第10讲函数的对称性和周期性讲义-2025届高三数学一轮复习

第10讲☆ 函数的对称性和周期性 【教学目标】 1．通过基础训练题，理解函数的对称性和周期性的概念. 2．在典型例题的解决过程中，会用函数的性质解决数学问题，理解方程、不等式和函数之间的联系，感悟数形结合、分类讨论等数学思想方法 3．学会用函数的性质解决实际问题，发展逻辑推理、数学运算素养． 【教学重点】 1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析 【教学难点】 1、周期性和对称性的应用； 2、综合问题． 【知识梳理】 一、对称性 （一）一个函数图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称 的图象关于直线对称 推论1、的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、中心对称 的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 （二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于轴对称 2、与图象关于原点对称 3、与图象关于轴对称 ※5、函数与图象关于直线对称 推论1、函数与图象关于直线对称 推论2、函数与图象关于直线对称 推论3、函数与图象关于直线对称 二、函数的周期性 对于函数，如果 存在 一个常数，使得对于定义域内的任意一个，都有，那么这个函数叫做周期函数，非零常数叫做的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期. ※※补充常用性质： ①若，则，即； ②若，则，即； ③若，则，即； ④☆若或，； ⑤☆ⅰ．奇函数满足则可以推出其周期是，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）； ⅱ．偶函数满足则亦可以推出周期是，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）. ⑥ⅰ．奇函数满足（），则是以为周期的周期性函数； ⅱ．偶函数满足（），则是以为周期的周期性函数. 【教学过程】 例1 关于给出下列五个命题： ①若，则是周期函数； ②若，则为奇函数； ③若函数的图像关于对称，则为偶函数； ④函数与函数关于直线对称； ⑤若，则的图像关于点对称 填写所有正确命题的序号 ①③ 例2 已知函数的图像关于点对称，则点的坐标是 （ C ） A． B． C． D． 例3 已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为 【答案】 例4 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数．若方程在区间上有四个不同的根，则 例5 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 例6 设，函数的图像与函数的图像关于点对称． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【课后练习】 1. 已知函数为上的奇函数，且满足，当时，，则等于 （ B ） A． B． C． D． 2. 设函数的定义域为R，满足，且当时，，则有 （ B ） A． B． C． D． 3. 设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 （ D ） A． B． C． D． 4. 若函数满足，则图象的对称中心是 5. 已知是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是 6. 已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则 7. 已知定义域为的函数满足，且当时，严格增.如果，且，则 0（填或）． 8. 定义在上的函数满足，当时，，则当时，函数的最小值为 【拓展提升】 1． 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，，则的值为 （ C ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 2． 将奇函数的图像关于原点（即）对称这一性质进行拓广，有下面的结论： ① 函数满足的充要条件是的图像关于点成中心对称. ② 函数满足为奇函数的充要条件是的图像关于点成中心对称（注：若不属于的定义域时，则不存在）. 利用上述结论完成下列各题： （1）已知（）为实数，试问函数的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由. （2）若函数的图像关于点成中心对称，求的值. 【答案】（1）函数的图像关于点成中心对称； （2）为所求 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲☆ 函数的对称性和周期性 【教学目标】 1．通过基础训练题，理解函数的对称性和周期性的概念. 2．在典型例题的解决过程中，会用函数的性质解决数学问题，理解方程、不等式和函数之间的联系，感悟数形结合、分类讨论等数学思想方法 3．学会用函数的性质解决实际问题，发展逻辑推理、数学运算素养． 【教学重点】 1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析 【教学难点】 1、周期性和对称性的应用； 2、综合问题． 【知识梳理】 一、对称性 （一）一个函数图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称 的图象关于直线对称 推论1、的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、中心对称 的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 （二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于轴对称 2、与图象关于原点对称 3、与图象关于轴对称 ※5、函数与图象关于直线对称 推论1、函数与图象关于直线对称 推论2、函数与图象关于直线对称 推论3、函数与图象关于直线对称 二、函数的周期性 对于函数，如果 一个常数，使得对于定义域内的任意一个，都有 ，那么这个函数叫做周期函数，非零常数叫做的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期. ※※补充常用性质： ①若，则，即； ②若，则，即； ③若，则，即； ④☆若或，； ⑤☆ⅰ．奇函数满足则可以推出其周期是，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）； ⅱ．偶函数满足则亦可以推出周期是，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）. ⑥ⅰ．奇函数满足（），则是以为周期的周期性函数； ⅱ．偶函数满足（），则是以为周期的周期性函数. 【教学过程】 例1 关于给出下列五个命题： ①若，则是周期函数； ②若，则为奇函数； ③若函数的图像关于对称，则为偶函数； ④函数与函数关于直线对称； ⑤若，则的图像关于点对称 填写所有正确命题的序号 例2 已知函数的图像关于点对称，则点的坐标是 （ ） A． B． C． D． 例3 已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为 例4 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数．若方程在区间上有四个不同的根，则 例5 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 例6 设，函数的图像与函数的图像关于点对称． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围． 【课后练习】 1. 已知函数为上的奇函数，且满足，当时，，则等于 （ ） A． B． C． D． 2. 设函数的定义域为R，满足，且当时，，则有 （ ） A． B． C． D． 3. 设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 （ ） A． B． C． D． 4. 若函数满足，则图象的对称中心是 5. 已知是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是 6. 已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则 7. 已知定义域为的函数满足，且当时，严格增.如果，且，则 0（填或）． 8. 定义在上的函数满足，当时，，则当时，函数的最小值为 【拓展提升】 1． 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，，则的值为 （ ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 2． 将奇函数的图像关于原点（即）对称这一性质进行拓广，有下面的结论： ① 函数满足的充要条件是的图像关于点成中心对称. ② 函数满足为奇函数的充要条件是的图像关于点成中心对称（注：若不属于的定义域时，则不存在）. 利用上述结论完成下列各题： （1）已知（）为实数，试问函数的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由. （2）若函数的图像关于点成中心对称，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$