26第四章 第三节 特殊三角形-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　特殊三角形 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 等腰三角形 1.等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两条腰相等，两个底角__________(简写成“等边对等角”).  (2)等腰三角形顶角的____________、底边上的________、底边上的高相 互重合.(简写成“三线合一”)  (3)等腰三角形是轴对称图形，有_______条对称轴.  　相等　 　平分线　 　中线 　1　 5 3.等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简写成“等角对等边”) 6 知识点2 等边三角形 1.等边三角形：三条边均相等的三角形是等边三角形. 2.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边____________，每个角都等于__________.  (2)等边三角形是轴对称图形，有_______条对称轴.  3.等边三角形的判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形. 　都相等　 　60°　 　3　 7 知识点3 直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2. (2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 8 2.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角__________.  (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.  (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 ________________.  (4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角 边所对的角等于______.  　互余　 　一半　 等于斜边的一半 30° 9 3.直角三角形的判定 (1)有一个角是90°的三角形是直角三角形. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 10 命题点1 等腰三角形的判定与性质3地1考　 例1 【一题串考点·原创题】 如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，连接AD， DE. 11 (1)若△ABC的一边长为2，周长为8，则AB=　　　　，△ABC的面积 为　　　　；  (2)若∠BAC=50°，∠BAD=40°，AD=AE，则∠B的度数为　　　， ∠EDC的度数为　　　.  (3)如图2，在△ABC中，AB=AC，E是AC边上的一点，D为BC边上 一点，AB=10，BC=16. ①当AD平分∠BAC时，AD的长为　　　　；  ②当AD⊥BC，DE⊥AC时，DE的长为　　　.  【解题启发】 解决这道题能用到等腰三角形的哪些性质？ 3 2 65° 20° 6 12 练1 (2023·潍坊)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足 为E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，点G为BC的中点，连接FG.求证：FG=AB. 13 证明：∵EF∥BC，∴∠CEF=∠BCE. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE， ∴∠CEF=∠ACE，∴EF=CF. ∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°， ∴∠ACE+∠CAE=90°，∠AEF+∠CEF=90°， ∴∠CAE=∠AEF，∴EF=AF， ∴CF=AF，即点F为AC的中点. 又∵点G为BC的中点，∴FG是△ACB的中位线， ∴FG=AB. 14 命题点2 等边三角形的判定与性质3年0考　 例2 【一题串考点·原创题】 在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=60°. (1)如图1，点 D，F分别是△ABC 的边 AC，BC上的点，连接AF， BD交于点O，且CD=BF.若 AF=3，则BD=　　　　，∠ABD+∠BAF= 　　　　.  (2)如图2，若点D，F分别为AC，BC的中点，BF=5，则△ABC的面积 为　　　　；在此条件下，若点E为AB的中点，则△AED的周长为 　　　　；  (3)如图3，若AB=4，F为BC边上任意一点，过点F分别作FE⊥AB， FD⊥AC，垂足分别为E，D，则FE+FD=　　　　　.  3 60°　 25 15 2 15 (4)如图4，若AB=6，AF⊥BC，点D在边AC上，且AD=2，点M是AF上 一个动点，连接MD，MC，则 DM+MC 的最小值为　　　　.  【解题启发】 等边三角形的性质有哪些？ 2 16 练2 如图，在等边三角形ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A，B 重合)，点D在直线BC上，且ED=EC. (1)若点E为线段AB的中点，试说明DB=AE； (2)若△ABC的边长为2，AE=1，求CD的长. 17 解：(1)∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点， ∴∠ABC=60°，∠BCE=30°，BE=AE. ∵ED=EC，∴∠EDB=∠BCE=30°. ∵∠ABD=180°-60°=120°，∴∠DEB=30°， ∴DB=EB，∴DB=AE. (2)①如图1，当点E在线段AB上时. ∵AB=2，AE=1， ∴点E是AB的中点. 由(1)知BD=AE=1， ∴CD=BC+BD=3； 18 ②如图2，当点E在线段BA的延长线上时. ∵AE=1，AB=2，∴BE=3. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC=2. 过点E作EH∥AC交BC的延长线于点H， ∴∠BEH=∠BHE=60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴EH=BH=BE=3，∠B=∠H=60°. ∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD， 19 ∴∠B+∠BED=∠H+∠HEC，∴∠BED=∠HEC. 在△BDE和△HCE中， ∴△BDE≌△HCE(SAS)，∴BD=HC=BH-BC=3-2=1， ∴CD=BH-BD-HC=3-1-1=1. 综上所述，CD的长为1或3. 20 命题点3 有关直角三角形的证明与计算 3地0考 考法❶　直角三角形的判定与性质 例3 【一题串考点·原创题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. 