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边之比等于相似比. (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 8 知识点3 相似三角形 1.相似三角形：三角分别______________、三边________________的两个 三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比叫作相似比.  2.相似三角形的判定定理 (1)两角分别__________的两个三角形相似.  (2)两边________________且夹角__________的两个三角形相似.  (3)三边________________的两个三角形相似.  (4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似. 　对应相等　 　对应成比例　 　相等　 　对应成比例　 　相等　 　对应成比例　 9 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 ____________.  (2)相似三角形的周长比等于__________，面积比等于________________.  　相似比　 相似比　 相似比的平方　 10 命题点1 平行线分线段成比例 3地0考　 例1 (2023·北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD. 若AO=2，OF=1，FD=2，则 的值为　　　　.  【解题启发】 你能写出几对成比例的线段？ 11 练1 已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若=，AD=10，则AO= 　　　　.  4 12 命题点2 相似三角形的判定与性质3地2考　 例2 (改编题)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC.已知BC=10，=. (1)DE的长为　　　　；△ADE与△ABC的周长比为　　　　.  (2)将△ADE旋转至图2所示的位置时，连接BD，CE.求证：△ABD∽△ACE. 13 【解题启发】 相似三角形的判定方法有几种？相似三角形的性质有哪些？ 14 【规范解答】 (1)解：6　3∶5 (2)证明：∵△ADE∽△ABC， ∴=，∠BAC=∠DAE， ∴=，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 15 【解题通法】 (1)常见相似三角形的基本类型 16 (2)射影定理 图形 条件 ∠ABC=∠ADB=90° (射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高) 结论 ①△ABC∽△ADB∽△BDC ②AB2=AC·AD，BD2=AD·CD， BC2=AC·CD(口诀：公共边的平方=共线边的乘积) ③AB·BC=BD·AC(面积法) 17 练2 在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)如图1，若AB=3，AC=5，求AD的长. (2)如图2，过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F. 求证：∠ABC=∠EAF. 18 (1)解：∵∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ACB. 又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴=，即=，∴AD=. (2)证明：∴AE⊥AC，AF⊥BD， ∴∠AFB=∠EAC=90°. 又∵∠ABF=∠C，∴△ABF∽△ECA， ∴∠BAF=∠CEA. ∵∠BAF=∠BAE+∠EAF，∠AEC=∠ABC+∠BAE， ∴∠ABC=∠EAF. 19 命题点3 相似三角形的实际应用3地0考　 例3 【数学文化】 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深 度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆 的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得 AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD的长为　　　　米.  【解题启发】 你能从实际情境中抽象出相似三角形的几何图形吗？ 3 20 练3 (2023·潍坊)【数学文化】 在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个 测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地 面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内， 点A，C，E在一条水平直线上，已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出 塔的高度.根据以上信息，塔的高度为　　　　米.  18.2　 21 命题点4 相似三角形的综合应用3地1考　 例4 (2023·泰安)如图，△ABC，△CDE是两个等腰直角三角形，EH⊥BD. (1)若点H是BD的中点，求∠BED的度数； (2)求证：△EFG∽△BFD； (3)求证：=. 22 【解题启发】 (1)点H是BD的中点，且EH⊥BD，你能想到什么特殊三角形？ (2)你能利用相似三角形的哪个判定定理证得△EFG∽△BFD？ (3)要证=，则需要证明哪两个三角形相似？ 23 【规范解答】 (1)解：∵EH⊥BD，点H是BD的中点， ∴EH垂直平分BD，∴EB=ED. ∵△ABC，△CDE是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠CBA=45°=∠CDE=∠CED，AB=AC， ∴∠EFC=180°-∠BCA-∠CED=90°，∴GC⊥DE，∴EF=FD， ∴FC是线段ED的垂直平分线，∴EB=BD， ∴EB=BD=DE，即△EBD是等边三角形，∴∠BED=60°. 24 (2)证明：由(1)得∠EFG=90°， ∴CF⊥DE，∴∠BFD=∠EFG=∠BHE=90°. ∵∠BGH=∠EGF，∴∠DBF=∠FEG，∴△EFG∽△BFD. (3)证明：如图，过点B作BQ∥EC，交EH的延长线于点Q， ∴△BQG∽△CEG， ∴=，∠Q=∠CEH，∠QBE=∠AEB，∴=. 设∠FEG=∠DBF=α，由(1)知BC是DE的垂直平分线， ∴BE=BD，∴∠EBF=∠DBF，∴∠AEB=∠ACB+∠EBF=45°+α， ∠CEH=∠CED+∠FEG=45°+α， ∴∠AEB=∠CEH，∴∠Q=∠QBE，∴BE=EQ，∴=. 25 练4 (2022·烟台)【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE. 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，CE.请直接写出的值. 26 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形， ∠ABC=∠ADE=90°，且==. 连接BD，CE. (1)求的值. (2)延长CE交BD于点F， 交AB于点G.求sin∠BFC的值. 27 【问题呈现】 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE， ∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE. 【类比探究】 解：. 28 【拓展提升】 解：(1)∵==，∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，==， ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴==. (2)由(1)得△CAE∽△BAD，∴∠ACE=∠ABD. ∵∠AGC=∠BGF，∴∠BFC=∠BAC， ∴sin∠BFC=sin∠BAC==. 29 建议用时：10分钟 1.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△DEF的周长之比是(　　)　　　　　　　 A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 B 1 3 5 题序 2 4 30 2.(2023·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC， AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为(　　) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 C 1 3 5 题序 2 4 31 3.(2023·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在 脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线 上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为 2 m，镜子与旗杆的水平距离 为10 m，则旗杆高度为(　　) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m B 1 3 5 题序 2 4 32 4.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个 条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是　　　　　　　　　　　　. (写出一种情况即可)  ∠ADE=∠C(答案不唯一)　 1 3 5 题序 2 4 33 5.(2023·上海)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段 BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD. (1)求证：DE=AF； (2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF·CE. 1 3 5 题序 2 4 34 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACF. 在△DAE和△ACF中， ∴△DAE≌△ACF(ASA)，∴DE=AF. (2)∵△DAE≌△ACF，∴∠AFC=∠DEA， ∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED. 又∵∠ABC=∠CDE， ∴△ABF∽△CDE，∴=. 由(1)已证DE=AF，∴=，∴AF2=BF·CE. 1 3 5 题序 2 4 35 $$