28方法专题五 有关线段中点的五种辅助线作法-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 作法1 中位线定理 【学会模型】 图形 条件 作法 结论 点D是AB的中点 取AC的中点E，连接DE ①DE∥BC； ②DE=BC 4 例1 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点. 若BC=10，CD=8，EF=3，∠AFE=43°，则∠ADC的度数是　　　°.  【作图启发】 连接　　　　，则EF是　　　　的中位线， 求出∠BDC=　　　　°.  133 5 【运用模型】 练1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，点D，E分别 是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接DF，EF，则EF 的长为　　　　.  6 练2 如图，在四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，AC. 若AB⊥BC，∠ACB=20°，∠ACD=50°，且AC=DC=10，则BE的长 为　　　　.  5 7 练3 如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，点D是边AB的中点， E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长，则DE的长是　　　　.  8 作法2构造等腰三角形“三线合一” 【学会模型】 图形 条件 作法 结论 AB=AC，点D是BC的中点 连接AD ①AD平分∠BAC； ②AD垂直平分BC 9 例2 (2024·广州)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，点D为边 BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的 面积为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.18 B.9 C.9 D.6 【作图启发】 △ABC是等腰直角三角形，　　　　为底边BC的中点，连接　　　　，构造“三线合一”.  C 10 【运用模型】 练4 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD=AD=6，DF⊥AC于点F，DF=4，则AB的长为(　　) A.8 B.10 C.4 D.2 C 11 练5 如图，在△ABC中，D是AC上一点，AD=AB，连接BD，AE平分 ∠BAC交BD于点E，点F是CD的中点，连接EF. 若EF=3，则BC的长为 　　　　.  6 12 练6 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，点D是BC的 中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE∶AB=　　　　.  3∶4 13 练7 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点， MN⊥AC于点N，则MN的长是　　　　.  14 作法3构造垂直平分线 【学会模型】 图形 条件 作法 结论 点D是BC的中点，ED⊥BC 连接BE ①EB=EC； ②ED平分∠BEC 15 例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=67.5°，点D为AB的 中点，且DE⊥AB交AC于点E，BC=3，则AC的长为(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.3+3 C.6 D.5 【作图启发】 点　　　　是　　　　的中点，　　　　⊥　　　　，应作的辅助线为　　　　.  B 16 【运用模型】 练8 (2023·呼和浩特)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN 分别交AD，BC于点M，N.若AM=1，BN=2，则BD的长为(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 A 17 练9 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC； (2)若∠B=35°，求∠BAC的度数. 18 (1)证明：如图，连接AE. ∵EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE. ∵BE=AC，∴AE=AC. ∵点D为线段CE的中点，∴AD⊥BC. (2)解：∵AE=BE，∠B=35°， ∴∠EAB=∠B=35°. ∵AD⊥BC，∠B=35°，∴∠BAD=90°-35°=55°， ∴∠EAD=55°-35°=20°. ∵AE=AC，点D为线段CE的中点， ∴∠CAD=∠EAD=20°， ∴∠BAC=55°+20°=75°. 19 作法4 构造斜边中线 【学会模型】 图形 条件 作法 结论 在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点 连接CD ①CD=AB； ②△ADC，△CDB都是等腰三角形 20 例4 (2024·菏泽三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4， BC=6，点D在BC上，延长BC至点E，使CE=BD，点F是AD的中点， 连接EF，则EF的长是　　　　.  【作图启发】 连接　　　　，　　　　，构造斜边中线及中位线.  21 【运用模型】 练10 如图，在△ABC中， AC=8，点D在BC上，且AB=AD，点E和点F 分别是AC和BD的中点，则EF的长是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 B 22 练11 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠ADC=90°，对角线 AC平分∠BAD，点E是BC的中点，AB=16，AD=6，则线段DE的长 是　　　　.  10 23 练12 (2024·成都)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的 一条角平分线，点E为AD的中点，连接BE.若BE=BC，CD=2，则 BD=　　　　　.  24 练13 已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，点M为BC的中点，求证：AB=2DM. 25 证明：如图，取AC的中点N，连接MN，DN. ∵点M为BC的中点， ∴MN为△ABC的中位线， ∴MN∥AB，且MN=AB， ∴∠B=∠NMC. 又∵∠B=2∠C，∴∠NMC=2∠C， ∴∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C. 又∵DN为Rt△ADC斜边AC上的中线， ∴DN=NC=AN=AC， ∴∠MDN=∠C，∴∠MND=∠C=∠MDN， ∴DM=MN，∴DM=AB，∴AB=2DM. 26 作法5构造倍长中线(类中线) 【学会模型】 图形 条件 作法 结论 图1：AD是BC边上的中线 图2：点D是BC边上的中点，点F是AB边上任意一点 如图1，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，或过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E； 如图2，延长FD到点E，使DF=ED，连接CE，或过点C作 CE∥AB 交FD的延长线于点E 图1：△ACD ≌△EBD； 图2：△BDF ≌△CDE 27 例5 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于点E，且AE=EF，求证：BF=AC. 【作图启发】 　　　是BC边上的中线，延长AD至点G，使　　　， 连接　　　　.你还有其他解法吗？  28 【规范解答】 证明：如图，延长FD至点G，使DG=DF，连接CG. ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD. 在△BDF和△CDG中， ， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF=CG，∠BFD=∠G. ∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA=∠BFD， ∴∠G=∠CAG，∴AC=CG，∴BF=AC. 29 【运用模型】 练14 如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，点D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是(　　) A.16 B.16 C.8 D.8 D 30 练15 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长. 31 解：如图，延长AD到点E，使AD=DE，连接CE. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC=5. ∵AD=DE=6，∴AE=12. 在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5， ∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°.∴在Rt△CDE中， 由勾股定理得CD===， ∴BC=2CD=2. 32 $$