21 (1)若AC=8，AB=10，则BC=　　　　，△ABC的面积为　　　　；  (2)若点D是AB边的中点，∠A=50°，则∠DCB=　　　　；  (3)若点D是AB的中点，点E在BC上，且CE=AB，连接DE.若∠A= 50°，则∠ADE=　 ；  (4)若CD⊥AB，DE⊥BC，∠B=30°，AB=10，则BD=　　　， DE=　　　.  【解题启发】 在直角三角形中，看到斜边中点能想到什么？看见30°角能想到什么？ 6 24 40° 150° 22 练3 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的 中点，BD=2，则BC的长为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C.2 D.4 C 23 练4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，DE为△ABC的中 位线，延长BC至点F，使CF=BC，连接FE并延长交AB于点M.若BC=a， 则△FMB的周长为　　　　.  a 24 考法❷　勾股定理及其逆定理 例4 如图，在Rt△ACB中，AD平分∠CAB，CD=15，BD=25，求AC的 长. 【解题启发】 能否直接利用勾股定理求出AC的长？不能的话，怎样利用角平分线作辅助线？ 25 【规范解答】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD平分∠CAB，∠C=90°， DE⊥AB，∴DE=CD=15. 在Rt△DEB中，BE==20. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC=AE. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即AC2+402=(AC+20)2，解得AC=30，∴AC的长为30. 26 练5 如图，在Rt△ACB中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， AB=13，CD=6，求AC+BC的长. 27 解：∵S△ABC=AB·CD=AC·BC，AB=13， CD=6，∴AC·BC=13×6=78. ∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=169， ∴(AC+BC)2=AC2+2AC·BC+BC2=169+156=325， ∴AC+BC==5. 28 练6 如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=20，AD=8，BC=12，E为AB上一 点，且DE=CE，求AE的长. 29 解：由勾股定理得AD2+AE2=DE2，BC2+BE2=CE2. ∵DE=CE，∴AD2+AE2=BC2+BE2，即64+AE2=144+BE2. 又∵AE+BE=20，∴BE=8，AE=12. 30 练7 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，AB=17，AD=10，BD=9，求AC的长. 31 解：在Rt△ADC和Rt△ABC中， 由勾股定理得AD2-CD2=AC2，AB2-BC2=AC2. 设DC=x，BC=9+x，则102-x2=172-(9+x)2，解得x=6， ∴AC==8. 32 建议用时：15分钟 1.若等腰三角形的两边长分别是 3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的 周长是(　　)　　　 A.8 cm B.13 cm C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm D 1 3 5 题序 2 4 6 33 2.(2024·青海)如图，在Rt△ABC中，点D是AC的中点，∠BDC=60°， AC=6，则BC的长是(　　) A.3 B.6 C. D.3 A 1 3 5 题序 2 4 6 34 3.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上， 且CD=AB，则BD的长是(　　) A.- B.- C.2-2 D.2- B 1 3 5 题序 2 4 6 35 4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°. (1)求证：CE=CM； (2)若AB=4，求线段FC的长. 1 3 5 题序 2 4 6 36 (1)证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B. ∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°. ∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM. (2)解：∵AB=4，∴CE=CM=AB=2. ∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE·cos 30°=. 1 3 5 题序 2 4 6 37 5.如图，已知等边三角形ABC，CD⊥AB于点D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE=AF，连接BE，BF，EG⊥BF于点G，连接DG. (1)求证：BE=BF； (2)试说明DG与AF的位置关系和数量关系. 1 3 5 题序 2 4 6 38 (1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=CB，∠BAC=∠ABC=60°. ∵CD⊥AB，AF⊥AC，∴∠CDB=∠CAF=90°， ∴∠FAB+∠BAC=∠ECB+∠ABC=90°，∴∠FAB=∠ECB. 又∵AF=CE，∴△FAB≌△ECB(SAS)，∴BE=BF. 1 3 5 题序 2 4 6 39 (2)解：DG∥AF，DG=AF. 理由如下：由(1)得△FAB≌△ECB，∴∠FBA=∠EBC， ∴∠FBA+∠DBE=∠EBC+∠DBE=∠ABC=60°， 即∠GBE=60°. ∵EG⊥BF，∴∠BGE=90°，∴∠BEG=30°， ∴BG=BE=BF，∴点G为线段BF的中点. 在等边三角形ABC中，∵CD⊥AB，∴BD=AD， ∴点D为线段AB的中点， ∴DG为△FAB的中位线，∴DG∥AF，DG=AF. 1 3 5 题序 2 4 6 40 6.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC 于点E.已知∠ABC=60°，∠C=45°. (1)求证：AB=BD； (2)若AE=3，求△ABC的面积. 1 3 5 题序 2 4 6 41 (1)证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°， ∴∠DBC=∠ABC=30°. ∵∠C=45°， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=75°， ∴∠BAC=∠ADB，∴AB=BD. (2)解：在Rt△ABE中，∠ABC=60°，AE=3，∴BE==. 在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=3， ∴EC==3，∴BC=3+，∴S△ABC=BC·AE=. 1 3 5 题序 2 4 6 42 $$